Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
25
Добавлен:
18.03.2015
Размер:
558.18 Кб
Скачать

И.И. АРГИНСКАЯ, Е.В. ВОРОНИЦЫНА

Особенности обучения младших школьников математике

Лекции 5–8

Москва

Педагогический университет «Первое сентября»

2006

И.И. Аргинская, Е.В. Вороницына

Материалы курса «Особенности обучения младших школьников математике» : лекции 5–8. М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2005. – 76 с.

Учебно-методическое пособие

Редактор: Компьютерная верстка: Д.В. Кардановская

Подписано в печать 20.06.06 Формат 60 х 90 х 1/16. Гарнитуры «Ариал», «Таймс». Печ. л. 3,0

Тираж 200 экз. Заказ ¹ Педагогический университет «Первое сентября»,

ул. Киевская, 24, Москва, 121165. http://edu.1september.ru

© И.И. Аргинская, 2006 © Е.В. Вороницына, 2006 © Педагогический университет «Первое сентября», 2006

 

УЧЕБНЫЙ ПЛАН КУРСА

 

 

Номер

Название лекции

брошюры

 

 

Лекция 1. Дидактические основы личностно ориентирован-

1

ной системы обучения, направленной на общее развитие

 

школьника

 

 

 

Лекция 2. Методические основы личностно ориентирован-

1

ной системы обучения, направленной на общее развитие

 

школьников

1

Лекция 3. Особенности программы и учебных пособий по

математике для начальной школы.

 

Контрольная работа ¹ 1

 

 

1

Лекция 4. Урок математики в системе Л.В. Занкова

 

 

2

Лекция 5. Методические особенности изучения чисел и

действий с ними в системе Л.В. Занкова

 

 

 

2

Лекция 6. Методические особенности формирования

вычислительных навыков и умений.

 

Контрольная работа ¹ 2

 

 

2

Лекция 7. Роль геометрического материала в курсе ма-

тематики начальной школы и специфика его изучения

 

 

 

2

Лекция 8. Особенности методики работы по обучению

учащихся решению текстовых задач.

 

Итоговая работа

 

 

Лекция 5. Методические особенности изучения чисел и действий с ними в системе Л.В. Занкова

Темы, которым посвящена лекция, составляют основу курса математики начальной школы в любой системе, в том числе и в системе Л.В. Занкова. Каждая из этих тем проходит через все четыре года обучения в начальной школе и относится в большей своей части к основным базовым знаниям, обязательным для усвоения их к концу начальной школы.

ИЗУЧЕНИЕ ЧИСЕЛ

При изучении этой темы детьми необходимо решить следующие задачи:

овладеть устной и письменной нумерацией в десятичной позиционной системе счисления;

осознать принципы построения десятичной позиционной системы счисления;

сформировать понятие натурального числа, используя разные научные подходы к нему;

4

Лекция 5

познакомить с историей возникновения натуральных чисел;

расширить понятие числа за пределы множества натуральных чисел.

Работа с темой «Изучение чисел» начинается с первых дней обу- чения детей в школе. На наш взгляд, она является наиболее сложной с методической точки зрения, так как практически все дети знакомы с некоторым количеством чисел (вернее, с названиями чисел) и могут их назвать по порядку. Знания детьми чисел, как правило, формальны

èне осмыслены, но дети этого не понимают и считают работу с числами ненужной и скучной.

Надо организовать работу так, чтобы заинтересовать детей и подвести их к пониманию основ знаний о числах. Начнем с дочислового этапа, занимающего по времени небольшое, но в действительности очень важное место. Этот этап условно заключает в себе длительный период в истории человечества – период, когда люди еще не знали чисел, но умели различать количество необходимых им объектов.

Мы предлагаем опираться на жизненный опыт детей. Они часто используют в своей речи вместо чисел слова «мало» и «много» (например, «игрушек мало», «птичек много»). Чтобы уроки были значимы для детей, надо их включать в активную работу. Можно поручить им дома провести исследование, узнать, какие слова употребляли их родители, когда были совсем маленькими и не знали чисел. А если у них есть младшие братик или сестренка, то ученики могут понаблюдать за малышами и узнать, какие слова используют они. Это домашнее задание поможет еще раз обратить внимание детей на изучаемую тему.

