Аргинская И.И / Методические рекомендации / obosn_matem

ОБОСНОВАНИЕ КУРСА

Курс математики, являясь частью системы развивающего обучения Л.В. Занкова, отражает характерные ее черты, со храняя при этом свою специфику. В нем отражена идея дея тельностного подхода, предусмотрена работа по формирова нию универсальных учебных умений, таких, как умение ана лизировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, выдви гать гипотезы и проверять их истинность, выявлять законо мерности и т.д. Содержание курса направлено на решение следующих задач, предусмотренных ФГОС 2009 г. и отража ющих планируемые результаты обучения математике в на чальных классах:

научить использовать начальные математические знания для описания окружающих предметов, процессов, явлений, оценки количественных и пространственных отношений;

создать условия для овладения основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображе ния и математической речи, приобретения навыков измере ния, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представле ния о записи и выполнении алгоритмов;

приобрести начальный опыт применения математичес ких знаний для решения учебно познавательных и учебно практических задач;

научить выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текс товые задачи, действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами и диаграммами, цепочками, совокупностями, предс тавлять и интерпретировать данные.

Решению названных задач способствует особое структури рование определенного в программе материала.

Курс математики построен на интеграции нескольких ли ний: арифметики, алгебры, геометрии и истории математики. На уроках ученики раскрывают объективно существующие

3

взаимосвязи, в основе которых лежит понятие числа. Перес читывая количество предметов и обозначая это количество цифрами, дети овладевают одним из метапредметных уменийсчетом. Числа участвуют в действиях (сложение, вычита ние, умножение, деление); демонстрируют результаты измере ний (длины, массы, площади, объема, вместимости, времени); выражают зависимости между величинами в задачах и т.д. Содержание заданий, а также результаты счета и измерений представляются в виде таблиц, диаграмм, схем. Числа ис пользуются для характеристики и построения геометрических фигур, в задачах на вычисление геометрических величин. Числа помогают установить свойства арифметических дейст вий, знакомят с алгебраическими понятиями: выражение, уравнение, неравенство. Знакомство с историей возникнове ния чисел, возможность записывать числа, используя совре менную и исторические системы нумерации, создают предс тавление о математике как науке, расширяющей общий и ма тематический кругозор ученика, формируют интерес к ней, позволяют строить преподавание математики как непрерыв ный процесс активного познания мира.

Таким образом, цели, поставленные перед преподаванием математики, достигаются в ходе осознания связи между необ ходимостью описания и объяснения предметов, процессов, явлений окружающего мира и возможностью это сделать, ис пользуя количественные и пространственные отношения. Со четание обязательного содержания и сверхсодержания (см. программу курса), а также многоаспектная структура заданий и дифференцированная система помощи создают условия для мотивации продуктивной познавательной деятельности у всех обучающихся, в том числе и одаренных и тех, кому требуется педагогическая поддержка. Содержательную основу для такой деятельности составляют логические задачи, задачи с неод нозначным ответом, с недостающими или избыточными дан ными, представление заданий в разных формах (рисунки, схе мы, чертежи, таблицы, диаграммы и т.д.), которые способ ствуют развитию критичности мышления, интереса к ум ственному труду.

Программа разработана в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования, Примерной программой по

математике для начальной школы и направлена на достиже ние обучающимися личностных, метапредметных (регулятив ных, познавательных и коммуникативных) и предметных ре зультатов. Основным содержанием программы по математике в начальной школе является понятие натурального числа и действий с этими числами.

В1 классе натуральное число возникает как инвариантная характеристика класса равномощных конечных множеств, а инструментом отношений между ними становится установле ние взаимно однозначного соответствия между элементами множеств. На этой основе формируются понятия об отноше ниях «больше», «меньше», «равно» как между множествами, так и соответствующими им числами.

Изучение однозначных натуральных чисел завершается их упорядочиванием и знакомством с началом натурального ря да и его свойствами.

Расширение понятия числа происходит в ходе знакомства

сдробными (3 кл.), а также целыми положительными и отри цательными числами (4 кл.). Основными направлениями ра боты при этом являются: осознание тех жизненных ситуаций, которые привели к необходимости введения новых чисел, вы деление детьми таких ситуаций в окружающем их мире (тем пература воздуха, высота гор, глубина морей), относитель ность использования этих новых чисел как в жизни, так и в математике.

