part2 / текст(all)

Ис ходные данные

						1
Ф ункция					f(x) 3 x 1 x3 2
Интервал			a 0		b 2
Число уз лов			n 24
i 0 n					k 1 (n 1)
h	b a
		n
xi a h i
yi f xi
Квадратурная формула трапеций
g	h	y0 2 yk yn
	2
				k

g 3.411

b

Сравнение: J f(x) dx J 3.4129

a

Рис. 23.

81

Тема 5. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Дана задача Коши:

y f (x, y) , y(x0 ) y0 .

Необходимо найти:

1)точное решение y(x) в точке x b ,

2)выбрать шаг h из условия hm , 10-4 , вычислить n из со-

отношения	n	(b - x0 )		и найти приближенное решение yˆ(xi ),	в
		h
точках xi x0 ih ,			i 1, , n , параметр m – порядок точности

используемого метода,

3)вычислить y(b) - yˆ(b) , если m 1 (схема Эйлера),

4)вычислить y(b) - yˆ(b) , если m 2 (схема Хойна),

5)вычислить y(b) - yˆ(b) , если m 4 (схема Рунге-Кутты).

Варианты заданий ( x0 0 , b 1 ):

1.y 1- y , y(x0 ) -1 .

2.y 2 - y , y(x0 ) -2 .

3 y 3 - y , y(x0 ) -3 .

4.y xy , y(x0 ) 1 .

5.y 2xy , y(x0 ) 1 .

6 y 4xy , y(x0 ) 1 .

7.	y x2 y ,	y(x ) 1 .
		0
8.	y 3x2 y ,	y(x ) 1 .
		0
9.	y 6x2 y ,	y(x ) 1 .
		0

82

10.y y(3x2 2x) , y(x0 ) 1 .

11.y y(x2 2x) , y(x0 ) 1 .

12.y y(4x3 x) , y(x0 ) 1 .

13.y y(4x3 2x) , y(x0 ) 1 .

14.y y(x 1) , y(x0 ) 1 .

15.y y(2x -1) , y(x0 ) 1 .

16.y y(4x -1) , y(x0 ) 1 .

17.y у , y(x0 ) 1 .

x1

18.y (2xy 1) , y(x0 ) 1 .

19. y	2 y	, y(x ) 1 .
	x 1		0

20.	y			3y			,		y(x0 ) 1 .
				(x
					1)
21.	y y 2 (2x 1) , y(x ) 1 .
										0
22.	y				y				,	y(x0 ) 1 .
				(x	1)2
23.	y				y				,	y(x0 ) 1 .
				(x		2)2
24.	y				y				,	y(x0 ) 1 .
				(x		3)2
25.	y 4 y 2 x , y(x ) -1 .
										0
Пример.									Решить		дифференциальное

y (3x y) /(x2 y) методом Эйлера на отрезке [2;3] начальным условием y(2) 1 .

уравнение с шагом h 0,1 с

83

Фрагмент решения в математическом пакете MathCad приведен на

рис. 24.

		f(x y)						3x y
								x2 y
		a 2				b 3						x0 a	y0 1	h 0.1
	i 0 10
	xi 1 x0 i h
	y	i	1	y		i	h f x y
											i	i
							0
				0					1
				1					1 .1
				2	1		.1		96 1
				3	1		.2		87 1
				4	1		.3		73 8
	y			5	1 .4 56 8
				6	1		.5 36 3
				7	1		.6 12 9
				8	1		.6 86 8
				9	1		.7 58 3
				1 0	1		.8 27 5
				1 1	1		.8 94 6
												Рис. 24.
Для оценки погрешности в точке xk													используем двойной просчет с

шагом h / 2 (рис. 25).

84

i 0 20									y10 1
x		x i						h
i 1				0			2
y1			y1					h	f x y1
	i 1				i		2						i	i
							0
				0			1
				1			1 .0 5
				2		1	.0 99
				3		1	.1 47
				4		1	.1 93
				5		1	.2 38
				6		1	.2 82
				7		1	.3 25
				8		1	.3 68
	y1			9		1	.4 09
				1 0		1	.4 49
				1 1		1	.4 89
				1 2		1	.5 28
				1 3		1	.5 66
				1 4		1	.6 03
				1 5			1 .6 4
				1 6		1	.6 76
				1 7		1	.7 12
				1 8		1	.7 47
				1 9		1	.7 81
				2 0		1	.8 15
Погрешность
	i 0 10						Ri						y12 i yi
							0
				0			0
				1		0 .0 01
				2	0	.0 03 1
				3	0	.0 04 8
	R			4	0	.0 06 3
				5	0	.0 07 6
				6	0	.0 08 7
				7	0	.0 09 8
				8	0	.0 10 7
				9	0	.0 11 6
				1 0	0	.0 12 3

Рис. 25

85

Пример. Решить дифференциальное уравнение								y 2x2	2 y мето-
дом Эйлера на отрезке [0;1]			начальным условием					y(0) 1	разбив ин-
тервал на 20 частей.
Решение. Решение в математическом пакете MathCad приведено на
рис. 26.
Ис ходны е данные
f(x y) 2 x2 2 y		x	0		y	0	1	L 1
		0
Число уз лов					Шаг метода			L
		N		20				h N
i 1 N		xi x0 i h
yi yi 1 h f xi 1 yi 1 f xi yi 1			h f xi 1 yi 1
2
i 0 N
График решения
			yi
							xi
				Рис. 26
Пример.	Решить			дифференциальное					уравнение
y (3x y) /(x2 y)	методом Рунге-Кутта на отрезке [2;3] с шагом
h 0,1 с начальным условием y(2) 1 .
Решение. Фрагмент решения в математическом пакете MathCad
приведен на рис. 27.

