теоретическая механика / Задание01

А01. Из пункта А, находящегося на шоссе (рис.) необходимо за кратчайшее время попасть на машине в пункт В, расположенный в поле на расстоянии от шоссе. Известно, что скорость машины по полю в  раз меньше ее скорости по шоссе. На каком расстоянии от точки D следует свернуть с шоссе?

Ответ: .

А02. Точка движется вдоль оси Х со скоростью, проекция которой , как функция времени описывается графиком на рис. Имея в виду, что в момент t=0 координата точки х=0, начертить примерные графики зависимости от времени ускорения а_x, координаты х и пройденного пути S.

А03. За промежуток времени  =10,0 с точка прошла половину окружности радиуса R=160 см, Вычислить за это время:

а) среднее значение модуля скорости v;

б) модуль среднего вектора скорости v;

в) модуль среднего вектора полного ускорения a, если точка двигалась с постоянным тангенциальным ускорением.

Ответ: а) v = R/ = 50 см/с; б) v = 2R/ = 32 см/с; в) a = 2R/² = 10 см/с².

А04. Радиус-вектор частицы меняется со временем t по закону r = bt(1-t), где b — постоянный вектор,  — положительная постоянная. Найти:

а) скорость v и ускорение а частицы в зависимости от времени;

б) промежуток времени t, по истечении которого частица вернется в исходную точку, а также путь s, который она пройдет при этом.

Ответ: а) v = b(1 – 2t), a = - 2b = const; б) t = 1/; s = b/2.

А05. В момент t = 0 частица вышла из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость меняется со временем по закону , где v₀- начальная скорость, модуль которой v₀ = 10 см/с,  = 5,0 с. Найти:

а) координату х частицы в моменты времени 6, 10 и 20 с;

б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10,0 см от начала координат.

Ответ: а) x = v₀t(1 – t/2); 0,24; 0 и – 4,0 м; б) 1,1; 9 и 11 с.

А06. Точка движется, замедляясь, по прямой с ускорением, модуль которого зависит от ее скорости  по закону , где  - положительная постоянная. В начальный момент скорость точки равна ₀. Какой путь она пройдет до остановки? За какое время этот путь будет пройден?

Ответ: ; .

А07. Радиус-вектор точки А относительно начала координат меняется со временем t по закону r = ti + t²j, где  и  - постоянные, i и j – орты осей x и y. Найти:

а) уравнение траектории точки y(x); изобразить ее график;

б) зависимость от времени скорости , ускорения а и модулей этих величин;

в) зависимость от времени угла  между векторами а и .

Ответ: а) ; б) ; ; ; ; в) .

А08. Тело движется в плоскости xy по закону , , где  и - положительные постоянные. Найти:

а) уравнение траектории точки ;

б) скорость , ускорение а точки в зависимости от времени t;

в) момент , когда угол между скоростью и ускорением равен .

Ответ: а) ; б) ;; в) .

А09. Точка движется в плоскости xy по закону x = Аsint, y = A(1-cost), где А и  - положительные постоянные. Найти:

а) путь s, проходимый точкой за время ;

б) угол между скоростью и ускорением точки.

Ответ: a) s = A; б) /2.

А10. Частица движется в плоскости XY с постоянным ускорением а, направление которого противоположно положительному направлению оси Y. Уравнение траектории частицы имеет вид , где  и  - положительные постояниые. Найти скорость частицы в начале координат.

Ответ: .

А11. Небольшое тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью v₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) перемещение тела в функции времени r(t);

б) средний вектор скорости < v > за первые t секунд и за все время движения.

Ответ: а) r = v ₀t + gt²/2; б) < v >_t = v ₀ + gt/2; < v > = v ₀ – g(v ₀g)/g²;

А12. Тело бросили с поверхности Земли под углом  к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) время движения;

б) максимальную высоту подъема и горизонтальную дальность полета; при каком значении угла  они будут равны друг другу;

в) уравнение траектории , где у и х - перемещение тела по вертикали и горизонтали соответственно.

Ответ: а)  = 2(₀/g) sin; б) h = (₀²/2g) sin² , l = (₀²/g) sin2 ,  = 76^o; в) y = x tg - (g/2₀² cos²) x².

А13. Шарик падает с нулевой начальной скоростью на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол  с горизонтом. Пролетев расстояние h, он упруго отразился от плоскости. На каком расстоянии от места падения шарик отразится второй раз?

Ответ: l = 8h sin.

А14. Пушка и цель находятся на одном уровне на расстоянии 5,1 км друг от друга. Через сколько времени снаряд с начальной скоростью 240 м/с достигнет цели?

Ответ: Через 0,41 или 0,71 мин в зависимости от начального угла.

А15. Частица движется в плоскости ху со скоростью , где i и j — орты осей х и у,  и  — постоянные. В начальный момент частица находилась в точке х = y = 0. Найти:

а) уравнение траектории частицы у(х);

б) радиус кривизны траектории в зависимости от x.

Ответ: а) ; б) .

А16. Частица движется по дуге окружности радиуса R по закону , где - смещение из начального положения, отсчитываемое вдоль дуги, А и  — постоянные. Положив R = 1,00 м, A = 0,8 м и  = 2,00 с ^-1, найти полное ускорение частицы в точках = 0 и ±А.