Мы привели пример домашнего задания. А теперь давайте обсудим вопрос: можно ли в 1-м классе задавать на дом? Министерством образования и науки РФ рекомендовано в 1-м классе домашних заданий не задавать вообще. Это правильно в том случае, если они носят привычную для учителя форму – упражнения, закрепляющие полу- ченные в классе знания и умения. Полное отсутствие домашних заданий – этого необходимого компонента школьной жизни и статуса уче- ника – неизбежно приводит к серьезным искажениям понимания ребенком этого статуса.

За год дети привыкают к тому, что они в течение четырех уроков – ученики, после уроков – просто дети и не имеют никаких обязательств, связанных со статусом ученика. Полное отсутствие домашних заданий в течение 1-го класса вызывает достаточно серьезные трудности у детей во 2-м классе. Теперь домашние задания становятся постоянным элементом урока. Многие ученики считают их, во-первых, посягательством на их свободное время, а во-вторых, делом совершенно необязательным – ведь в 1-м классе домашних заданий не было.

Методические особенности изучения чисел и действий с ними

 

в системе Л.В. Занкова

5

Поэтому мы считаем, что детям нужны особые домашние задания: поговорить со взрослыми по тому или иному вопросу, который будет обсуждаться на следующем уроке, что-то сосчитать по дороге домой, найти и принести на следующий урок определенный природный материал.

Мы обратили внимание детей на понятия «много», «мало». Теперь надо узнать, достаточно ли этих понятий, например, для сравнения коли- чества предметов.

После того как дети осознают недостаточность и неопределенность такой оценки (см. задание 6 первой части учебника-тетради для 1-го класса, в котором они сталкиваются с такой ситуацией, когда одно и то же количество в одном случае выступает как «много», а в другом – как «мало»), появляются три новые градации – «больше», «меньше», «столько же».

Задание 6. Сколько песка слева на верхнем рисунке? А справа? В песочнице, где мало песка, нарисуй лопатку.

А на нижнем рисунке где много песка? А где мало? Нарисуй ведерко там, где много песка.

Сравни песочницу с лопаткой и песочницу с ведерком. Что ты заметил?

Эти соотношения определяются установлением взаимно однозначного соответствия между элементами рассматриваемых множеств. Необходимо избегать сравнения множеств пересчетом их элементов. В этот период нужно, помимо выполнения заданий из учебника, предлагать ученикам как можно больше заданий, используя разнообразный раздаточный материал, который есть у учителя, а также подготовлен самими детьми по заданию учителя. Такие

6

Лекция 5

задания позволяют ребенку действовать на наглядно-действенном уровне, который является характерным для мыслительной деятельности большинства детей этого возраста, что способствует созданию ситуации успеха и формирует положительное отношение не только к математике, но и к учебе в целом. Помимо этого, закладывается основа перехода на следующую ступеньку мышления – на- глядно-образную.

Особое внимание необходимо уделить соотношению «столько же», так как оно является основой изучения натуральных чисел.

Изучение натуральных чисел происходит по следующим концентрам:

однозначные числа (1-й класс);

двузначные числа (1-й и 2-й классы);

трехзначные числа (2-й и 3-й классы);

числа в пределах класса тысяч (3-й и 4-й классы);

числа в пределах класса миллионов (4-й класс).

Выделение таких концентров связано с тем, что одной из главных задач изучения этой темы является осознание принципа построения той системы счисления, которой в настоящее время пользуются в большинстве стран мира, – позиционной десятичной. В этой системе числа десять, сто, тысяча и т.д. являются основными, системообразующими и, следовательно, должны занимать особое место в процессе изучения, а не возникать как рядоположенные по отношению к остальным натуральным числам.

Âнастоящее время в начальной школе в разных системах рассматриваются два принципиально разных подхода к понятию натурального числа:

1) основанный на теории множеств;

2) основанный на соотношении между измеряемой величиной и выбранной меркой.

Âрассматриваемой нами системе Л.В. Занкова предполагается максимально возможное использование в процессе обучения тех представлений и знаний, которые дети получили вне школы, а также ознакомление школьников с различными подходами к одному и тому же понятию.

Первоначальной основой знакомства с натуральными числами является теоретико-множественный подход, который позволяет максимально использовать дошкольный опыт учеников, сложившиеся у них представления о механизме возникновения чисел как результате пересчета предметов.