В1 классе дети знакомятся и с интерпретацией числа как результата отношения величины к выбранной мерке. Это про исходит при изучении таких величин, как «длина», а в после дующие годы обучения в начальной школе «масса», «вмес тимость», «время» (2 кл.), «площадь», «величина углов» (3 кл.) и «объем» (4 кл.).

Эти два подхода к натуральному числу сосуществуют на протяжении всего начального обучения, завершаясь обобще нием, в результате которого создаются условия для введения понятий точного и приближенного значений числа.

Основой первоначального знакомства с действиями сложе ния и вычитания является работа с группами предметов (множествами). Сложение рассматривается как объединение двух (или нескольких) групп в одну, вычитание как разби ение группы на две. Такой подход позволяет, с одной сторо

4

5

ны, построить познавательную деятельность детей на наибо лее продуктивных для данной возрастной группы наглядно действенном и наглядно образном уровнях мышления, а с другой стороны, с первых шагов знакомства с действиями сложения и вычитания установить связь между ними. В про цессе выполнения операций над группами предметов вводят ся соответствующие символика и терминология.

В дальнейшем сложение рассматривается как действие, позволяющее увеличить число на несколько единиц, вычита ние как действие, позволяющее уменьшить число на нес колько единиц, а также как действие, устанавливающее коли чественную разницу между двумя числами, т.е. отвечающее на вопрос, на сколько одно число больше (меньше) другого (1 кл.).

Важными аспектами при изучении арифметических дейст вий являются знакомство с составом чисел первых двух де сятков и составление таблицы сложения (1 кл.) и таблицы умножения (2 кл.).

Внетабличное сложение и вычитание (2 кл.) строится на выделении и осознании основных положений, лежащих в фундаменте алгоритма их выполнения: поразрядности выпол нения каждой из этих операций и использования таблицы сложения для вычислений в каждом разряде. Такой же под ход используется при выполнении внетабличного умножения и деления (3 кл.) с применением таблицы умножения.

Умножение рассматривается как действие, заменяющее сложение в случаях равенства слагаемых, а деление как действие, обратное умножению, с помощью которого по зна чению произведения и одному множителю можно узнать дру гой множитель. Затем умножение и деление представляются и как действия, позволяющие увеличить или уменьшить чис ло в несколько раз, а деление как действие, с помощью ко торого можно узнать, во сколько раз одно число больше (меньше) другого. В связи с решением задач рассматривают ся также случаи, приводящие к делению на равные части и к делению по содержанию.

В курсе математики изучаются основные свойства арифме тических действий и их приложения:

переместительное свойство сложения и умножения;

сочетательное свойство сложения и умножения;

распределительное свойство умножения относительно сложения.

Применение этих свойств и их следствий позволяет сос тавлять алгоритмы умножения и деления многозначных чи сел на однозначное число и формировать навыки рациональ ных вычислений.

Знакомство с понятиями равенства, неравенства, выра жения (1 кл.) и активная работа с ними позволяют расши рить объем этих понятий в последующих классах. Рассмотре ние ситуаций, в которых неизвестен один из компонентов арифметического действия, приводит к появлению равенств с неизвестным числом уравнений (2 кл.). Аналогично в третьем классе помимо числовых неравенств появляются не равенства с переменной, а наряду с нахождением значений числовых выражений ученики находят значения буквенных выражений при заданных значениях этой переменной.

Текстовые задачи являются важным разделом в препода вании математики. Умение решать их базируется на основе анализа той ситуации, которая отражена в данной конкретной задаче, и перевода ее на язык математических отношений.

Для формирования истинного умения решать задачи уче ники прежде всего должны научиться исследовать текст, на ходить в нем нужную информацию, определять, является ли предложенный текст задачей, при этом выделяя в нем основ ные признаки этого вида заданий и его составные элементы и устанавливая между ними связи, определять количество действий, необходимое для получения ответа на вопрос зада чи, выбирать действия и их порядок, обосновав свой выбор.

