Chast_3_2_l_19-21

214

Ниже мы покажем, что четыре величины x , y , z , ic действительно

образуют четырехмерный вектор, т.е. они преобразуются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой по правилам преобразования компонент четырехмерного вектора.

Тогда закон сохранения заряда запишется так:

0

.

(3.28)

x

Или:

y

x

z

0.

(3.29)

x

y

z

Легко видеть, что

и выражение (3.29) совпадает с выражением (3.26).

t

называется дивергенцией в четырехмерном пространстве.

x

Для доказательства инвариантности закона (3.28) относительно преобразований Лоренца нам необходимо будет еще показать, что дивергенция

в четырехмерном пространстве инвариант.
Итак, найдем вначале формулы преобразования , x , y	и z при
переходе к другой инерциальной системе отсчета (рис. 3.6).

Рис. 3.6. К выводу формулы преобразования для плотности заряда ρ

Всистеме О' элементарный заряженный объем движется со скоростью u ,

v– скорость движения системы О' относительно системы О вдоль оси х.

В системе О' плотность заряда ρ', а также x		ux , y			uy , z			uz .

В системе О' величина объема параллелепипеда dV'.

215

Введем еще одну инерциальную систему отсчета О'', движущуюся вдоль

х' со скоростью u . В этой системе объем параллелепипеда dV''. Между dV' и

x

dV'', очевидно, имеет место связь:

							2
							ux
	dV		dV		1	c2 .			(3.30)

В силу инвариантности заряда:

								2
								ux
							1 c2
dV		dV		dV					,

где ρ'' – плотность заряда в системе отсчета О''. Здесь использовано равенство

(3.30).

Из подчеркнутого равенства получаем:

							2
							ux
					1	c2 .			(3.31)

Система О'' движется относительно системы О со скоростью ux вдоль оси х. Между dV (объем параллелепипеда в системе О) и dV'', очевидно, имеет

место связь:

ux2

dV dV

1

c2 .

(3.32)

В силу инвариантности заряда:

ux2

c2

dV

dV dV

1

,

где ρ – плотность заряда в системе О. Здесь использовано равенство (3.32).

Из последнего подчеркнутого равенства получаем:

				ux2
				1 c2 .	(3.33)

Из (3.31) и (3.33) находим:

		2						2
			ux					ux
		1 c2				1	c2 .			(3.34)

216

Преобразуем корень в правой части последнего равенства, используя формулы преобразования скоростей Эйнштейна:

ux v

c2 ux v

.

ux

vux

c2

vu

1

x

c2

Тогда:

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

2с

vu

v

u

c

u

2с

vu

c

v

c ux v

1

ux

1

x

x

x

x

2

c

2

c

2

vux

2

c

vux

c2 c2 u2

v2 c2 u

2

c2

v2

c2 u2

x

x

x

.

c2

vu

x

c2 vu

x

Подставляя это выражение для корня в (3.34), получим:

c2 u2

c2 v2

c2 u2

x

x

.

c

c2 vux

Отсюда:

c2 vux

v

v

1

ux

x

2

c

c

2

,

с

c2 v2

1

v2

1

v2

c2

c2

т.е.

v

c2

x

.

(3.35)

1

v2

c2

Если умножить левую и правую части последнего равенства на ic , то

получим:

iv

x

c

,

v2

1

c2

217

что совпадает с формулой преобразования четвертой компоненты четырехмерного вектора при переходе к другой системе отсчета.

Найдем теперь как преобразуется х -овая компонента плотности тока.

Имеем:

v

ux

v

x

ux

x

c2

v ux

1

c2

v

v

2

ux

x ux v

x

v ux

c2

c2

1

c2

v

v

2

x

x ux v

ux

v ux

c2

1

c2

c2

v ux

v ux

x v

x

1

v

1

.

2

2

v ux

c

c

1

1

v

2

c2

c

2

Здесь обозначено

1

.

1

v2

c2

Таким образом,

x v

.

x

v2

1

c2

Далее:

v

x

1

uy

y

uy

c2

vux

1

c2

v

ux

uy

uy y ,

c2

vux

1

c2

т.е.

.

y y

(3.36)

(3.37)

			218
Аналогично можно получить:
	z .		(3.38)
z
Итак, мы получили для	компонент		следующие формулы

преобразования при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой:

iv

х

c

;

z

;

х

v2

y y ; z

1

c2

iv

x

c

.

v2

1

c2

i

(Первая из этих формул получается из (3.36) заменой ρ на

или на

).

ic

c

Это и есть формулы преобразования компонент четырехмерного вектора.

Таким образом, мы доказали, что четыре величины x , y , z и ic

представляют собой вектор в четырехмерном пространстве.

Покажем теперь, что дивергенция в четырехмерном пространстве является инвариантной величиной. Пусть a ax ,ay ,az ,a – четырехмерный вектор. Дивергенция этого вектора в четырехмерном пространстве:

a

a

ay

a

z

a

x

.

(3.39)

x

x

y

z

и y y

, то

Так как ay ay

ay

ay

.