Таким образом, натуральное число возникает как инвариантная характеристика класса равномощных конечных множеств, а основ-

Методические особенности изучения чисел и действий с ними

 

в системе Л.В. Занкова

7

ным инструментом познания отношений между ними становится установление взаимно однозначного соответствия между элементами множеств, имеющих соответствующие числовые характеристики. На этой основе формируются понятия об отношениях «больше», «меньше», «равно», «не равно» как между множествами, так и между соответствующими им числами.

Однако как только дети знакомятся с первой величиной – длиной, рассматривается и другой подход к натуральному числу – отношение измеряемой длины к выбранной мерке.

Изучение концентра однозначных чисел строится особым образом – с учетом уже имеющихся у детей знаний о них. Важно установить, знают ли ученики названия однозначных чисел и цифр, которыми их записывают, а также знают ли они порядок расположения этих чисел. Это учитель поймет, предлагая детям выполнить задания 1, 2 из первой части учебника для 1-го класса и т.п., а также при выполнении ими заданий по раздаточному материалу.

Задание 1. Какая игрушка нарисована слева? А справа? Сколько нарисовано игрушек?

Нарисуй справа от жирафа ромашку, а слева от слоненка – колокольчик. Нарисуй между игрушками василек.

Сколько теперь на рисунке предметов? Сколько цветков ты нарисовал?

На сколько больше стало на рисунке предметов?

Задание 2. Сравни яблоки. Что изменяется? Что не изменяется? Сколько яблок?

Какое яблоко должно быть следующим справа? Нарисуй его. А слева? Нарисуй. Сколько теперь стало яблок?

8

Лекция 5

Вырежи подходящего ежика и наклей его на место. Сколько было ежиков? Сколько стало? Хватит ли всем ежикам по яблоку? Покажи знаком > , какому ежику досталось какое яблоко, если чем меньше ежик, тем больше его яблоко.

Например, у каждого ученика на парте лежит кучка желудей и куч- ка ягодок рябины (разное количество тех и других).

Учитель. Не считая, узнайте, чего у вас больше – желудей или ягодок.

Дети. У меня больше ягодок, а желудей меньше. Я положила их друг за другом: сначала желудь, потом ягодку, потом опять желудь и опять ягодку – и так до тех пор, пока желуди не кончились. А ягодки еще остались. Значит, их больше.

А у меня, наоборот, больше желудей, чем ягодок. Я сначала положил в ряд все желуди, а потом стал под каждый желудь класть ягодку, но ягодки кончились, а желуди еще остались.

У меня желудей и ягодок одинаково. Я тоже сделал так, как Миша, но под каждый желудь мне хватило ягод и больше их не осталось.

У. А теперь скажите, сколько у каждого из вас желудей и сколько ягодок.

Дети считают и называют полученные числа.

Используя кассу цифр и знаков, составьте запись, которая подходит к вашему результату.

Каждый ученик выкладывает свою запись. Некоторые испытывают трудности, связанные с нетвердым знанием цифр и знаков сравнения, им помогают другие дети.

В этот же период дети учатся писать цифры, связывая их с соответствующими однозначными числами. Поскольку они работают со всеми натуральными однозначными числами, написание соответствующих цифр предлагается в порядке их усложнения. В учебнике предлагается следующий порядок написания цифр: ¹ 34 – 1; ¹ 45 – 4; ¹ 53 – 6;

Методические особенности изучения чисел и действий с ними

 

в системе Л.В. Занкова

9

¹ 66 – 9; ¹ 74 – 5; ¹ 82 – 3; ¹ 96 – 2; ¹ 103 – 7; ¹ 107 – 8. Однако если учитель считает, что возрастание трудности написания цифр другое, он может изменить порядок написания цифр в соответствии со своими взглядами.

Наиболее важным моментом в обучении написанию цифр мы счи- таем правильный выбор учеником точки, с которой начинается письмо каждой цифры. В силу этого желательно максимально сократить коли- чество таких точек. В системе предлагается следующий вариант: цифры 6, 9, 0 начинают писать от одной и той же точки, цифры 4 и 5 – тоже от одной точки, как и цифры 2, 3, 8, цифры 1 и 7 – каждая от своей точки. Таким образом, на 10 цифр приходится 5 начальных точек.

