Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
183
Добавлен:
18.03.2015
Размер:
2.4 Mб
Скачать

E01. Цепочку длины l поместили на гладкую сферическую поверхность радиуса R так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. С каким ускорением а начнет двигаться каждый элемент цепочки, если ее верхний конец освободить? Предполагается, что длина цепочки .

Ответ:

E02. Муфточка А может свободно скользить вдоль гладкого стержня, изогнутого в форме полукольца радиуса R (рис.). Систему привели во вращение с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси ОО/. Найти угол , соответствующий устойчивому положению муфточки.

Ответ: Если , то имеются два положения равновесия; и . Если , то положение равновесия только . Пока существует одно нижнее положение равновесия, оно устойчиво. При появлении же второго положения равновесия (оно всегда устойчиво) нижнее положение становится неустойчивым.

E03. Винтовку навели на вертикальную черту мишени, находящейся точно в северном направлении, и выстрелили. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на сколько сантиметров и в какую сторону пуля, попав в мишень, отклониться от черты. Выстрел произведен в горизонтальном направлении на широте , скорость пули = 900 м/с и расстояние до мишени s = 1,0 км.

Ответ: см, где  угловая скорость вращения Земли.

E04. Поезд массы m = 2000 т движется на северной широте. Определить:

а) модуль и направление силы бокового давления поезда на рельсы, если он движется вдоль медиана со скоростью = 54 км/ч;

б) в каком направлении и с какой скоростью должен был двигаться поезд, чтобы результирующая сил инерции, действующих на поезд в системе отсчета «Земля», была равна нулю.

Ответ: а) , на правый (по ходу поезда) рельс;

б) по параллели с востока на запад со скоростью . Здесь угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси, R  радиус Земли.

E05. Гладкий горизонтальный диск вращается с угловой скоростью = 5,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. В центре диска поместили небольшую шайбу массой m = 60 г. и сообщили ей толчком горизонтальную скорость 0 = 2,6 м/с. Найти модуль силы Кориолиса, действующей на шайбу в системе отсчета «диск», через t = 0,50 с после начала ее движения.

Ответ:

E06. Горизонтальный диск вращается с угловой скоростью = 6,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По одному из диаметров диска движется небольшое тело массы m = 0,50 кг с постоянной относительно диска скоростью / = 50 см/с. Найти силу, с которой диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии r = 30 см от оси вращения.

Ответ:

E07. Горизонтально расположенный гладкий стержень АВ вращается с угловой скоростью = 5,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. По стержню свободно скользит муфточка массы m = 0,50 кг, движущаяся из точки А с начальной скоростью 0 = 1,00 м/с. Найти действующую на муфточку силу Кориолиса (в системе отсчета, связанной с вращающимся стержнем) в момент, когда муфточка оказалась на расстоянии r = 50 см от оси вращения.

Ответ:

E08. Цепочка массы m = 1,00 кг и длины l = 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

Ответ:

E09. Частица совершила перемещение по некоторой траектории в плоскости xy из точки 1 с радиус-вектором в точку 2 с радиус-вектором . При этом на нее действовали некоторые силы, одна из которых . Найти работу, которую совершила сила F. Здесь r1, r2 и F – в СИ.

Ответ:

E10.Небольшая муфточка массы m = 0,15 кг движется по гладкому проводу, изогнутому в горизонтальной плоскости в виде дуги окружности радиуса R = 50 см (рис. вид сверху). В точке 1, где скорость муфточки 0 = 7,5 м/с, на нее начала действовать постоянная горизонтальная сила F. Найти скорость муфточки в точке 2, если F = 30 Н.

Ответ:

E11. Локомотив массы m начинает двигаться со станции так, что его скорость меняется по закону , где - постоянная, S - пройденный путь. Найти суммарную работу всех сил, действующих на локомотив, за первые t секунд после начала движения.

Ответ: .

E12. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиуса R, зависит от пройденного пути S по закону , где - постоянная. Найти модуль силы, действующей на частицу, в зависимости от S.

Ответ:

E13. Потенциальная энергия частицы в некотором поле имеет вид , где a и b- положительные постоянные, r- расстояние от центра поля.

Найти: а) значение r0, соответствующее равновесному положению частицы; выяснить, устойчиво ли это положение;

б) максимальное значение силы притяжения; изобразить примерные графики зависимостей U(r) и Fr(r)- проекции силы на радиус-вектор r.

Ответ: а) устойчиво; б) См. рис.

E14. Небольшая шайба А соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой Н, имеющей горизонтальный трамплин (рис.). При какой высоте h трамплина шайба пролетит наибольшее расстояние s? Чему оно равно?

Ответ:

E15. Гладкий резиновый шнур, длина которого l и жесткость κ, подвешен одним концом к точке О. На другом конце имеется упор. Из точки О начинает падать небольшая муфта массы m. Пренебрегая массами шнура и упора, найти максимальное растяжение шнура.

