Тема № 4. Примеры применения методов теории систем и системного анализа для исследования сложных систем и принятия решений.

§ 1. Модели постепенной формализации задач при организации технологических процессов производства и управления.

1. . Если число неизвестных больше числа уравнений.

Во многих практических ситуациях планирования и управления технологическими процессами сразу не удаётся найти подходящий метод формализованного представления, который позволяет решить задачу, или же, предложив формальную модель, не удается доказать её адекватность отображаемой ситуации.

В этих случаях можно попытаться получить модель или доказать соответствие её реальной действительности путем организации процесса постепенной формализации задачи, позволяющего пошагово уточнять постановку задачи, обосновывать адекватность моделей, и в результате – получать ответы на постановленные в задаче вопросы.

Необходимость в таком подходе может возникнуть в тех случаях, когда, например, после описания ситуации принятия решения в виде системы алгебраических уравнений решение не может быть получено математическим путем (если, например, число неизвестных больше, чем число уравнений), или когда задачу не удаётся описать с помощью моделей математического программирования.

Рассмотрим идею постепенной формализации на примере элементарного эксперимента, который был проведен в 1972 году.

Пятикласснице была предложена задача, которую невозможно было решить известными ей методами математики. Задача, которая была заимствована из раздела головоломок одного из популярных журналов, формулировалась следующим образом.

Известно: в столовую вошла группа посетителей, которые вначале сели за несколько столов по 6 и по 7 человек, а затем разместились поровну, по 11 человек, заняв Z столов. Требуется определить: сколько посетителей вошло в столовую, если известно, что их было больше 100 и меньше 150.

Для отображения этой ситуации легко написать

уравнение 6х + 7у = 11z

и ограничение 100<11z<150 (1.1)

Уравнение (1.1) имеет три неизвестных, т. е число неизвестных больше, чем число уравнений. Следовательно, к нему неприменимы обычные методы решения алгебраических уравнений. Попытки применить искусственные приёмы также не позволяют получить все варианты, даже если учесть ограничение (да эти приёмы пятиклассница и не могла знать). Остаётся перебор или случайный подбор, на который и рассчитана головоломка.

Чтобы ускорить такой перебор, его можно попытаться несколько направить. Для этого школьнице было предложено применить то, что знаешь. Таблицу умножения, например. Снять ограничение ”10”, обычно задаваемое формой таблицы умножения, помогло то, что в правой части уравнения (1.1) z сразу умножается на 11. Под членами уравнения появились следующие столбцы произведений:

х 1 = 6		7 х 1 = 7		11 х 1 =1
6 х 2 = 12		7 х 2 = 14		11 х 2 = 22
6 х 3 = 18		7 х 3 = 21		11 х 3 = 33
6 х 4 = 24		7 х 4 = 28		11 х 4 = 44
6 х 5 = 30		7 х 5 = 35		11 х 5 = 55
6 х 6 = 36		7 х 6 = 42		11 х 6 = 66
6 х 7 = 42		7 х 7 = 49		11 х 7 = 77
6х 8 = 48		7 х 8 = 56		11 х 8 = 88
6 х 9 = 54		7 х 9 = 63		11 х 9 = 99
6 х 10 = 60		7 х 10 = 70		11 х 10 = 110
6 х 11 = 66		7 х 11 = 77		11 х 11 = 121
6 х 12 = 72		7 х 12 = 84		11 х 12 = 132
6 х 13 = 78		7 х 13 = 91		11 х 13 = 143
6 х 14 = 84		7 х 14 = 98		11 х 14 = 154
6 х 15 = 90		7 х 15 = 105		11 х 15 = 165

Затем, подождав, пока под членами уравнения появятся числа до умножения на 15, проводившие эксперимент, руководствуясь одним из принципов идеи постоянной формализации и исследования сложных систем – не увлекайся перечислением элементов (в данном случае за элементы приняты 6х, 7у, 11z)– предложили школьнице остановиться и подумать, что можно сделать с полученными столбцами произведений дальше, т. е. предложили возвратиться к формулировке задачи.

Исходное уравнение (1.1) подсказывает, что сумма любого из произведений первого столбца и любого из произведений второго столбца должна дать одно из произведений правой части уравнения. Однако перебор при этом (в рассматриваемой задаче это – число размещений с повторениями) в случае 15 произведений под тремя столбцами составит 15³ =3375!

Первая подсказка для ограничения перебора содержится в условии задачи, в ограничении 100<11z<150. Следовательно, нужно рассматривать только этот диапазон сумм. Но здесь школьница уже сама предложила приём, которым часто пользуются в школе: не вычислять полностью суммы, а проверять вначале суммы последних цифр слагаемых на совпадение с последней цифрой составляющих правой части уравнения (1.1).

После этого были выявлены три очевидные решения, соединенные в приведенной совокупности стрелками:

1. х=8, у=12, z=12; 2) х=9, у=8, z=10; 3) х=11, у=11, z=13.

В ответе к головоломке был только третий вариант решения, который можно получить, применив специальный приём: уравнение с тремя неизвестными типа mx + ny=kz решается для любых х, у и z в случае, если сумма коэффициентов при перемнных слагаемых равна коэффициенту при z, т. е. m + n =k. Тогда, приняв z равным сумме коэффициентов при х и у, т. е. z=m+n и поменяв местами k и z, получим уравнение, справедливое при х=у=k, т. е. в данном случае 11 (третье решение).

Для нахождения вариантов решения (для ускорения процесса) можно разработать автоматизированную процедуру, которую реализовать на ЭВМ.

Приведенный пример демонстрирует полезность неформального, интуитивного мышления при решении задач, которые не могут быть сразу отображены формальными, математическими методами (в данном случае — полной системой уравнений, необходимой при трех неизвестных), и правильность гипотезы Адамара о необходимости переключения этих видов мышления, которая и положена в основу метода постепенной формализации процесса решения задачи (для краткости будем называть его методом постепенной формализации задачи),т. е. основу искусства формализации.