ГОС / MODUL_3_TFDP

М3 - 1.Мощность множества. Счетные множества, их свойства. Несчетность R[0,1]. Мощность континуума. Сравнение мощностей.

1.Множество.

Термин «множ-во» употреб. как обознач. совокупности различных предметов или объектов, объединенных в одно целое. Для сравнения числа элементов множеств, для конечных множеств используется 2 способа: 1) подсчет элементов; 2)установление взаимнооднозначного соответствия между элементами сравниваемых множеств. Для бесконечных множеств возможно сравнение только 2-ым способом.

О1. Пусть f отображение мн-ва А на множ-во В, если при этом кажд. эл-т мн-ва В явл образом единствен. эл-та из мн-ва А, то f назыв взаимно- однозначным отображением мн-ва А на мн-во В.

2.Отношение равномощности.

О2.если сущ-ет хотя бы одно взаимноодноз-ное отображение мн-ва А на мн-во В, то эти мн-ва наз равномощными. Обозн А~В

Пр.мн-во всех натур. чисел равномощно мн-ву целых отриц чисел.

Осн. св-ва: 1) А~А (РФ) (сущ.отображ-е , т.ч. => А~А

2) А~В ↔ B~А (СММ)

А~В-взаимоодн.=> -обратное: , -тоже вз/однозн=> B~А( по опред)

3) А~В и В~С=>А~С (ТРАНЗ)

А~В-взаимоодн.

В~Сf- взаимоодн.

равномощность есть отношение эквивал-ти

3.Опр. мощности

О3: Общая характеристика класса эквив-х м/у собой мн-в наз-ся мощностью(кардинальное число) любого мн-ва данного класса и обоз-ся .

4.Счетные мн-ва

О4:Всякое мн-во,равномощ-е мн-ву всех натур.чисел,назыв счетным,а его мощность обозначается буквой -алеф-нуль.

Пр:мн-во целых отриц.чисел,мн-во квадратов натур.числа.

5.Св-ва

Т1:Для того,чтобы мн-во было счетным необх и дост,чтобы его эл-ты можно было перенумеровать,иначе говоря представить в виде последовательности.

Док-во:1.Необходимость

Пусть А-счетно,тогда А~N (по df).Т.к. равномощ-ть А и N означ.что для любого взамноодн. Соотв-ет единст.натур.число n,то для представления мн-ва А в виде послед-ти достаточно для любого приписать в качестве индекса,то натур.число n,кот. ему поставл. во взаимноодн. соотв-е.

2.Достаточность

Пусть теперь эл-ты мн-ва А можно представ.в виде послед-ти: .. взаимноодн.отображение Nможно задать след.образом g()=n.ЧТД

Т2: Из всякого беск-ого мн-ва можно выд-ть счетное подмн-во.

Т3: Любое бесконечное подмн-во счетного мн-ва счетно.

Т4: Объед-ие конеч-го мн-ва и счетного мн-ва счетно.

Т5: Объед-ие конеч-го числа счетных мн-в счетно.

Док-во: А₁: а₁₁ а₁₂ а₁₃ … а_1n…

А₂: а₂₁ а₂₂ а₂₃ …а_2n…

А_m: a_m1 a_m2 a_m3 … a_mn…

Записывать эл-ты объед-я будем по столбцам,е/и эл-ты повторяются-их опускаем, в результате каждый элемент объединения получит свой номер, причем получится бесконечный упорядоченый ряд чисел,эл-ты представл.в виде послед-ти,значит оно счетно.

Т6: Объед-ие счетного мн-ва счетных мн-в счетно.

Т7: Объед-ие счетного мн-ва конеч-х мн-в либо конечно, либо счетно.

6.Счетность мн-ва рациональных чисел.

Т8:Мн-во рацион-х чисел счетно

7.Несчетность [0;1]

Т7: Мн-во действ-х чисел отрезка [0;1] несчетно.

Док-во: (МоП) Предпол, что мн-во [0;1] счетно,т.е. его можно предст.в виде после-ти Разделим отрезок [0,1] на 3 части и за [] обозначим тот, который не содержит т., если таких отрезка 2 выберем любой. [] снова разделим на 3 части и за обозначим тот, который не содержит т.… по построению не содержит т. его снова разделим на 3 части и за обозначим ту которая не содержит т. … В результате получим последовательность [0,1] вложенных отрезков длины стремящейся к 0, т.к. = по т.Кантора о вложенных отрезков. (*)(, потому, что [0,1] при всех nN, то т.по предположению имеет какой-то номер но по построению , что противоречит условию(*). Следовательно, предположение было неверно и точки отрезка нельзя перенумеровать.

8.Мощность континуума

О: Любое мн-во равномощное мн-ву всех дейст-х чисел отрезка [0,1] наз-ся мн-ом мощности континуум и его мощность обозн. Буквой С.

Пр:1. Мн-во всех дейст-х чисел R имеет мощность С.

2.Отрезок [0;а] имеет мощность С, интервал, полуинтервал – им.мощность С

9.Сравнение мощ-ти и проблема континуума

О:Будем говорить,что <,е/и 1. 2. А~В₁, В₁ В.

Т8: Пусть множество А содержит в себе и , и А~, тогда А~.

Т9(Кантора-Бернштейна):е\и каж.из 2 данных мн-в равномощно некот.подмн-ву другого,то данные мн-ва равномощны.

Замеч-е:В силу теор.(из всяк.бескон-го мн-ва можно выдел.счетное подмн-во)счетная мощность явл.наимен.из всех,в частонсти <C.Возн.вопрос сущ-ет ли мн-во имеющее мощность > и <C –этот вопрос не решен, предполож-е что их не сущ-ет –есть гипотеза континуума.