Ответ:

E16. Система состоит из двух одинаковых кубиков, каждый массы m, между которыми находится сжатая невесомая пружина жесткости х (рис.). Кубики связаны нитью, которую в некоторый момент пережигают. При каком значении l – начальном сжатии пружины – нижний кубик подскочит после пережигания нити?

Ответ:

E17. Найти приращение кинетической энергии системы из двух шариков с массами m1 и m2 при их абсолютно неупругом соударении. До соударения скорости шаров были 1 и 2.

Ответ:

E18. Замкнутая система состоит из двух одинаковых частиц, которые движутся со скоростями 1 и 2 так, что угол между направлениями их движения равен . После упругого столкновения скорости частиц оказались равными 1/ и 2/. Найти угол / между направлениями их разлета.

Ответ:

E19. Замкнутая система состоит из двух частиц с массами m1 и m2, которые движутся под прямым углом друг к другу со скоростями 1 и 2. Найти в системе их центра масс:

а) импульс каждой частицы;

б) суммарную кинетическую энергию обеих частиц.

Ответ: а) б) Здесь

E20. К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат О равен r=ai+bj, приложена сила F=Ai+Bj, где A, B, a, b - постоянные, i, j - орты осей x и y. Найти вектор N момента силы и плечо l силы F относительно точки О.

Ответ: где  орт оси z;

E21. Момент импульса частицы относительно некоторой точки О меняется со временем по закону М=a+bt2, где a и b - постоянные векторы, причем ab. Найти относительно точки О момент N силы, действующей на частицу, когда угол между векторами M и N окажется равным 450.

Ответ:

E22. Небольшая шайба массы m = 50 г. начинает скользить с вершины гладкой наклонной плоскости, высота которой h = 100 см и угол наклона к горизонту = 150 (рис.). Найти модуль момента импульса шайбы относительно оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка, через t = 1,3 с после начала движения.

Ответ:

E23. Шарик массы m падает без начальной скорости с высоты h над поверхностью Земли. Найти модуль приращения момента импульса шарика за время падения относительно точки О системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью в горизонтальном направлении. В момент начала падения точка О совпадала с шариком. Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ:

E24. Горизонтальный гладкий диск вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр – точку О. Из этой точки в момент t = 0 пустили шайбу массы m со скоростью 0. Найти момент импульса шайбы М(t) относительно точки О в системе отсчета, связанной с диском. Убедиться, что этот момент импульса обусловлен действием силы Кориолиса.

Ответ:

E25. Небольшую шайбу поместили на внутреннюю гладкую поверхность неподвижного круглого конуса на высоте h1 от его вершины и сообщили ей в горизонтальном направлении по касательной к поверхности конуса скорость 1 (рис.). На какую высоту h2 (от вершины конуса) поднимется шайба?

Ответ:

E 26. Система состоит из однородного массивного блока радиусом R=150 мм, на который намотана нить с грузом на конце. Нить перекинута через гладкий горизонтальный стержень С, укрепленный в стене (рис.). В момент t = 0 груз отпустили, и система пришла в движение. Найти момент импульса системы относительно оси О блока через t = 4,0 с после начала движения, если в процессе движения нить давит на стержень С с постоянной силой F=50 Н. Угол .

Ответ:

E27. Тонкий однородный стержень АВ массы m = 1,0 кг движется поступательно с ускорением а = 2,0 м/с2 под действием двух сил F1 и F2 (рис.). Расстояние между точками приложения этих сил b = 20см. Кроме того, известно, что F2 = 5,0 Н. Найти длину стержня.

О

твет:

E28. К точке с радиус-вектором r1=ai приложена сила F1=Aj, а к точке с r2=bj- сила F2=Bi. Здесь оба радиус-вектора определены относительно начала координат О, i и j- орты осей x и y, А и В- постоянные. Найти плечо равнодействующей силы относительно точки О.

Ответ:

E29. На однородный сплошной цилиндр массы М и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы m (рис.). В момент t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени:

а) модуль угловой скорости цилиндра;

б) кинетической энергии всей системы.

Ответ: а) ; б) ;

E30. Горизонтальный тонкий однородный стержень АВ массы m и длины l может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец А. В некоторый момент на конец В начала действовать постоянная сила F, которая все время перпендикулярна к первоначальному положению покоившегося стержня и направлена в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость стержня, как функцию его угла поворота из начального положения.

Ответ:

E 31. В установке (рис.) известны масса однородного сплошного цилиндра m, его радиус R и массы тел m1 и m2. Скольжения нити и трения в оси цилиндра нет. Найти угловое ускорение цилиндра и отношение натяжений вертикальных участков нити в процессе движения. Убедиться, что при m, стремящемся к 0, Т12.

Ответ:

E32. В системе (рис.) известны массы тел m1 и m2, коэффициент трения k между телом m1 и горизонтальной плоскостью, а также масса блока m, которую можно считать однородным диском. Скольжения нити по блоку нет. В момент t = 0 тело m2 начинает опускаться. Пренебрегая массой нити и трением в оси блока, найти:

а) ускорение тела m2;

б) работу силы трения, действующей на тело m1, за первые t секунд после начала движения.