В ходе обучения в начальной школе ученикам предстоит решать задачи, содержащие отношения «больше на (в) …», «меньше на (в) …»; задачи, содержащие зависимости, характе ризующие процессы: движения (скорость, время, расстояние), работы (производительность труда, время, объем работы); за дачи на расчет стоимости (цена, количество, стоимость), зада чи на нахождение периодов времени (начало, конец, продол жительность события); а также задачи на нахождение части целого и целого по его доле.

Решение этих задач объединяет содержание курса матема тики с содержанием других предметов, построенных на текс товой основе, и особенно с курсами русского языка, литера

6

7

турного чтения и окружающего мира. Глубокая работа с каж дым словом в тексте задачи является косвенным фактором, способствующим формированию и другого метапредметного умения «вчитывания» в формулировки заданий и их пони мания.

Значительное место в программе по математике для на чальной школы занимает геометрический материал, что объясняется двумя основными причинами. Во первых, работа

сгеометрическими объектами, за которыми стоят реальные объекты природы и сделанные человеком, позволяет, опира ясь на актуальные для младшего школьника наглядно действенный и наглядно образный уровни познавательной де ятельности, подниматься на абстрактный словесно логичес кий уровень; во вторых, способствует более эффективной подготовке учеников к изучению систематического курса гео метрии.

Изучение геометрических фигур начинается со знакомства

сточкой и линией и рассмотрения их взаимного расположе ния. Сравнение разных видов линий приводит к появлению различных многоугольников, а затем к знакомству с про странственными фигурами. Геометрические величины (длина, площадь, объем) изучаются на основе единого алгоритма, ба зирующегося на сравнении объектов и применении различ ных мерок. Умение строить различные геометрические фигу ры и развертки пространственных фигур, находить площади и объемы этих фигур необходимо при выполнении различных поделок на уроках технологии, а также в жизни.

Изучение линии величин завершается в 4 классе составле нием таблиц мер изученных величин и соотношений между ними, а также сравнением этих таблиц между собой и с деся тичной системой счисления.

Работа по поиску, пониманию, интерпретации, пред ставлению информации начинается с 1 класса. На изучае мом математическом материале ученики устанавливают ис тинность или ложность утверждений. На простейших приме рах учатся читать и дополнять таблицы и диаграммы, коди ровать информацию в знаково символической форме, состав лять краткие записи задач в виде графических и знаковых схем. Ученики получают возможность научиться поиску спо соба решения задачи с помощью логических рассуждений,

оформляя их в виде схемы. Диаграммы и схемы усложняются в последующих классах в двух направлениях: во первых, уве личивается количество символов в схемах, во вторых, они приобретают все более абстрактную форму (в соответствии с уровнем развития абстрактного мышления учащихся). В пер вом классе ученикам диаграммы предлагаются только для чтения, в дальнейшем детям предлагается дополнить диаг раммы своими данными или подписями. Таблицы применя ются в самых разных ситуациях: в качестве краткой записи условия задач, в качестве формы записи решения задач, как источник информации об изменении компонентов действия и для представления данных, собранных в результате неслож ных исследований.

Эта линия работы поддерживается программами и учебни ками всех учебных предметов.

Таким образом, содержание курса математики в начальной школе построено с учетом межпредметной, внутрипредметной и надпредметной интеграции, что создает условия для орга низации учебно исследовательской деятельности ребенка и способствует его личностному развитию.

ОСНОВНЫЕ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ КУРСА МАТЕМАТИКИ В 1 КЛАССЕ

Курс 1 класса реализуется развитие всех основных содер жательных линий курса математики в начальной школе: «Изучение чисел», «Изучение действий», «Элементы алгеб ры», «Элементы геометрии», «Величины и их измерение» и «Работа с задачами».

Курс математики в 1 классе содержит следующие темы «Сравнение предметов», «Числа и цифры», «Натуральный ряд чисел», «Сложение и вычитание», « Однозначные и двуз начные числа», «Сложение и вычитание с переходом через десяток», «Таблица сложения», «Составление и решение простых задач», «Прямая. Луч. Отрезок», «Ломаная», «Углы и многоугольники».