Изучение концентра однозначных натуральных чисел завершается их упорядочиванием, знакомством с началом натурального ряда чисел и свойствами этого ряда (¹ 28, вторая часть учебника для 1-го класса).

Задание 28. Сколько этажей в каждом доме на этой улице? Напиши в клетках над домами.

Числа в ряду расположены по порядку? Подчеркни: ДА, НЕТ.

Запиши числа в порядке увеличения.

Какое число ты поставил первым? На сколько каждое следующее число больше предыдущего? На ___.

10

Лекция 5

Если натуральные числа записаны, начиная с числа 1, и каждое следующее число больше предыдущего на единицу, такую запись называют натуральным рядом чисел.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... – натуральный ряд чисел. Многоточие в конце записи обозначает, что натураль-

ный ряд продолжается дальше, но числа не записаны. Ты можешь назвать некоторые из незаписанных чисел? Если да, назови их.

А записать эти числа можешь? Если можешь, запиши их.

Все последующие концентры изучаются по единому плану:

образование новой единицы счета (для двузначных чисел – это десяток, для трехзначных – сотня, для четырехзначных – тысяча и т.д.);

счет новой единицей счета до девяти;

запись получившихся чисел и их названий;

заполнение промежутков между круглыми числами;

образование названий промежуточных чисел.

Необходимо иметь в виду следующие положения:

если концентр двузначных чисел необходимо разобрать подробно и в случае необходимости оказать детям помощь, то при изучении последующих концентров дети должны пытаться действовать по аналогии, а подробно разбирать необходимо только те особенности, с

которыми они сталкиваются впервые.

При изучении двузначных чисел дети знакомятся с понятием разряд. В 1-м и во 2-м классах они узнают, что такое разряд, как называются числа каждого разряда, что для каждого разряда нужна своя цифра;

при образовании новой единицы счета необходимо рассмотреть все возможные варианты, связанные с меньшими единицами счета, уделяя особое внимание основному – когда 10 предыдущих единиц составляют одну новую единицу. Например, при образовании тыся- чи основным будет такой: 900 + 100 = 1000, но кроме него тысячу можно получить, считая десятками: 990 + 10 = 1000 – и единицами: 999 + 1 = 1000;

при изучении концентра чисел в пределах тысяч появляется новое понятие – класс. Необходимо обсудить с учениками, зачем нужно

Методические особенности изучения чисел и действий с ними

 

в системе Л.В. Занкова

11

такое деление, но это лучше сделать при изучении следующего концентра – числа в пределах класса миллионов.

В дальнейшем происходит постепенное расширение множества натуральных чисел по концентрам: двузначные числа, трехзначные числа и т.д., которое завершается классом миллионов. При изучении каждого из последующих концентров в центре внимания находится образование новой единицы счета – десятка, сотни, тысячи и т.д., что неразрывно связано с принципами построения десятичной позиционной системы счисления, с овладением устной и письменной нумерацией на множестве натуральных чисел.

Необходимо иметь в виду, что хотя первоначально натуральное число возникает перед учениками в близком их дошкольному опыту теоретико-множественном подходе, уже в 1-м классе дети знакомятся и с интерпретацией числа как результата отношения величины к выбранной мерке. Это происходит при изучении такой величины, как длина – в 1-м классе, масса, вместимость, площадь и разнообразные другие величины – в последующие годы обучения в начальной школе.

Эти два подхода к натуральному числу сосуществуют на протя-

жении всего начального обучения, завершаясь обобщением, в результате которого появляются понятия точного и приближенного

числа.

Помимо традиционной арабской нумерации, в десятичной позиционной системе дети знакомятся и с римской нумерацией. Основные цели этого знакомства следующие:

осознание того факта, что знаки, которыми записывали числа разные народы в древности, и правила такой записи могут быть различными;

осознание преимуществ записи чисел, которыми в настоящее время пользуются в большинстве стран, перед использовавшимися ранее системами.

Мы считаем, что при каждом удобном случае необходимо показывать плоды человеческого разума, стремящегося совершенствовать предыдущие достижения в той или иной области.

Например, сравнивая современную и римскую письменные нумерации, уже вначале дети легко заметят, что при сравнении чисел с разным количеством разрядов в современной нумерации можно точ- но установить, какое число больше или меньше по количеству цифр,

âримской же – нельзя.