Ответ: a)

б)

E33. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катет а = 5,00 м и угол между этим катетом и гипотенузой = 300. Найти в системе отсчета K/, движущейся относительно этого треугольника со скоростью = 0,866с вдоль катета а:

а) соответствующее значение угла /;

б) длину l/ гипотенузы и ее отношение к собственной длине.

Ответ: а)

б)

E34. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость = с/2, длина l=1,00 м и угол между ним и направлением движения .

Ответ:

E35. Плотность покоящегося тела равна 0. Найти скорость системы отсчета относительно данного тела, в которой его плотность будет на = 25% больше 0.

Ответ: где с  скорость света. Здесь использовано определение плотности как отношение массы покоя тела к его объему.

E36. Найти скорость, при которой релятивистский импульс частицы в = 2 раза превышает ее ньютоновский импульс.

Ответ:

E37. При каких значениях отношения кинетической энергии частицы к ее энергии покоя относительная погрешность при расчете ее скорости по нерелятивистской формуле не превышает = 0,010?

Ответ: При <<1 отношение

E38.Найти зависимость импульса частицы с массой m от ее кинетической энергии. Вычислить импульс протона с кинетической энергией 500 МэВ.

Ответ: , где с  скорость света.

E39. Найти скорость частицы, кинетическая энергия которой Т=500 МэВ и импульс р = 865 МэВ/с, где с- скорость света.

Ответ:

E40. Пучок релятивистских частиц с кинетической энергией Т падает на поглощающую мишень. Сила тока в пучке равна I, заряд и масса каждой частицы - e и m. Найти силу давления пучка на мишень и выделяющуюся в ней мощность.

Ответ:

E41. Сколько энергии (в расчете на единицу массы) необходимо затратить, чтобы сообщить первоначально покоившемуся космическому кораблю скорость = 0,980с? Сопротивления нет.

Ответ:

E42. Частица массы m в момент t = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы F. Найти скорость частицы и пройденный ею путь в зависимости от времени t.

Ответ:

E43. Частица массы m движется вдоль оси х К- системы отсчета по закону , где d - некоторая постоянная, с - скорость света, t - время. Найти силу, действующую на частицу в этой системе отсчета.

Ответ:

E44. Релятивистская частица с массой m и кинетической энергией Т налетает на покоящуюся частицу с той же массой. Найти массу и скорость составной частицы, образовавшейся в результате соударения.

Ответ:

E45. Какова должна быть кинетическая энергия протона, налетающего на другой, покоящейся протон, чтобы их суммарная кинетическая энергия в системе центра масс была такая же, как у двух протонов, движущихся навстречу друг другу с кинетическими энергиями Т=25,0 ГэВ?

Ответ:

F 01. На плоской горизонтальной поверхности находится обруч, масса которого ничтожна мала. К внутренней части обруча прикреплен груз малых размеров, как это показано на рис. Угол = 300. С каким ускорением а необходимо двигать плоскость в направлении, указанном на рисунке, чтобы обруч с грузом не изменил своего положения относительно плоскости? Скольжение обруча по плоскости отсутствует.

Ответ:

F02. Автоцистерна с керосином движется с ускорением а = 0,7 м/с2. Под каким углом к плоскости горизонта расположен уровень керосина в цистерне?

Ответ:

F03. Моторная лодка массой m = 400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги F мотора равна 0,2 кН. Считая ситу сопротивления Fс пропорциональной скорости, определить скорость лодки через t = 20 с после начала ее движения. Коэффициент сопротивления k = 20 кг/с.

Ответ:

F04. Катер массой m = 2 т трогается с места и в течение времени = 10 с развивает при движении по спокойной воде скорость = 4 м/с. Определить силу тяги F мотора, считая ее постоянной. Принять силу сопротивления Fс движению пропорциональной скорости; коэффициент сопротивления k = 100 кг/с.

Ответ:

F05. Начальная скорость 0 пули равна 800 м/с. При движении в воздухе за время t = 0,8 с ее скорость уменьшилась до = 200 м/с. Масса m пули равна 10 г. Считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости, определить коэффициент сопротивления k. Действием силы тяжести пренебречь.

Ответ:

F06. Парашютист, масса которого равна m = 80 кг, совершает затяжной прыжок. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, определить, через какой промежуток времени t скорость движения парашютиста будет равна 0,9 от скорости установившегося движения. Коэффициент сопротивления k = 10 кг/с. Начальная скорость парашютиста равна нулю.

Ответ:

F07. Шар массой m1 = 10 кг, движется со скоростью 1 = 4 м/с, сталкивается с шаром массой m2 = 4 кг, скорость 2 которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти скорость u шаров после удара в двух случаях:

1)малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении;

2)шары движутся навстречу друг другу.

Ответ: 1) 2)

Соседние файлы в папке теоретическая механика