Новая папка / № 9(1)

№9 Формирование понятий первообразной и интеграла в средней школе.

В теме “Интеграл” рассматриваются вопросы: первообразная функции, интеграл и его применение к нахождению площади, интеграл как предел интегральных сумм , площадь круга и его частей, кроме того в курсе “Геометрии” учащиеся знакомятся с применением определенного интеграла к вычислению объемов тел. Программа по математике для средней школы не предусматривает систематизации приемов и методов интегрирования и не предполагает выработки навыков и техники интегрирования сложной функции.

Способы введения понятия определенного интеграла:

1. В виде приращения первообразной. Этот способ не требует вывода формулы Ньютона-Леибница. Однако при таком способе введения идея метода суммирования, лежащая в основе понятия определенного интеграла отходит на второй план.

2. В виде предела интегральных сумм. В этом случае требуется больше времени на изучение интеграла, т.к. требуется провести большую подготовительную работу по рассмотрению задач, приводящих к понятию определенного интеграла, а затем рассмотреть теорему Ньютона-Леибница . Но при таком подходе введение воспринимается учащимися как закономерная необходимость.

Изучение интеграла целесообразно начать с беседы с учащимися о том, что у операции дифференцирования функции существует и обратная операция, называемая интегрированием. В качестве примеров можно воспользоваться примерами из математики и истории развития физики. Например, найти такую функцию, производная которой равна заданной функции на промежутке I или рассмотреть механическую задачу- как по известной скорости найти закон движения тела. На этой логической основе, используя таблицу производных, построить таблицу таких функций , производная которых равна заданной и ввести определение первообразной для данной функции f при этом широко использовать понятие дифференциала. Далее показать, что у функции f существует целое семейство первообразных, отличающихся друг от друга на величину действительной константы С. Ввести определение и символ неопределенного интеграла с рассмотрение ряда его свойств и переписать таблицу первообразных с применением символа неопределенного интеграла. Так как уже имела место геометрическая иллюстрация примера механического содержания, то, воспользовавшись ею еще раз, ввести определение понятия криволинейной трапеции и показать сначала на конкретном примере процедуру составления интегральных сумм. В случае существования при определенных условия предела этих сумм предел называется определенным интегралом. На основе этого определения вводится символ определенного интеграла и устанавливается связь между определенным интегралом и площадью соответствующей фигуры. Здесь же формулируется проблема о связи неопределенного и определенного интеграла. Это обстоятельство может быть установлено с применением понятия интеграла с переменным верхним пределом с последующим доказательством формулы Ньютона-Леибница.