Ответ: м/с²; м/с².

А17. Колесо вращается вокруг неподвижной оси так, что угол  его поворота зависит от времени как , где  = 0,20 рад/с². Найти полное ускорение а точки А на ободе колеса в момент t = 2,5 с, если скорость точки А в этот момент v = 0,65 м/с.

Ответ: м/с².

А18. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где а = 6,0 рад/с, b = 2,0 рад/с³. Найти:

а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t = 0 до остановки;

б) угловое ускорение в момент остановки тела.

Ответ: а)  = 2а/3 = 4 рад/с;  = = 6 рад/с²; б)  = 2 = 12 рад/с².

А19. Вращающийся диск (рис.) движется в положительном направлении оси х. Найти уравнение у(х), характеризующее положения мгновенной оси вращения, если в начальный момент ось С диска находилась в точке О и в дальнейшем движется:

а) с постоянной скоростью v, а диск раскручивается без начальной угловой скорости с постоянным угловым ускорением ;

б) с постоянным ускорением а (без начальной скорости), а диск вращается с постоянной угловой скоростью .

Ответ: а) (гипербола); б) (парабола).

А20. Шар (рис.) радиуса R = 10,0 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что его центр движется с постоянным ускорением а = 2,5 см/с². Через t = 2,0 с после начала движения его положение соответствует рис. Найти:

a) скорости точек А и В;

б) ускорения точек А и О.

Ответ: = 10 см/с; = 7 см/с; см/с²; а_О = = 2,5 см/с².

А21. В установке показанной на рис., массы тел равны m₀, m₁ и m₂, массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найти ускорение а, с которым опускается тело m₀, и силу натяжения нити, связывающей тела m₁ и m₂, если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен k.

Ответ: , .

А22. В установке (рис.) известны угол  и коэффициент трения k между телом m₁ и наклонной плоскостью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Вначале оба тела неподвижны. Найти отношение масс m₂/m₁, при котором тело m₂ начнет:

а) опускаться;

б) подниматься.

Ответ: а) ; б) .

А23. Небольшое тело m начинает скользить по наклонной плоскости из точки, расположенной над вертикальным упором А (рис.). Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью k = 0,140. При каком значении угла  время соскальзывания будет наименьшим?

Ответ: tg(2) = -1/k;  = 49^o.

А24. С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок А, чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него? Массы тел одинаковы, коэффициент трения между бруском и обоими телами равен k. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет (рис.).

О

твет: .

А25. Призме 1, на которой находится брусок 2 массы m, сообщили влево горизонтальное ускорение а (рис.). При каком максимальном значении этого ускорения брусок будет оставаться еще неподвижным относительно призмы, если коэффициент трения между ними ?

Ответ: .

А26. На горизонтальной поверхности находится призма 1 массы m₁ с углом  (рис. к задаче А25) и на ней брусок 2 массы m₂. Пренебрегая трением, найти ускорение призмы.

Ответ: .

А27. На тело массы m, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости (рис.), в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени как F = kt, где k — постоянная. Направление этой силы все время составляет угол  с горизонтом. Найти:

а) скорость тела в момент отрыва от плоскости;

б) путь, пройденный телом к этому моменту.

Ответ: a) ,

б) .

А28. К бруску массы m, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу . В процессе его прямолинейного движения угол  между направлением этой силы и горизонтом меняют по закону , где k - постоянная, S - пройденный бруском путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла .

Ответ: .

А29. Тело массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью ₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) приращение импульса тела за первые t секунд движения;

б) модуль приращения импульса тела за все время движения.

Ответ: a) p = mgt; б) |p| = - 2m (₀g)/g.

А30. На покоившуюся частицу массы m в момент t = 0 начала действовать сила, зависящая от времени по закону , где b - постоянный вектор,  - время, в течение которого действует данная сила. Найти:

а) импульс частицы после окончания действия силы;

б) путь, пройденный частицей, за время действия силы.

Ответ: а) p = b³/6; б) s = b⁴/12m.

А31. В момент t = 0 частица массы m начинает двигаться под действием силы , где F₀ и  - постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути?

Ответ: t = /; s = 2F₀/m²; _макс = F₀/m.

А32. Катер массы m движется по озеру со скоростью . В момент t = 0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости катера, , найти:

а) время движения катера с выключенным двигателем;

б) скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки.

Ответ: а) , ; б) , .

А33. Пуля, пробив доску толщиной h, изменила свою скорость от ₀ до . Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости.

Ответ:

А34. Самолет делает “мертвую петлю” радиуса R = 500 м с постоянной скоростью  = 360 км/ч. Найти вес летчика массы m = 70 кг в нижней, верхней и средней точках петли.

Ответ: 2,1; 0,7 и 1,5 кН.

А35. Небольшой шарик массы m, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти:

а) модуль полного ускорения шарика и силу натяжения нити в зависимости от  — угла отклонения нити от вертикали;

б) силу натяжения в момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна;

в) угол  между нитью и вертикалью в момент, когда вектор полного ускорения шарика направлен горизонтально.