Кроме вышеназванных в курс математики 1 класса вклю чены вспомогательные и, по сути, подготовительные к систе матическому изучению курса математики темы «Признаки. Сравнение предметов» и «Ориентация на плоскости и в

8

9

пространстве». Работа по этим направлениям в самом начале изучения курса позволяет активизировать и развивать внима ние, память, речь, умение высказываться и т.д. Детям предла гается в основном выделять и сравнивать предметы по одно му из признаков (цвет, форма, размер, расположение). При чем выделить признак предлагается самим детям. («Чем по хожи предметы? Чем отличаются? Подбери подходящие предметы.») Постепенно детям предлагаются задания, в кото рых два признака меняются, а два остаются неизменными. Одновременно с заданиями на изменение вышеназванных признаков появляются задания на выявление одинакового ко личества предметов («Какой рисунок лишний? «Установи за кономерность» и т.д.). Так как практически все задания не предполагают однозначного ответа, то при выполнении таких заданий возникают коллизии. Например, при выборе лишнего рисунка возможны варианты: если определяющим признаком считать однородность предметов на рисунке, то лишним бу дет один рисунок, а если количество предметов на рисунке, то совсем другой. Задания такого плана, несомненно, носят развивающий характер, так как развивают познавательные и коммуникативные способности.

Также в курсе математики 1 класса много внимания уделя ется ориентации на плоскости и в пространстве, на ориенти рование относительно наблюдателя. («Что находится справа, а что слева? Что держит персонаж в левой руке? А что нахо дится у правой ноги?» Упражнения на отображение в зерка ле.) Задания такого рода заставляют встать на место персона жа и увидеть ситуацию его глазами. Ребятам предлагается ориентироваться и определять положение предметов по одно му направлению «вверху, внизу», «справа, слева». Затем для определения положения предметов требуется указание двух направлений вверху слева или внизу посередине. Уде ляется внимание и расположению какого либо объекта отно сительно других предметов. Например, как охарактеризовать положение деревни, стоящей на холме? Вверху или внизу ри сунка? Односложный ответ будет неверным. Так как деревня находится выше реки, дороги, леса, но ниже солнца, облаков, летящих птиц.

Линия изучения чисел начинается со сравнения множеств без счета, а на основе визуального сравнения. Первые уроки

предполагают использование простейших терминов «много мало», затем «больше, меньше, столько же». Причем каждый новый термин появляется в результате коллизии, когда не достаточно уже известных терминов. Например, одно и то же количество песка в песочнице в одном случае характеризует ся термином «много», а в другом «мало». Затем для сравне ния множеств используется прием установления взаимно од нозначного соответствия и лишь потом появляется счет, как самый универсальный способ сравнения множеств. Особен ностью курса математики в 1 классе является то, что знаком ство с цифрами происходит по мере усложнения их написа ния, а не по мере увеличения чисел, которые обозначают эти цифры. При знакомстве с каждой цифрой привлекакется весь дошкольный опыт ребенка для того, чтобы представить коли чество предметов, обозначаемых данной цифрой (привлека ются стихи, загадки, рисунки).

После знакомства со всеми однозначными числами предс тоит их упорядочить, построить начало натурального ряда, на основе которого появляется понятие отрезка натурального ряда. И натуральный ряд и отрезок натурального ряда актив но применяются в дальнейшем для выполнения действий, ре шения уравнений, сравнения и округления чисел.

Исторический разворот «Числа и цифры» подчеркивает мысль о нетождественности понятий «число» и «цифра».

Двузначные числа изучаются по определенному алгоритму, который неоднократно будет повторен в последующих клас сах. Сначала новая единица счета (в данном случае десяток) образуется, ее записывают, называют, анализируют запись, за тем с помощью новой единицы считают до 9 (тем самым, об разуя круглые десятки), эти числа также называют, записыва ют, анализируют запись и название. И затем заполняют про межутки между десятками.

