Новая папка / № 20
.doc20. Разноуровневое изучение многогранных углов, свойств плоских углов трехгранного угла и многогранного угла.
Базовый уровень:
Атанасян
Рассматривает только Двугранный угол.
Погорелов
Сначала рассматривает двугранный угол и затем сразу трехгранный и многогранный.
Рассмотрим три луча а, b, с, исходящие из одной точки лежащие в одной плоскости. Трехгранным углом (abc) называется фигура, составленная из трех плоских углов (ab), (bc) и (ac) (рис. 400). Эти углы называются гранями трехгранного угла, а их стороны - ребрами. Общая вершина плоских углов называется вершиной трехгранного угла. Двугранные углы образованные гранями трехгранного угла, называются двугранными углами трехгранного угла.
Аналогично вводится понятие многогранного угла(рис.401).
рис 400 и рис.401
Профильный уровень (А.Д.Алексндров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжих):
Оставляя определение и изучение произвольных многогранных углов до § 31, мы рассмотрим сейчас простейшие из них - трехгранные углы. Если в стереометрии аналогами плоских углов можно считать двугранные углы, то трехгранные углы можно рассматривать как аналоги плоских треугольников, а в следующих параграфах увидим, как они естественно связаны со сферическими треугольниками.
Построить (а значит, и конструктивно определить) трехгранный угол можно так. Возьмем любые три луча а, b, c, имеющие общее начало О и не лежащие в одной плоскости (рис. 150). Эти лучи являются сторонами трех выпуклых плоских углов: угла α со сторонами b, с, угла β со сторонами а, с и угла γ со сторонами а, b. Объединение этих трех углов α, β, γ и называется трехгранным углом Оabc (или, короче, трехгранным углом О). Лучи а, b, с называются ребрами трехгранного угла Оаbс, а плоские углы α, β, γ - его гранями. Точка О называется вершиной трехгранного угла.
3 а м е ч а н и е. Можно было бы определить трехгранный угол и с невыпуклой гранью (рис. 151), но мы такие трехгранные углы рассматривать не будем.
При каждом из ребер трехгранного угла определяется соответствующий двугранный угол, такой, ребро которого содержит соответствующее ребро трехгранного угла, а грани которого содержат прилежащие к этому ребру грани трехгранного угла.
Величины двугранных углов трехгранного угла Оаbс при ребрах а, b, с будем соответственно обозначать через а^, b^, с^(крышечки непосредственно над буквами).
Три грани α, β, γ трехгранного угла Оаbс и три его двугранных угла при ребрах а, b, с, а также велbчины α, β, γ и а^, b^, с^ будем называть элементами трехгранного угла. (Вспомните, что элементы плоского треугольника - это его стороны и его углы.)
Наша задача - Выразить одни элементы трехгранного угла через другие его элементы, т. е. построить «тригонометрию» трехгранных углов.
1) Начнем с вывода аналога теоремы косинусов. Сначала рассмотрим такой трехгранный угол Оаbс, у которого хотя бы две грани, например α и β являются острыми углами. Возьмем на его ребре с точку С и проведем из нее в гранях α и β перпендикуляры СВ и СА к ребру с до пересечения с ребрами а и b в точках А и В (рис. 152). Выразим расстояние АВ из треугольников ОАВ и САВ по теореме косинусов.
Получим:
АВ2=АС2+ВС2-2АС*ВС*Cos(c^ ) и АВ2=ОА2+ОВ2-2АО*ВО*Cosγ.
Вычитая из второго равенства первое, получим:
ОА2-АС2+ОВ2-ВС2+2АС*ВС*Cos(c^ )-2АО*ВО*Cosγ=0 (1). Т.к. треугольники ОСВ и ОСА прямоугольные, то АС2-АС2=ОС2 и ОВ2-ВС2=ОС2 (2)
Поэтому из (1) и (2) следует, что ОА*ОВ*Cosγ=ОС2+АС*ВС*Cos(c^)
т.е.
Но , , , . Поэтому
(3) – аналог теоремы косинусов для трехгранных углов- формула косинусов.
Далее показывается, что эта формула верна и для трехгранных углов с любыми гранями. Возможны еще такие случаи:
-
Обе грани α и β – тупые углы.
-
Один из углов α и β, например α, острый, а другой – β- тупой.
-
Хоты бы 1 из углов α или β прямой.
Далее выводится аналог теоремы синусов: .
Признаки равенства трехгранных углов похожи на признаки равенства треугольников. Но есть отличие: например, два трехгранных угла равны, если соответственно равны их двугранные углы. Вспомните, что два плоских треугольника, у которых соответственные углы равны, подобны. А для трехгранных углов аналогичное условие приводит не к подобию, а к равенству.
Трехгранные углы обладают замечательным свойством, которое называется двойственностью. Если в какой-либо теореме о трехгранном угле Оаbс заменить величины а, b, с на π-α, π-β, π-γ и, наоборот, заменить α, β, γ на π-a^, π-b^, π-c^, то снова получим верное утверждение о трехгранных углах, двойственное исходной теореме. Правда, если такую замену произвести в теореме синусов, то снова придем к теореме синусов (она сама себе двойственна). Но если так сделать в теореме косинусов (3), то получим новую формулу
cosc^= -cosa^ cosb^+sina^ sin b^ cosγ.
Почему имеет место такая двойственность, станет ясно, если для трехгранного угла построить двойственный ему трехгранный угол, ребра которого перпендикулярны граням исходного угла (см. п. 33.3 и рис. 356).
Одними из простейших поверхностей являются многогранные углы. Они составляются из обычных углов (такие углы теперь часто будем называть плоскими углами), подобно тому как замкнутая ломаная составляется из отрезков. А именно дается следующее определение:
Многогранным углом называется фигура, образованная плоскими углами так, что выполнены условия:
1) Никакие два угла не имеют общих точек, кроме их общей вершины или целой стороны.
2) У каждого из этих углов каждая его сторона является общей с одним и только с одним другим таким углом.
3) От каждого угла к каждому можно перейти по углам, имеющим общие стороны.
4) Никакие два угла с общей стороной не лежат в одной плоскости (рис. 324).
При этом условии плоские углы, образующие многогранный угол, называются его гранями, а их стороны - его ребра .
Под данное определение подходит и двугранный угол. Он составлен из двух развернутых плоских углов. Вершиной его может считаться любая точка на его ребре, и эта точка разбивает ребро на два ребра, сходящиеся в вершине. Но ввиду этой неопределенности в положении вершины двугранный угол исключают из числа многогранных углов.
Понятие о многогранном угле важно, в частности, при изучении многогранников - в теории многогранников. Строение многогранника характеризуется тем, из каких граней он составлен и как они сходятся в вершинах, т. е. какие там оказываются многогранные углы.
Рассмотрите многогранные углы у разных многогранников.
Обратите внимание, что грани многогранных углов могут быть и невыпуклыми углами.
Далее многогранные углы рассматриваются в теме Сферические многоугольники.