part2 / vm

Из теории рядов Фурье [9] известно, что обе системы являются полными тригонометрическими системами в пространстве L2(–π, π). Следовательно, для заданной функции f из L2(–π, π) аппроксимирующий тригонометрический многочлен

								a0	n
	Pn x								ak cos kx bk sin kx , (4.46)
							2
									k 1
	коэффициенты которого вычисляются по формулам
				1
	ak						f x cos kxdx,			k 0,1,2, ,
										(4.47)
			1
									x sin kxdx,
	bk						f			k 1,2, ,

является МНСП, т.е. погрешность
2 f , Pn L2	f x Pn	x 2 dx

минимальна. Многочлен (4.46) представляет собой часть известного тригонометрического ряда Фурье, формулы (4.47) находятся в полном соответствии с формулами (4.39).

Пример. Получить для функции y=x+1 на интервале [0,2] МНСП с

использованием системы функций 1, cos x,sin x, cos 2x, sin 2x.

Решение. Аппроксимирующий многочлен будем искать в виде

		a0	2
	P2 x		ak cos kx bk sin kx .
		2
			k 1

Посредством замены переменных

Y=(y–2)π, X=(x–1)π

приведем функцию y=x+1 к функции Y=X, заданной на интервале [–π,π].

Обозначим аппроксимирующий

многочлен

для функции Y(X) через

2 X .

P

Вычислим по формулам (4.47) коэффициенты ak, bk, k=0, 1, 2.

a0= a1= a2=0;

1

2

b1

x sin xdx

x sin xdx 2;

0

1

2

b2

x sin 2xdx

x sin 2xdx 1.

0

81

Следовательно,		2 X 2sin X sin 2X .			Выполняя обратную замену
	P
переменных, получим искомое приближение (рис. 4.6)
		P x 2	2	sin x	1	sin 2 x	.
2					2

82

Библиографический список

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1 – М: Физматгиз,

1962. – 465 с.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г. М. Численные методы. – М:

Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 632 с.

3.Волков Е.А. Численные методы. – М: Наука, 2006. – 256 с.

4.Фарафонов В.Г. Численные методы решения систем линейных и нелинейных уравнений: Текст лекций/СЛИАП. Л., 1992. – 34 с.

5.Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-

функций. – М.: Наука, 1980. – 350 с.

6.Фаддеев Д.К., Фаддеева В.И. Вычислительные методы линейной алгебры. – М: Физматгиз, 1963. – 502 с.

7.Дьякова Г.Н., Решетов Л.А., Стрепетов А.В. Вычислительная математика: Программа и методические указания к выполнению контрольных работ/ГУАП. СПб., 2004. – 26 с.

8.Линник А.Е. Метод наименьших квадратов. – М.: Наука, 1980. – 201 с.

9.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.:

Наука, 2006. – 672 с.

83

	Оглавление
Предисловие .......................................................................................................................................		1
1. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ.....................................................		2
1.1	Погрешности численного решения ........................................................................................	3
1.2	Метрическое пространство. ....................................................................................................	4
1.3	Линейное нормированное пространство. ..............................................................................	5
1.4. Вычислительные погрешности..............................................................................................		7
1.5	Пространство со скалярным произведением.........................................................................	9
1.6	Полнота метрических пространств ......................................................................................	11
2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ .................................................................		14
2.1	Норма и число обусловленности матрицы ..........................................................................	16
2.2	Прямые методы решения систем алгебраических уравнений ...........................................	22
2.3	Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. ............	31
2.4	Решение систем уравнений с матрицами специального вида (трехдиагональные
матрицы) .......................................................................................................................................		34
2.5	Методы решения проблемы собственных значений и собственных векторов матриц...	37
3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ. .............................................................		45
3.1	Устойчивые решения, число обусловленности функции одной переменой. ...................	46
3.2	Отделение корней ..................................................................................................................	48
3.3	Методы уточнения корней уравнения .................................................................................	49
4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ .......................................................		53
4.1	Интерполяция функций .........................................................................................................	56
4.2	Аппроксимация функций в среднеквадратичной метрике. ...............................................	69
Библиографический список ............................................................................................................		83

84