Так же легко дети заметят, что для записи всех натуральных чисел от 1 до 39 в современной системе нумерации используются все 10 цифр, а в римской – всего 3: I, V, X.

12

Лекция 5

Казалось бы, большое преимущество, но по мере продвижения в записи чисел оно сходит на нет, и в результате детей подводят к выводу о том, что в римской системе невозможно записать любое натуральное число – она пригодна только для конечного множества чисел, так как для записи любого сколь угодно большого натурального числа потребуется бесконечное множество знаков, а их невозможно ни придумать, ни запомнить. В арабской же системе нумерации для этого достаточно десяти знаков.

Хотя в учебниках математики представлена только римская система записи чисел, желательно познакомить учеников хотя бы еще с одной системой, а также предложить детям создать свою систему.

В методических пособиях для 3-го и 4-го классов дан материал по древнерусской системе записи чисел и один из вариантов, созданных детьми. Можно рассмотреть нумерацию, которая использовалась в России до Петра I. Она интересна как с точки зрения получения истори- ческих знаний, так и с точки зрения того, что относится к алфавитным системам записи чисел, которые были достаточно широко распространены в мире.

Первые 9 букв обозначали числа от 1 до 9, следующие 9 – круглые десятки от 10 до 90, следующие 9 – круглые сотни от 100 до 900. Таким образом, буквы алфавита позволяли записать все однозначные, двузначные и трехзначные числа. При этом буквы записывались в том порядке, в каком назывались разряды числа.

Например, для всех двузначных чисел, бîльших 20, сначала записывалась буква, обозначающая число десятков, а справа от нее – буква, обозначающая число единиц.

Приводим буквы старорусского алфавита и их числовые значения:

À – 1, Á – 2, Â – 3, Ã – 4, Ä – 5, Å – 6, Æ – 7, Ç – 8, È – 9, Ê – 10, Ë

– 20, Ì – 30, Í – 40, Î – 50, Ï – 60, Ð – 70, Ñ – 80, Ò – 90, Ó – 100, Ô – 200, Õ – 300, Ö – 400, × – 500, Ø – 600, Ý – 700, Þ – 800, ß – 900.

Приведем примеры записи разных чисел при помощи закрепленных значений букв:

11 = ÊÀ, 15 = ÊÄ, 19 = ÊÈ, 28 = ËÇ, 54 = ÎÃ, 87 = ÑÆ, 396 = ÕÒÅ, 707 = ÝÆ, 518 = ×ÊÇ.

Работу с этим материалом необязательно проводить со всем классом. Ее можно провести в математическом кружке или с желающими. Но в любом случае дети, участвующие в этой работе, познакомят остальных с результатами своей деятельности, выступив перед ними с сообщениями.

Методические особенности изучения чисел и действий с ними

 

в системе Л.В. Занкова

13

Если класс состоит из детей нерусской национальности, желательно рассмотреть не древнерусскую нумерацию, а того народа, к которому относятся обучающиеся.

Первый выход за пределы натуральных чисел происходит уже в 1-м классе при знакомстве с числом ноль, которое не является натуральным. Это число рассматривается как характеристика пустого множества (без употребления соответствующей терминологии).

Задание 85. Напиши, сколько крыльев.

У кого крыльев меньше? На сколько меньше? На _____. Сколько крыльев у белки?

У белки, конечно, нет крыльев. Можно сказать иначе: у белки НОЛЬ крыльев.

В дальнейшем расширение понятия числа происходит за счет знакомства с дробными, а также целыми положительными и отрицательными числами. Основными направлениями работы с ними являются следующие:

– осознание тех жизненных ситуаций, которые привели к необходимости введения новых чисел;

– выделение детьми таких ситуаций в окружающем их мире, относительность их использования как в жизни, так и в математике.

Например, если яблоко разрезано на 8 равных частей, то можно задать два вопроса: «Какую часть яблока съели?» Ответом будет дробь со знаменателем 8 и любым числителем, меньшим или равным этому числу. При обсуждении обратите внимание детей на слово часть. Если задать вопрос: «Сколько кусков яблока съели?» – то ответом будет натуральное число, меньшее или равное восьми, например, 3 куска, 5 кусков.

