ovta-posibnyk

Предметний покажчик

Базис 17, 18, 31, 33, 43, 79, 87, 88, 138, 180

–взаємний 141-144, 148, 149, 152, 167

–локальний 147, 148, 149, 152, 156, 164, 168

–основний 141, 142, 143, 148, 149, 152

–фізичний 152, 153, 154, 156, 159

–циклічний 21, 24

Вектор

–аксіальний 77, 79, 84, 85, 117

–означення в безкоординатному підході 7

–означення у координатному підході 37

–полярний 77, 79, 116

–просторово-подібний 182, 184, 188

–у косокутних координатах 137, 138, 139

–у криволінійних координатах 149, 152, 164

–часо-подібний 182, 184, 188

Векторна лінія 99, 100, 101, 106, 110, 113, 115, 116, 154

Визначник квадратної матриці 82

Вихор 104, 109, 110, 111, 116, 174

Власні вектори тензора другого рангу

61, 62, 63, 66, 67

–ліві 63, 66

–ортогональні 66, 67, 68

–праві 63, 66

Власні значення тензора другого рангу

61, 63, 64, 65, 66, 67, 68

Геометричний об'єкт 38, 40, 42, 53, 54, 77, 80, 82, 86, 103, 130, 145

Головна система координат 68, 70, 72, 87

Градієнт 96, 97, 106, 118, 119, 165, 170, 171, 189

Діада 41, 49, 68 Дивергенція 103, 112, 113, 115, 116, 117, 121, 125-128, 171, 190

Добуток

–векторний 11, 20, 78, 79, 82, 121, 174

–діадний 41, 49

–мішаний 13, 20, 79, 82

–подвійний векторний 13, 15

–скалярний 10, 20, 23, 50, 54, 96, 121, 140, 143

–– у псевдоевклідовому просторі

180, 188, 189

–тензорний 41, 49

Елемент

–довжини дуги 99, 106, 150, 151, 154

–об'єму 151, 154, 192

–площі 8, 9, 11, 12, 80, 151, 154

–поверхні 112, 162, 163

Закон перетворення

–компонент вектора 36, 37, 77, 79, 139

–компонент тензора другого рангу 40, 53, 77, 144, 145, 166

–компонент тензора рангу n 44

Згортка 42, 49, 50, 52, 53, 54, 65, 66, 72, 84, 103, 145, 191

Інваріанти тензора 64, 65, 66, 84, 104, 172

Інваріантність тензорних рівнянь 54

Інверсія 36, 78, 79, 82, 192 Індекси 19, 51, 52, 54, 136, 138, 140, 144, 145, 152, 165, 184, 185, 191

–вільні 19, 54

–німі 19 Інтеграл

–криволінійний 106, 107, 108, 112, 150

–поверхневий 108, 114, 116, 127, 130, 150

Коваріантне диференціювання 168, 169 Коефіцієнти зв'язності 166 Координати вектора 18

–коваріантні 137, 138, 139, 141, 143

–контраваріантні 137, 138, 139, 142, 143

–криволінійні 146, 149, 151, 152, 153

–параболічні 160, 162

–сферичні 157, 159

–циліндричні 155, 157

Координатні лінії 146, 147, 148, 150, 151, 154, 155, 157, 158, 160, 161, 162, 168