Линия «Изучение действий» в 1 классе содержит матери ал для изучения действий сложения и вычитания. Сложение рассматривается как объединение элементов двух конечных непересекающихся множеств. В начале изучения темы боль шое внимание уделяется каждому существенному признаку этого понятия. По мере знакомства с действием сложения по являются термины и запись действия, позволяющие стандар тизировать производимые действия. Аналогично вводится

10

11

действие вычитания, рассматриваемое как отделение части	процессуальности. В результате изучения геометрии курс ма
конечного множества.	тематики 1 класса предлагает ученику пройти путь от знако
Для выполнения сложения предлагаются разные способы:	мства с точкой и прямой до разных видов многоугольников и
пересчет, присчитывание, движение по натуральному ряду. В	углов. Кроме этого ученики знакомятся с первыми геометри
дальнейшем составляется таблица сложения, которая служит	ческими инструментами циркулем и линейкой и примене
первым математическим справочником, и на основе которой	нием их для измерения и проведения линий.
выполняются действия сложения и вычитания, выводятся за	Раздел «Величины и их измерение» изложен в учебнике
кономерности (переместительное свойство сложения, увели	в соответствии с алгоритмом, который будет использоваться
чение числа на 1), решаются уравнения. Для сложения и вы	и в последующие годы изучения математики. В соответствии
читания чисел с переходом через десяток также предлагаются	с этим алгоритмом в учебнике 1 класса изучается величина
несколько способов (пересчет, движение по натуральному ря	«длина». Выявление величины, попытки сравнить объекты
ду, движение к ближайшему десятку), из которых дети выби	визуально, а затем практически, привлечение различных ме
рают самый рациональный. В результате выполнения	рок и, наконец, применение общепринятых мерок, т.е. единиц
действий таблица сложения пополняется новыми равенства	измерения все это этапы единого алгоритма изучения вели
ми. Таким образом, в 1 классе подготовлена основа для вы	чины.
полнения действий сложения и вычитания с любыми числа	Исторический разворот, иллюстрирующий появление мер
ми.	длины из повседневной хозяйственной деятельности человека
Раздел «Элементы алгебры» включает в себя знакомство	у разных народов, является основой для интересной работы в
с понятиями «равенство», «неравенство». Понятия «равен	1 классе и дальнейшего знакомства с историей возникнове
ство» и «неравенство» появляются в результате установления	ния единиц измерения различных величин. В 1 классе проис
взаимно однозначного соответствия между конечными мно	ходит знакомство с сантиметром и дециметром и практичес
жествами. Для унификации записи полученных выводов вво	кое получение основной единицы длины метра. Также уста
дятся знаки «=», «>», «<». Чуть позже «проверяя» выполнен	навливаются соотношения между метром и дециметром, сан
ные в учебнике действия, дети делают вывод о том, что раве	тиметром и дециметром.
нства и неравенства могут быть верными или неверными.	Работа с задачами в учебнике 1 класса представлена
Раздел «Элементы геометрии» достаточно обширен и	нетрадиционно. Начало работы предложено заданиями на
представлен двумя направлениями геометрия на плоскости	составление математических рассказов по рисункам. В ходе
и геометрия в пространстве. Работа по знакомству, выявле	выполнения этих заданий отрабатывается навык составления
нию свойств, изготовлению моделей, идентификации объем	краткого, логичного, последовательного рассказа, что в даль
ных тел производится на реальных предметах и моделях, т.е.	нейшем поможет более легко анализировать ситуации, изло
носит практический характер.	женные в задачах. По мере продвижения по учебнику ситуа
Знакомство с планиметрическим материалом начинается с	ции, представленные на рисунках, усложняются, и, следова
понятий «точка» и «линия» и взаимного расположения этих	тельно, число рассказов, которые возможно составить по ри
геометрических объектов. Рассматривая разные геометричес	сункам, увеличивается. Тем самым, проявляется свойство ва
кие линии, различая и сравнивая их, обобщая свои наблюде	риантности выполнения задания. Математические рассказы
ния, учащиеся приходят к различным понятиям: «прямая» и	постепенно включаются в развитие разных содержательных
«кривая», «замкнутая» и «незамкнутая», «конечная» и «бес	линий. Важное направление представляют собой задания на
конечная» и т.д. Варьируя свойства той или иной линии, уча	составление математических рассказов по рисункам с пропу
щиеся получают все новые и новые геометрические объекты с	щенными фрагментами. Для составления рассказа нужно сна
новыми свойствами. Это подтверждает реализацию свойства	чала подобрать рисунок из предлагаемого ряда. В зависимос

12

13

ти от выбора рисунка изменяется и математический рассказ. Такая разнообразная работа по развитию навыка работы с

информацией, заключенной в рисунке, помогает в последую щих классах более осознанно подходить к задачам в виде текста, графических моделей, числовых выражений.

14