Другой пример: если расположение объекта рассматривается относительно поверхности Мирового океана, то получаются как положительные, так и отрицательные числа. Если же за точку отсчета взять центр земного шара, то будут получаться только положительные числа.

ИЗУЧЕНИЕ ДЕЙСТВИЙ

Программа и стандарты предусматривают подробное изучение в течение обучения в начальной школе четырех арифметических действий – сложения, вычитания, умножения и деления, а также знакомство с действием возведения в степень (рассматриваются только слу- чаи возведения в натуральную степень натуральных чисел).

14

Лекция 5

Распределение изучения действий по классам следующее: 1-й класс – табличное сложение и вычитание;

2-й класс – внетабличное сложение и вычитание, табличное умножение и деление, деление с остатком;

3-й класс – умножение и деление многозначных чисел на однозначные числа;

4-й класс – умножение и деление многозначных чисел на многозначные, возведение натуральных чисел в натуральную степень.

Основой первоначального знакомства с действиями сложения и вы- читания является работа с группами предметов (множествами) как в виде их изображений на рисунках, так и составленных из раздаточного материала. Сложение рассматривается как объединение двух (или нескольких) таких групп в одну, вычитание – как разбиение группы на две. Такой подход позволяет, с одной стороны, построить учебную деятельность детей на наиболее близких для данной возрастной группы наглядно-дей- ственном и наглядно-образном уровнях мышления, связать изучаемые действия с образной моделью, а, с другой стороны, с первых шагов знакомства установить связь между сложением и вычитанием.

В дальнейшем понятие о сложении и вычитании становится более разносторонним и глубоким за счет рассмотрения их с других точек зрения: сложение рассматривается как действие, позволяющее увеличить число на несколько единиц; вычитание – как действие, позволяющее уменьшить число на несколько единиц, а также как действие, позволяющее установить количественную разницу между двумя числами, то есть ответить на вопрос о том, на сколько одно число больше (меньше) другого. Используется и другой аспект расширения понятий об этих действиях – помимо сложения и вычитания натуральных чисел, происходит знакомство с выполнением этих действий с дробными числами с одинаковыми знаменателями, а также сложение

èвычитание отрезков, многоугольников, объемных тел. Первоначально дети находят значения сумм и разностей так, как

считают нужным. Как правило, это пересчет элементов после объединения заданных множеств или после выделения одного из подмножеств из заданного множества или присчитывания и отсчитывания элементов. Учителю в этот период необходимо побуждать детей сравнивать эти способы так, чтобы и на этой основе дети смогли сделать самостоятельный вывод о том, какой из способов более рационален.

Следующим шагом является начало знакомства с общепринятым способом выполнения рассматриваемых действий – таблицей сложения.

Если в классе есть хотя бы один ученик, который не использует счетный материал (палочки, пальцы и т.д.), а записывает результаты действий по памяти, необходимо привлечь внимание остальных учеников

Методические особенности изучения чисел и действий с ними

 

в системе Л.В. Занкова

15

к этому способу, предложив такому ученику рассказать, как он получа- ет результат. Объяснение, как правило, одно – ученик помнит результат действий наизусть. Если же таких учеников нет, главным действующим лицом становится сам учитель. Именно он показывает, что не пользуется счетным материалом, и объясняет, почему это так. После этого сообщает, что существует таблица сложения, запомнив которую, можно без счетного материала находить значения сумм и разностей.

После завершения представленной выше работы начинается основной этап изучения сложения и вычитания – составление таблицы сложения. Он распадается на три части:

составление таблицы сложения без перехода через десяток;

сокращение этой части таблицы до необходимого и достаточного минимума на основе переместительного закона сложения и расположения чисел в натуральном ряду;

составление таблицы сложения с переходом через десяток. Составление всей таблицы сложения строится на основе состава чис-

ла из двух однозначных чисел.

При сокращении таблицы сложения желательно провести занятия так, чтобы они были максимально эмоциональными. Для этого вся таблица должна быть сосредоточена в одном месте (лучше всего отвести в тетради специальную страницу, на которую постепенно заносятся составленные столбики таблицы). Всего на ней окажется 36 равенств. Естественно, такое количество равенств детям запомнить трудно. Однако после сокращения останется только 12 равенств, запомнив которые, можно найти значение любой суммы и разности.