Координатні поверхні 148, 149, 150, 151, 154, 155, 158, 161, 163

211

Матриця

–обернена 58, 59, 138, 139, 140, 172, 185

–ортогональна 34

–переходу 31-34, 37, 43, 45, 138, 153, 157, 159, 164, 183, 185, 189

–фундаментальна 139, 140, 145, 151, 172

Метричний тензор 140

Напрямок обходу контуру 8, 109, 117

Обернена тензорна ознака 52-54, 74, 103 Оператор

–Гамільтона (набла) 97, 121, 122

–Лапласа 125, 126, 173, 175

–лінійний 41, 42, 58, 60, 97

–повороту 44

Операції

–лінійні 39, 48, 49, 191

–над векторами 9-15, 20, 95

–тензорні 48, 49, 51, 86, 191

Основна теорема векторного аналізу 128 Параметри Ламе 152, 154

–параболічних координат 161

–сферичних координат 159, 160

–циліндричних координат 156, 157 Перетворення

–неперервне (руху) 36

–Лоренца 181, 182, 183, 186,

–ортогональне 32, 36, 68, 77, 153

Поверхня рівня 95, 97 Поле

–векторне 98, 119

–– потенціальне 104-106, 115, 118-120

–– соленоїдальне 113, 117, 118-120

–скалярне 95, 99

Потенціал

–векторний 117, 118, 119, 128

–скалярний 105, 106, 107, 118, 120, 125

Потік векторного поля 108, 112, 113, 117 Похідна

–коваріантна 165-170

–конвективна 102

–локальна 102

Похідна за напрямком

–від векторної функції 101

–від скалярної функції 96, 97 Простір

–афінний (векторний, лінійний ) 5

–евклідів 6, 18, 62, 124, 179, 180, 185

–Мінковського 181

–псевдоевклідів 6, 179-181, 184, 189, 191

Псевдовектор 77, 79, 80, 81, 82, 84 Псевдотензор 77, 80, 81, 82, 84, 86

Розкладання вектора

–на безвихорову на соленоїдальну складові 119-120, 128

–на поздовжню та поперечну складові

15-16, 120 Ротор (вихор) 104, 109, 111, 116, 118,

119, 121, 125-128, 174, 175

Сім'я векторних ліній 99, 101 Сигнатура 180, 181 Символ

–Кронекера 17, 81, 83, 136, 185, 191

–Крістоффеля 166-170, 174

–Леві-Чівіта 20, 81, 82, 136, 191

Система координат

–афінна (косокутна) 136, 138-140, 144

–криволінійна 146-151, 163, 164

–криволінійна ортогональна 151, 155

–параболічна 160-162, 163

–прямокутна (декартова) 17, 18, 30, 36, 37, 44, 97, 130, 136, 148, 151, 153

–сферична 157-160

–циліндрична 155-157, 162

Тензор

–антисиметричний 51, 52, 81, 84-86

–афінний 145, 191

–деформацій 60, 64, 74

–другого рангу 40, 42, 50, 52, 53, 58-74

–ізотропний 85, 86, 87

–інерції 50, 60, 69, 71-73

–кульовий 68, 72

–Леві-Чівіта 81-83, 86, 142, 191

–обернений 58-60, 63, 185

–одновісний 67-69, 70, 72, 87-91

–повороту 44

–проектування 39, 40, 41, 42, 68, 87

–рангу n 44, 169

–симетричний 51, 52, 53, 63, 66-68

Теорема Річчі 169, 172 Теорема Гамільтона–Келлі 65

Формула

–Стокса 111, 118, 129

–Остроградського–Гаусса 117, 129, 192

Характеристичне рівняння 63, 64, 65, 67

Циркуляція 107, 109-111

Чотиривектор 186, 187-190, 192

Чотиритензор 190, 191, 192

212

Зміст

Передмова...........................................................................................	3
Вступ.....................................................................................................	5
1. Векторна алгебра...........................................................................	7
§ 1. Означення вектора та основні операції
над векторами у безкоординатному підході.......................................	7
1.1. Означення вектора................................................................	7
1.2. Основні операції над векторами
у безкоординатному підході та їх властивості ..............................	9
1.3. Розкладання вектора на поздовжню та поперечну складові
відносно виділеного напрямку ...................................................	15
§ 2. Координатний метод ................................................................	17
2.1. Координатний підхід ...........................................................	17
2.2. Правила запису індексних виразів. Вільні та німі індекси ....	19
2.3. Операції над векторами у координатному підході................	20
2.4. Циклічний базис..................................................................	21
2.5. Зауваження щодо філософії координатного методу.............	24
2.6. Типові ситуації вибору координатних осей..........................	25
Контрольні запитання .....................................................................	26
Задачі..............................................................................................	26
2. Тензори. Закон перетворення компонент тензора
при заміні базису..............................................................................	30
§ 1. Матриця переходу та її властивості. Закон перетворення
компонент вектора при заміні ортонормованого базису..................	30
1.1. Матриця переходу...............................................................	30
1.2. Властивості матриці переходу .............................................	33
1.3. Закон перетворення компонент вектора .............................	36
1.4. Означення вектора у координатному підході.......................	37
§ 2. Тензор. Закон перетворення компонент тензора......................	38
2.1. Геометричний об’єкт ...........................................................	38
2.2. Тензор проектування ..........................................................	38
2.3. Тензорний (діадний) добуток векторів ................................	40
2.4. Лінійний оператор як тензор...............................................	41
2.5. Одиничний тензор...............................................................	42
2.6. Оператор повороту .............................................................	43
213