86

f(x y)					3x y
					x2 y
a 2			b 3								x0 a							y0 1			h 0.1
	i 0 10
	xi 1 x0 i h
	k1 f x y
	i				i	i
									h					k1
	k2 f			x						y					i
	i				i		2					i			2
									h					k2
	k3 f			x						y					i
	i				i		2					i			2
	k4 f x h y										i	k3
	i				i									i
								h k1 2 k2 2 k3 k4
	yi 1		yi										i					i		i	i
																	6
		0																		0
	0		2															0		1
	1		2															1	1	.0 83 9
	2	2	.1															2		1 .1 65
	3	2	.2															3	1	.2 43 2
	4	2	.3															4	1	.3 18 6
x	5	2 .4													y			5	1 .3 91 6
	6	2	.5															6	1	.4 62 4
	7	2	.6															7	1	.5 31 2
	8	2	.7															8	1	.5 98 1
	9	2	.8															9	1	.6 63 2
	1 0	2	.9															1 0	1	.7 26 6
	1 1		3															1 1	1	.7 88 5

Рис. 27.

Приведем другой вариант реализации метода Рунге-Кутта в математическом пакете MathCad.

87

Пример. Решить дифференциальное уравнение y 2x2 2 y мето-

дом Рунге-Кутта на отрезке [0;1]

начальным условием y(0) 1 разбив

интервал на 20 частей. Фрагмент решения приведен на рис. 28.

Ис ходные данные

f(x y)

2 x2 2 y

x0 0

y0 1

L 1

Число уз лов

N 20

h

L

Шаг метода

N

Вспомогательные функ ции

f1(x y) f x

h

y

h

f(x y)

2

2

f2(x y) f					x			h	y
								2
		i 0 N
y		y				h	f x y
	i 1		i
					6				i i

h f1(x y)

2 f3(x y) f(x h y h f2(x y)) xi 1 x0 (i 1) h

2 f1 xi yi 2 f2 xi yi f3 xi yi

i 0 N

График решения

yi

xi

Рис. 28. 88

Пример. Используя метод Милна, составить таблицу приближенных значений решения задачи Коши на отрезке [0,1] с шагом h=0,1. Начальный

отрезок определить методом Рунге – Кутта. y x2 xy ,

y(0) 0,2 .

Решение. Примерное решение в математическом пакете Mathcad

приведено на рис. 29.

f(x y) x2

x y

y 0 0.2

M(f y 0)

h 0.1

m0 0 0

m0 1 y 0

for i (1 3)

K1 f mi 1 0 mi 1 1

K2 f

m

h

m

K1

i 1

0

2

i 1

1

2

K3 f

m

h

m

K2

i 1

0

2

i 1

1

2

K4 f mi 1 0 h mi 1 1 K3

m

m

h

(K1 K2 K3 K4)

i

1

i 1

1

6

mi 0 mi 1 0 h

i 4

j 0.5

while j 1

mi

0 j

4h

m

m

2 f

m

m

f

m

m

2 f

m

m

i

1

i 4

1

3

i 3

0

i 3

1

i 2

0

i 2 1

i 1

0

i 1 1

m

m

h

f m

m

4 f m

m

f m

m

1

3

0

1

0

i

1

i 2

i 2

i 2

i 1 0

i 1 1

i

i 1

j j h

i i 1

m

ОТВЕТ

0

0.2

0.1

0.201

0.2

0.205

0.3

0.214

M(f y 0)

0.5

0.246

0.6 0.305

0.7 0.384

0.8 0.512

0.9 0.68

Рис. 29 89

Пример. Решить дифференциальное уравнение y (3x y) /(x2 y) методом Хойна на отрезке [2;3] с шагом h 0,1 с начальным условием y(2) 1 .

Решение. Фрагмент решения в математическом пакете MathCad приведен на рис. 30. Для оценки погрешности в точке xk используем

двойной просчет с шагом h / 2 (рис. 31).

f(x y)			3x y
			x2 y
a 2	b 3						x0 a	y0 1					h 0.1
i 0 10
xi 1 x0 i h
							f x y f x		y	i	h f x y
yi 1	yi				h		i i	i 1						i	i
									2
					0									0
		0			2							0			1
		1			2							1	1	.0	98
		2			2 .1							2	1	.1	92
		3			2 .2							3	1	.2	81
		4			2 .3							4	1	.3	66
x		5		2 .4					y			5	1 .4 47
		6			2 .5							6	1	.5 25
		7			2 .6							7	1	.6 01
		8			2 .7							8	1	.6 74
		9			2 .8							9	1	.7 44
		1 0			2 .9							1 0	1	.8 13
		1 1			3							1 1	1	.8 79

Рис. 30.

90