Taблица сложения

2 + 2 = 4

3 + 3 = 6

4 + 4 = 8

3 + 2 = 5

4 + 3 = 7

5 + 4 = 9

4 + 2 = 6

5 + 3 = 8

 

5 + 2 = 7

6 + 3 = 9

 

6 + 2 = 8

 

 

7 + 2 = 9

 

 

 

 

 

В отличие от подачи материалов в традиционной системе внетабличное сложение и вычитание строятся не на последовательном рассмотрении частных случаев этих действий, а на выделении и осознании положений, лежащих в основе алгоритма их выполнения:

поразрядность выполнения каждой из этих операций;

использование таблицы сложения для вычислений в каждом разряде.

16

Лекция 5

Такой подход позволяет уже на этапе выполнения действий с двузначными числами сформировать общее понятие об алгоритме выполнения сложения и вычитания и в дальнейшем использовать его на любом множестве натуральных чисел, не занимая значительного учебного времени на рассмотрение и изучение этих частных случаев.

Необходимо иметь в виду, что мы принципиально стоим на позиции формирования общего понятия о выполнении операций на базе небольших чисел. С ними детям сравнительно легко работать, а операции с ними без значительной затраты сил и времени дети могут выполнить практически, проверив правильность выдвинутых предположений на легко обозримом материале. В этом случае у формируемого понятия есть прочная база личного практического опыта, что не мешает достижению высокого уровня обобщения, а, наоборот, способствует его достижению.

Как и в большинстве случаев, дети должны самостоятельно создать алгоритм выполнения изучаемых операций. Рассмотрим фрагмент урока, на котором появляется алгоритм выполнения действия сложения, на основе выполнения задания 117 из учебника для 2-го класса.

Задание 117. Чтобы узнать значение суммы 34 + 45, Вера и Боря сделали такие рисунки:

Рисунок Веры

Рисунок Бори

1)Чей рисунок лучше поможет узнать значение суммы?

2)Подумай, какая математическая запись соответствует выбранному тобой рисунку. Сделай такую запись.

3)Сравни свою запись с такой:

34 + 45 = (30 + 4) + (40 + 5) = = (30 + 40) + (4 + 5) = 70 + 9 = 79

У тебя получилась такая же запись?

Если нет, в чем разница? Какая запись тебе кажется более удачной? Почему?

Методические особенности изучения чисел и действий с ними

 

в системе Л.В. Занкова

17

4)Рассмотри предложенную запись и ответь на следующие вопросы:

Какими суммами заменили слагаемые? Как такие суммы называются? Что обозначает запись (30 + 40) + (4 + 5)?

5)Сделай записи такого же вида и найди значения сумм:

54 + 32

46 + 31

63 + 24

73 + 16

27 + 42

 

6)Запиши несколько своих сумм и их значения.

7)Подумай, правильно ли утверждение:

при сложении чисел удобно десятки складывать с десятками, а единицы с единицами.

8) Запиши равенства из таблицы сложения, которые помогли тебе найти значения всех сумм.

Учитель. Откройте учебник на с. 46, найдите задание 117 и выполните пункт 1.

Дети. Мне кажется, что второй рисунок удобнее – в нем пучки вместе и палочки тоже вместе.

А я думаю, что оба рисунка удобные – ведь и пучков, и палочек немного, их легко сосчитать на каждом рисунке.

Мне кажется, что все-таки Борин рисунок лучше. Конечно, пере- считать пучки и палочки легко на каждом рисунке, а если их будет очень много и все они будут лежать в беспорядке, то пересчитать будет гораздо труднее: можно какую-то палочку пропустить.

У. Подумайте, какое мнение вам кажется верным. Д. Оба верные.

Íåò, все-таки верно, что удобнее второй рисунок, особенно в тех случаях, когда пучков и палочек много.

Я тоже так считаю: ведь когда наведен порядок, всегда удобнее выполнить задание.

У. Какие математические операции и в каком порядке нужно выполнить, чтобы найти значение суммы 34 + 45?

Д. Сначала нужно сложить десятки, потом единицы, а в конце сложить значения этих сумм.

Мне кажется, что сначала слагаемые надо заменить суммами разрядных слагаемых.

У. Молодцы, все сказали правильно. Прочитайте пункт 6 этого же задания и ответьте на поставленный вопрос.

18

Лекция 5

Дети читают и все соглашаются с предложенным утверждением.