(3.40)

y

y

Аналогично

az

(3.41)

az .

z

z

Далее

x

y

z

t

.

ax

ax

ax

ax

ax

x

x x

y x

z x

t x

Из формул преобразований Лоренца находим:

x

,

y

0 ,

z

0 ,

t

v

.

x

x

x

x

c2

Здесь

1

.

1

v2

c2

Подставляя последние четыре формулы в (3.42), получаем:

v

ax

ax

ax .

x

c2

x

t

Далее

x

y

z

t

a

a

a

a

a

t

x t

y t

z t

t t .

Из формул преобразований Лоренца:

x

v

, y

0,

z

0 , t

.

t

t

t

t

Подставляя эти четыре выражения в (3.44), получаем:

a

v a

a .

t

x

t

219

(3.42)

(3.43)

(3.44)

(3.45)

Теперь, используя (3.43) и (3.45), а также формулы преобразования компонент четырехмерного вектора при переходе к другой инерциальной системе отсчета

			iv						iv
	ax ax			a	, a	a				ax	,
			c						c

находим:

ax	a		ax		1	a
			x
x					ic t
							v
	2		ax	2
			x				c2

a

x

t

a

x

x

		iv								iv
			a			a					ax
		c x			ic t			ic c t

						2
2 iv a				2 iv			a
	c x				c3 t

220

2

2

2

2

2

v

a

a

v

ax

v

ax

x

c2

t

ic x

ic t

c2

v

2

ax

2

1

a

ax

a

.

(3.46)

x

c2

x

Подставляя теперь выражения (3.46), (3.40) и (3.41) в (3.39), получаем

a

a

a

a

a

ay

x

z

,

x

x

y

z

x

т.е.

a

in var

.

(3.47)

x

Полностью доказано, что закон сохранения заряда в четырехмерной форме (3.28) имеет один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета.

48. Релятивистски-инвариантная формулировка уравнений

электромагнитного поля для потенциалов

Как указывалось ранее, теория электромагнитного поля с самого начала была сформулирована «правильно» с точки зрения теории относительности.

Это означает, что система уравнений Максвелла является релятивистски-

инвариантной.

Проще всего в этом убедиться, если рассмотреть уравнения для потенциалов в пустоте

			1 2
							A
A									,					(3.48)
			c2			t2				0
				1		2						.		(3.49)
				c2		t2				0

При выводе этих уравнений используется условие калибровки Лоренца

divA 1 0 . c2 t

221

Перепишем уравнение (3.48) без изменения, а уравнение (3.49) умножим

вначале на

1

, а потом на ic :

0

0

с2

1 2

A

A

c2

t2

0

1

1

2

0

ic

c2

c4 t2

Или:

2

A

A

,

2

0

A

2 A

.

2

0

(Расшифровку для A смотри ниже).

После умножения на ic правые

части этих уравнений

содержат

компоненты 4-вектора плотности тока,

умноженные на 0 . Следовательно,

и в левой части также четырехмерный вектор.

Если ввести четырехмерный вектор потенциала

i

A

Ax , Ay , Az ,

,

c

то тогда эти два уравнения можно записать в виде

2 A

A

,

(3.50)

0

x2

0

где

– означает оператор Даламбера

1

2

2

.

с2

t2

x2

Условие калибровки Лоренца может быть записано так

A

Ay

A

A

x

z

0

,

x

y

z

т.е.

222

A 0 .

x

Такая формулировка, как было показано, является релятивистски-

инвариантной. Законы электродинамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой компоненты четырехмерного вектора потенциала преобразуются по стандартному закону. В результате получаем:

				v
	Ax			c2
Ax
					v2					, Ay Ay , Az Az ,
		1
					c2

vA

x.

1 v2 c2

Вопросы и задачи к лекции 20

226-1. Что такое четырехмерный вектор плотности тока?

227-2. Запишите закон сохранения заряда в обычной форме и в релятивистски-инвариантной форме.

228-3. Выведите формулу преобразования плотности электрического заряда при переходе от одной системы отсчета к другой.

229-4. Выведите формулы преобразования компонент плотности тока x ,

y и z при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

230-5.Покажите, что дивергенция в четырехмерном пространстве является инвариантной величиной.

231-6. Выведите релятивистски-инвариантную формулу уравнений электромагнитного поля для потенциалов.

223

232-7. Что такое четырехмерный вектор потенциала?

233-8. В системе отсчета O', движущейся со скоростью v вдоль оси х относительно системы О, точечный заряд q неподвижен и расположен в начале координат. Найдите скалярный и векторный потенциалы в системах О и O'.

Лекция 21

49. Тензор Электромагнитного поля и уравнения Максвелла

Вначале вообще о четырехмерном тензоре. Мы назвали вектором такую четверку величин ax , a y , az , a , которые при переходе к другой инерциальной системе отсчета преобразуются по закону:

v

v

ax

i c a

a

i c ax

ax

, ay ay ,

az az ,

a

.

v2

1

1

v2

c2

c2

Эти преобразования можно коротко записать в виде

a a ,

где подразумевается суммирование по . Как ,

так и ,

пробегают значения

х , у , z , . Здесь

следующая матрица:

i

v

1

0

0

c

1

v2

1

v2

c2

c2

0

1

0

0

(3.51)

0

0

1

0

i

v

c

0

0

1

1

v2

1

v2

c2

c2