Контрольная работа № 00 по предмету «Высшая математика» часть 2 (код-вш)

1. Из города а в город в ведут 5 дорог, из города в в город с - три дороги. Сколько путей, проходящих через в, ведут из а в с?

Решение.

Представим задачу в виде графа, см. рис. 1.

Рис. 1. Граф путей, связывающих пункты А, В и С.

Очевидно, что какой бы путь не выбрал объект, продвигаясь из пункта А в пункт В, по достижении пункта В он может выбрать любой из трех путей, позволяющих ему добраться из В в С.

Следовательно, путей, ведущих из А в С и проходящих через В, существует 5  3 = 15.

Ответ: 15 путей.

2. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну - на правую так, чтобы выбранные перчатки были разных размеров?

Решение.

На левую руку можно выбрать любую из 6 перчаток на левые руки. На правую – любую из пяти перчаток на правую руку. Значит, всего способов

6  5=30.

Ответ: 30 способов.

3. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя было одному юноше?

Решение.

По условию задачи, в одной команде должен быть 1 юноша, а в другой 2.

Сформировать команды при таких условиях можно следующим образом.

Юношу в первую команду можно выбрать способами, выбрать девушек в эту команду можно способами. Оставшиеся 2 юношей и 2 девушки составят другую команду. Значит, всего имеется =30 способов разбиться на команды.

Ответ: 30 способов.

4. В купе железнодорожного вагона имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров этого купе четверо желают сидеть лицом к паровозу, 3 – спиной к паровозу, а остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?

Решение.

Разместим четверых желающих пассажиров лицом к паровозу (на 5 местах). Это можно сделать способами, разместим троих желающих пассажиров спиной к паровозу. Это можно сделать способами, Осталось 3 «безразличных» пассажира и для них 3 места. Их можно разместить 3! способами.

Значит, всего способов размещения .

Ответ: 43200 способов.

5. В почтовом отделении продаются открытки десяти видов в неограниченном количестве. Сколькими способами можно купить 12 открыток?

Решение.

Имеем случай сочетания с повторениями:

.

В нашей задаче 352716.

Ответ: 352716 способов.

6. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек практически одинаковых по степени мастерства. Трое судей должны независимо друг от друга пронумеровать их в порядке, отражающим их успехи в соревновании по мнению судей. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле всех возможных случаев победитель будет определен?

Решение.

Победитель будет определен в случаях, если А( ровно два судьи определили одного и того же спортсмена X), В( ровно три судьи назвали одного и того же спортсмена X).

, .

Однако спортсмен X – любой из 10 спортсменов, поэтому доля всех возможных случаев , или 11%.

Ответ: 0,11, или 11%.

7. В урне лежат 10 жетонов с числами 1,2,3, ..., 10. Из нее, не выбирая, вынимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел не меньше 9?

Решение.

Неблагоприятные исходы: (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4) (в этих случаях сумма чисел меньше 9). Всего исходов . Значит, всего благоприятных исходов

Ответ: в 116 случаях.

8. Человек имеет 6 друзей и в течения 20 дней приглашает к себе 3 из них так, что компания им разу не повторяется. Сколькими способами может он это сделать?

Решение.

Выбрать 3 друзей из 6 можно способами. Значит, всего можно составить 20 различных компаний. Эти компании надо распределить на 20 дней. Это можно сделать 20!= 2432902008176640000 способами.

Ответ: 20! или 2 432 902 008 176 640 000 способов.

9. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, и с сыром и с колбасой – 28 человек; и с колбасой и с ветчиной – 31 человек, и с сыром и с ветчиной – 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

Решение.

Решение задачи становится очевидно, если описать условие с помощью диаграммы Венна (в виде пересекающихся кругов, изображающих множества), приняв следующие обозначения:

А - множество туристов, которые взяли с собой бутерброды с колбасой;

В - множество туристов, которые взяли с собой бутерброды с сыром;

С - множество туристов, которые взяли с собой бутерброды с ветчиной.

Рис. 2. Диаграмма Венна.

На этой диаграмме видно:

а) Количество туристов, взявших с собой бутерброды всех трех видов (25).

б) Количество туристов, взявших с собой бутерброды каких-либо двух видов (с учетом туристов, взявших с собой бутерброды всех трех видов) – соответственно 3, 1 и 6 человек (чтобы общее число этих людей в соответствии с условием было равно 28, 26 и 31 человек).

в) Количество туристов, взявших с собой бутерброды какого-либо одного вида (с учетом туристов, перечисленных в пунктах а и б) – соответственно 13, 9 и 10 человек (чтобы общее число этих людей в соответствии с условием было равно 47, 38 и 42 человека).

Тогда общее число любителей бутербродов составит

25 + 3 + 1 + 6 + 13 + 9 + 10 = 67 человек.

Следовательно, пирожки взяли с собой 92 – 67 = 25 человек.

Ответ: 25 человек.