– А теперь попробуйте самостоятельно сделать математическую запись определения значения данной суммы.

Дети работают самостоятельно, после завершения работы учи- тель предлагает сравнить получившуюся у них запись с данной в учебнике:

34 + 45 = (30 + 4) + (40 + 5) = (30 + 40) + (4 + 5)= = 70 + 9 = 79

Чем отличается ваша запись от данной? Какие вы допустили ошибки?

Д. Я не записала суммы разрядных слагаемых.

А я не ставил скобки, и все равно получился тот же ответ.

Такая запись неверная – ведь важно складывать в нужном порядке, а если скобок нет, порядок будет совсем другой.

Для нахождения результата скобки не важны, для осознания алгоритма сложения скобки важны.

Я сначала складывала единицы, а потом десятки.

Я думаю, это не ошибка – ведь мы знаем переместительный закон сложения.

У. Сейчас мы попробуем найти значения сумм таким же способом

èобъяснить каждый наш шаг.

Учитель вызывает к доске двух-трех детей, которые допустили ошибки или погрешности при составлении записи. Каждый из них работает с одной суммой из пункта 5. Остальные дети работают самостоятельно с другими суммами из этого пункта.

– Гриша, расскажи, как ты нашел значение своей суммы.

Гриша – один из работающих на доске – повторяет шаги алгоритма сложения. Затем учитель приглашает еще четырех учеников и предлагает каждому выбрать одну из табличек: 1-й шаг – разбиение на разрядные слагаемые, 2-й шаг – сложение десятков, 3-й шаг – сложение единиц, 4-й шаг – сложение полученных результатов.

– Сейчас я предлагаю Лене, Олегу, Коле и Ире найти значение суммы 65 + 23, выполняя по очереди определенный шаг в соответствии с номером, который у него на груди. Нам с вами предстоит понаблюдать за «живым» решением выражения.

Дети выполняют задание. Коля у доски неверно определил 2-й шаг: он объединил его с 3-м. Лена и другие ученики помогли ему понять, в чем он ошибся.

Во 2-м классе начинается изучение действий умножения и деления. Первое из них рассматривается как действие, заменяющее сложение в случаях равенства слагаемых, второе – как действие, обрат-

Методические особенности изучения чисел и действий с ними

 

в системе Л.В. Занкова

19

ное умножению, при помощи которого по значению произведения и одному множителю можно узнать другой множитель.

Âдальнейшем умножение и деление рассматриваются и с других точек зрения: как действия, позволяющие увеличить или уменьшить число в несколько раз. Деление также рассматривается как действие, при помощи которого можно узнать, во сколько раз одно число больше (меньше) другого.

При решении задач рассматриваются случаи, приводящие к делению на равные части («Учительница раздала 27 тетрадей уче- никам, по 3 тетради каждому. Сколько учеников получили тетради?»)

èделению по содержанию («Учительница раздала 27 тетрадей поровну девяти ученикам. Сколько тетрадей получил каждый уче- ник?»).

Как и при изучении темы «Сложение и вычитание», одним из важнейших вопросов знакомства с новыми действиями (умножение и деление) является составление таблицы умножения. Стремясь максимально использовать связь между сложением и умножением, мы отказались от принципа ее составления, основанного на последовательном увеличении количества одинаковых слагаемых

(2 + 2, 2 + 2 + 2, 2 + 2 + 2 + 2 è ò.ä.).

Âсистеме Л.В. Занкова первым шагом в составлении таблицы умножения является выделение из таблицы сложения сумм, в которых сложение можно заменить умножением.

Таким образом, первый столбик таблицы умножения объединяет все случаи умножения однозначных натуральных чисел на число 2:

2 × 2 = 4

3 × 2 = 6

4 × 2 = 8

5 × 2 = 10

6 × 2 = 12

7 × 2 = 14

8 × 2 = 16

9 × 2 = 18

В дальнейшем величина второго множителя последовательно увеличивается от столбика к столбику, пока не достигнет 9.

Такой подход к составлению таблицы умножения является более предпочтительным и потому, что после сокращения составленной таблицы на основе переместительного закона умножения и использования особых случаев этого действия оставшаяся для заучивания часть таблицы легче запоминается детьми, так как по мере увеличе-

Соседние файлы в папке Лекции