- •Глава 14
- •14.1. Определение кратного интеграла
- •14.2. Двойные интегралы
- •14.2.1. Области на плоскости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.2. Повторный интеграл
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.2.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых
- •Задачи для самостоятельного решения
- •8. . 9..
- •10. . 11..
- •14.2.4. Замена переменных в двойном интеграле.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3. Тройные интегралы.
- •Задания.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.3.3 Замена переменных в тройном интеграле
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.5.2 Криволинейные интегралы второго рода (ки-2)
- •105. . 106. . 107. .
- •14.6. Поверхностные интегралы
- •14.6.1. Двусторонние поверхности и их ориентация
- •14.6.2. Поверхностный интеграл первого рода (пи-1)
- •Задания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14.6.3. Поверхностные интегралы второго рода (пи-2)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •134. . 135..
- •15.1.2. Поток векторного поля
- •1. Определение потока векторного поля
- •2. Способы вычисления потока
- •15.1.3. Линейный интеграл вектора. Циркуляция векторного поля
- •15.1.4. Дивергенция векторного поля
- •15.1.5. Ротор (вихрь) векторного поля
- •Задачи для самостоятельного решения
- •15.2.2. Соленоидальное векторное поле
- •15.2.3. Дифференциальные операции второго порядка.
- •Задачи для самостоятельного решения
- •124. 125. 126.
Глава 14
Кратные интегралы
14.1. Определение кратного интеграла
Определение двойного и тройного интеграла
Пусть : 1) в ограниченной замкнутой области “ объема”v(E) задана ограниченная функция ; 2)- разбиение областина подобластис объемамии диаметрами,- диаметр разбиения; 3) зафиксируем точки,; 4) построиминтегральную сумму
.
Определение. Конечный предел I интегральной суммы приназываетсяm- кратным интегралом от функции f по области E и обозначается
или . (1.1)
Таким образом, по определению,
(1.2)
В этом случае функция называетсяинтегрируемой в E.
При m=2 (m=3) для ограниченной функции f в замкнутой области ) кратный интеграл (1.1) называетсядвойным (тройным) интегралом, а соответствующее определение (1.2) примет вид
,где точка (,
где точка .
14.2. Двойные интегралы
14.2.1. Области на плоскости
Определение. Область назовемправильной в направлении Oy, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку из S параллельно оси Oy, пересекает границу области ровно в двух точках (рис.14.1).
Область S будет правильной в направлении Oy , если существуют функции и, определенные и непрерывные на [a;b] и такие, что координаты точек, принадлежащих (S), удовлетворяют условиям: ; тогда символически можно записать:
. (2.1)
Область S будет правильной в направлении Ox, если существуют функции и, определенные и непрерывные на [c;d] и такие, что координаты точек, принадлежащих S , удовлетворяют условиям: (рис.14.2);
тогда символически
. (2.2)
Рис.14.1. Рис.14.2.
Область называется правильной, если она правильная в обоих направлениях Ox и Oy.
Пример 1. Область S задана уравнениями границы: .
Изобразить указанную область и записать как правильную.
Рис.14.3
б
Рис. 14.4
Пример 2. Точки из области D удовлетворяют неравенству (a>0) , т.е. . Изобразить данную область и записать как правильную.
Преобразуя неравенство , получим. Геометрически областьD есть круг радиуса a/2 c центром в точке С(a/2; 0). Из уравнения границы следуетили.ОбластьD может быть записана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуокружность и полуокружностьOML: (рис. 14.5)), в силу (2.1) .
Рис. 14.5 Рис.14.6
Область D можно записать как правильную в направлении Ox (прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Ox пересекает полуокружность
и полуокружность + (рис. 14.6)), и в силу (2.2):