Ответ: а) , ; б) ; в) .

А36. Шарик, подвешенный на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол  отклонения нити в крайнем положении.

Ответ: , .

А37. Прибор (рис., вид сверху) состоит из гладкого Г образного стержня, расположенного в горизонтальной плоскости, и муфточки А массы m, соединенной невесомой пружинкой с точкой В, Жесткость пружинки равна . Вся система вращается с постоянной угловой скоростью  вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О. Найти относительное удлинение пружинки. Как зависит результат от направления вращения? Обосновать ответ.

Ответ:  = 1/(/m² - 1).

А38. Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке радиуса R. Коэффициент трения зависит только от расстояния r до центра О площадки как , где — постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке О, по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?

Ответ: ; .

А39. Автомашина движется равномерно по горизонтальному пути, имеющему форму синусоиды , где b и а — некоторые постоянные. Коэффициент трения между колесами и дорогой равен k. При какой скорости движение автомашины будет происходить без скольжения?

Ответ: .

А40. Частица движется в положительном направлении оси x так, что ее скорость меняется по закону , где  - положительная постоянная. Имея в виду, что в момент t=0 она находилась в точке x=0, найти:

а) зависимость от времени скорости и ускорения частицы;

б) среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет первые s метров пути.

Ответ:

А41. Частица массы m в момент t=0 начинает двигаться под действием силы где F₀ и  - постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от t. Изобразить примерный график этой зависимости.

Ответ:

B01. Брусок массой m₂ = 5 кг может свободно скользить по горизонтальной поверхности без трения. На нем находится другой брусок массой m₁ = 1 кг. Коэффициент трения соприкасающихся поверхностей брусков f = 0,3. Определить максимальное значение силы F_max, приложенной к нижнему бруску, при которой начнется соскальзывание верхнего бруска.

Ответ: F_max  f (m₁ + m₂) g = 17,7 Н.

B02. Самолет летит в горизонтальном направлении с ускорением а = 20 м/с². Какова перегрузка пассажира, находящегося в самолете? (Перегрузкой называется отношение силы F, действующей на пассжира, к его весу mg.)

Ответ: 2,27.

B03. Два конькобежца массами m₁ = 80 кг и m₂ = 50 кг, держась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, выбирая его со скоростью  = 1 м/с. С какими скоростями u₁ и u₂ будут двигаться по льду конькобежцы? Трением пренебречь.

Ответ: u₁ = 0,385 м/с; u₂ = - 0,615 м/с.

B04. Однородный диск радиусом R = 10 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О на нем (рис.). Диск отклонили на угол  и отпустили. Определить для начального момента времени угловое  и тангенциальное a_ ускорения точки В, находящейся на диске. Вычисления выполнить для следующих случаев: 1) a = R, b = R/2,  = /2; 2) a = R/2, b = R,  = /6; 3) a = 2R/3, b = 2R/3,  = 2/3;

Ответ:  = ; w = . 1) 65,3 рад/с², 9,8 м/с²; 2) 32,7 рад/с², 4,9 м/с²; 3) 59,9 рад/с², 7,99 м/с².

B05. Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 400 г вращается с угловым ускорением  = 3 рад/с² около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Определить вращающий момент М.

Ответ: М = (1/12)ml² = 0,025 Нм.

B06. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R = 5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь s = 1,8 м за время t = 3 с. Определить момент инерции J маховика. Массу шкива считать пренебрежимо малой.

Ответ: 0,0235 кгм².

B07. Вал массой m = 100 кг и радиусом R = 5 см вращался с частотой n = 8 с^-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F = 40 Н, под действием которой вал остановился через t = 10 с. Определить коэффициент трения f.

Ответ: f = mRn/(Ft) = 0,31.

B08. На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение а оси цилиндра, если цилиндр: 1) сплошной; 2) полый тонкостенный.

Ответ: 1) а₁ = 2g/3; 2) a₂ = g/2.

B09. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузики массой m₁ = 100 г и m₂ = 110 г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса m блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало.

Ответ: 0,24 м/с².

B10. Два тела массами m₁ = 0,25 кг и m₂ = 0,15 кг связаны тонкой нитью, переброшенной через блок (рис.). Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой m₁. С каким ускорением а движутся тела и каковы силы Т₁ и Т₂ натяжения нити по обе стороны от блока? Коэффициент трения f тела о поверность стола равен 0,2. Масса m блока равна 0,1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь.

Ответ: 1,96 м/с², 0,98Н, 1,18 Н.

B11. Платформа, имеющая форму диска, может вращатся около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m₁ = 60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную точку на платформе? Масса m₂ платформы равна 240 кг. Момент инерции J человека рассчитывать, как для материальной точки.

Ответ:

B12. Платформа в виде диска радиусом R = 1 м вращается по инерции с частотой n₁ = 6 мин^-1. На краю платформы стоит человек, масса m которого равна 80 кг. С какой частотой n₂ будет вращатся платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции J платформы равен 120 кгм². Момент инерции J человека рассчитывать, как для материальной точки.

Ответ: n₂ = (J + mR²)n₁/J = 10 мин^-1.