2.7. Означення тензора рангу n.................................................	44
Контрольні запитання .....................................................................	45
Задачі..............................................................................................	46
3. Алгебраїчні операції з тензорами..............................................	48
§ 1. Елементарні лінійні операції
(операції лінійного простору) ..........................................................	48
§ 2. Добутки і згортки .....................................................................	49
§ 3. Перестановка індексів. Симетричні
та антисиметричні тензори..............................................................	51
§ 4. Обернена тензорна ознака.......................................................	52
§ 5. Інваріантність тензорних рівнянь .............................................	54
Контрольні запитання .....................................................................	55
Задачі..............................................................................................	55
4. Тензори другого рангу ................................................................	58
§ 1. Обернений тензор....................................................................	58
§ 2. Власні вектори та власні (головні) значення
довільного тензора другого рангу...................................................	60
§ 3. Інваріанти тензора другого рангу.............................................	64
3.1. Способи побудови інваріантів..............................................	64
§ 4. Головні значення та головна система координат дійсного
симетричного тензора другого рангу. .............................................	66
§ 5. Приклади тензорів другого рангу з механіки ............................	71
5.1. Тензор інерції......................................................................	71
5.2. Тензор деформацій .............................................................	73
Контрольні запитання .....................................................................	74
Задачі..............................................................................................	75
5. Псевдотензори..............................................................................	77
§ 1. Псевдовектори та псевдотензори.............................................	77
§ 2. Тензор Леві-Чівіта ....................................................................	81
§ 3. Антисиметричний тензор другого рангу як псевдовектор.........	83
§ 4. Ізотропні та одновісні тензори та псевдотензори .....................	85
Контрольні запитання .....................................................................	92
Задачі..............................................................................................	93
6. Векторний аналіз у декартових системах координат.............	95
§ 1. Скалярне поле. Градієнт скалярного поля................................	95
§ 2. Векторні поля. Характеристики векторного поля......................	98
2.1. Векторні лінії.......................................................................	99
2.2. Похідна від векторної функції за напрямком......................	101
2.3. Інваріантні характеристики векторних полів.....................	103
214

2.4. Потенціальне векторне поле. Лінійний інтеграл
від вектора ..............................................................................	105
2.5. Потік векторного поля через поверхню.............................	108
2.6. Дивергенція та ротор. Інтегральні теореми.......................	109
§ 3. Застосування оператора у векторному аналізі...................	121
§ 4. Основна теорема векторного аналізу .....................................	125
§ 5. Узагальнені теореми Остроградського–Гаусса та Стокса ........	129
Контрольні запитання ...................................................................	131
Задачі............................................................................................	132
7. Вектори та тензори у косокутних системах координат ...........	136
§ 1. Коваріантні та контраваріантні координати вектора...............	137
§ 2. Векторний і мішаний добутки векторів,
взаємний базис. ............................................................................	140
§ 3. Тензори у косокутній системі координат.................................	143
Контрольні запитання ...................................................................	145
8. Криволінійні системи координат .............................................	146
§ 1. Елементи криволінійних систем координат.............................	146
§ 2. Ортогональні криволінійні системи координат........................	151
§ 3. Вектори і тензори у криволінійній системі координат .............	163
§ 4. Коваріантне диференціювання векторних та тензорних полів ....	165
§ 5. Векторні диференціальні операції у криволінійних
системах координат ......................................................................	170
Контрольні запитання ...................................................................	175
Задачі............................................................................................	176
9. Тензорне числення у псевдоевклідовому просторі...............	179
§ 1. Математична структура псевдоевклідового простору .............	180
§ 2. Псевдоевклідова площина та її фізична інтерпретація............	181
§ 3. Тензорне числення у псевдоевклідовому просторі
спеціальної теорії відносності........................................................	184
Контрольні запитання ...................................................................	192
Відповіді, вказівки та розв’язання...............................................	194
Список літератури ..........................................................................	209
Предметний покажчик...................................................................	211

215

Навчальне видання

РАЗУМОВА Маргарита Анатоліївна ХОТЯЇНЦЕВ Володимир Миколайович

ОСНОВИ ВЕКТОРНОГО І ТЕНЗОРНОГО АНАЛІЗУ

Редактор Л. В. Магда

Оригінал-макет виготовленоВидавничо-поліграфічнимцентром"Київський університет"

Підписано до друку 09.08.11. Формат 60х841/16. Вид. № Фз9.

Гарнітура Times New Roman.

Папір офсетний. Друк офсетний. Наклад 150.

Ум. друк. арк. 12,56. Обл.-вид. арк. 13,5. Зам. № 211-5736

Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет" 01601, Київ, б-р Т. Шевченка, 14, кімн. 43

 (38044) 239 32 22; (38044) 239 31 72; факс [phone]

Свідоцтво внесено до Державного реєстру ДК № 1103 від 31.10.02