mathzad_8

РАЗДЕЛ 8. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

8.1. Методические указания и примеры

Построение графиков функций y=f(x) (или, обобщая, — множеств точек (x, y), удовлетворяющих заданному соотношению F(x, y)=0) у многих поступающих вызывает определенные трудности. Поэтому при подготовке к вступительному экзамену полезно дополнительно проработать соответствующие разделы учебных пособий.

Поступающий должен иметь ясное представление о системе координат на плоскости, уметь бегло рисовать графики про-

стейших		функций:
1.	y		kx b,				k,b R (прямая);
2.	y		ax 2 bx c, a R \ ^0`,							b, c R	(парабола);
3.	y		kx 1,				k R \ ^0` (гипербола);
4.	y		x r			ïðè		r = 3,	r = 1/2,		r = –2 (cтепенная функция);
5.	y		ax			è	y	loga x,	a ! 0,	a z1 (показательная
	è		логарифмическая							функции);
6.	y		sin x,				y	cosx, y	tgx,	y ctgx	(тригонометрические функции);
7.	y		x		.

Необходимо твердо знать основные определения и уметь выяснять такие общие свойства функций, как монотонность (возрастание и убывание), четность и нечетность, периодичность. Также надо свободно совершать преобразования графиков, а именно, понимать и уметь объяснять построение по известному графику функции y=f(x) графиков следующих функций:

1.	y	f (x) a	è	y	f (x b),		a, b R (параллельные сдвиги вдоль
	îñåé Oy è Ox);					A, Z R \ ^0` (сжатие или растяжение
2.	y	A f (x)	è	y	f (Z x),
	вдоль осей Oy è Ox);
3.	y	f (x ),	y	f ( x) è		y	f ( x) (преобразования симметрии);

4 1

4. y

f (x)

, y

f

x

,

y

f (x), а также

f

,

f

x

,

y

f (x)

,

y

f

x

.

y

x

y

На экзамене предлагают строить графики функций, представляющих собой комбинации различных элементарных функций. При этом требуется изобразить лишь примерное поведение кривой. Обратим внимание на то, что построение графика функции исключительно по точкам не может быть признано удовлетворительным. Построение по точкам можно использовать только как вспомогательное средство (нахождение опорных точек).

Пример 1. Построить график функции y 1 x 3 4 .

Р е ш е н и е . Областью определения данной функции являются любые значения õ, кроме õ=–4.

Построение графика функции ó проведем в два этапа (метод последовательного построения):

	y0	3	y1	3	y y1 1 ,
		x		x 4

исходя из графика функции ó0 обратной пропорциональной зависимости (см. рис. 1).

Если передвинуть график функции ó0 как твердое тело на 4 единицы влево вдоль оси абсцисс, то получим график фун-

êöèè ó1 (ñì. ðèñ. 2)	. Параллельный сдвиг графика функции ó1
на 1 единицу вверх	вдоль оси ординат приводит к графику ин-
тересующей нас функции ó		(см. рис. 3). Точки пересечения
с осями координат	найдите	самостоятельно.

4 2

Пример 2. Построить график функции y x 1 1 x 3 .

Ð å ø å í è å .				Согласно определению		модуля
	x 1		­ x 1,	åñëè	x t 1,
			¯® x 1 , åñëè		x 1.
Поэтому
	y ®­ x 2 x 3 , åñëè				x t 1,
¯			x x 3 , åñëè		x 1.
Рассмотрим функции y1 x 2 x 3 , y2						x x 3 . Их графиками

являются, очевидно, параболы. Построив график функции ó1, мы должны выделить тот его кусок, который соответствует зна- чениям аргумента x t 1 . Аналогично, у графика функции ó2 берем ту часть, которая соответствует значениям аргумента x 1 . График заданной функции ó изображен на рис. 4 жирной линией.

Пример 3. Построить график функции						x 3 x 2
					y	2 x 1 .
Ð å ø å í è å .				Функция определена на всей числовой оси,
кроме õ=1. По определению абсолютной величины
	x 1		­ x 1,	åñëè x t1,
			®
			¯ (x 1),	åñëè x 1.

4 3

Поэтому

	­		1		x	2	,	åñëè	x t1,
y	°	2
	®
	°	1		x 2,				åñëè	x 1.
	¯	2

Строим графики функций y1	1 x 2,	y2		1 x 2	и берем их части,
	2			2

соответствующие значениям аргумента õ≥1 (äëÿ ó1), x<1 (äëÿ ó2). График данной функции ó показан на рис. 5 сплошной линией.

Пример 4. Построить график функции y 2x x .

Решение. Функция определена при любых значениях õ.

Раскрыв		модуль, получаем, что
y	­	20	1		ïðè x t0,
	® 2x		4	x	ïðè x 0.
	¯2

График этой функции изображен на рис. 6.

Пример 5. Построить график функции y sin x sin x .

Решение. Поскольку sin x sin x sin x sin x sin x sin x , òî

данная функция является четной, а следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат. Итак, функцию дос-

таточно	рассмотреть при		x t 0 .
Ïðè	x t 0 данная функция y				sin x		sin x является периодичес-
кой с периодом 2π.
Когда 0 d x dS		(здесь sin x t 0 ), òî y 2sin x , òî åñòü íà ýòîì îò-
резке графиком		функции	служит		часть синусоиды y0 sin x , ðà-

стянутая вдоль оси ординат в 2 раза (см. рис. 7). Когда S d x d2S

4 4

(здесь sin x d 0 ), òî ó=0, то есть на этом промежутке графиком функции является отрезок оси абсцисс (см. рис. 7).

В силу периодичности (для x t 0 ) получаем всю правую часть графика. В силу четности функции левая часть графика (для x 0 ) строится симметрично правой относительно оси ординат (см. рис. 8).

8.2. Условия задач и ответы

Построить график функции или множество точек, удовлетворяющих заданному соотношению:

532. y

534. y

536. y

538. y

540. y

542. y

544. y

546. y

548. y

x1 .

x1 x 1 .

x

x

x 2 1 2 .

2x 3 . x 1

x

x 1 .

log2 x . log2 1 x . log2 2 x 2 .

ГРУППА А
533.	y			x			1 .
535.	y				x 1						2												.
537.	y	x 2 2												x 1											1 .
539.	y			x 2 3															x		2						.
	y				x 1
541.												.
					x			1
543.	y			x 2 4													.
					x 2 1
545.	y	log 1							x							.
		2
547.	y	log2 x 1 .
549.	y			log2 x															.

4 5

550.		y	2x 1 .
552.	y		sin 2x .
554.	y			sin x		.
	y			x 4 1
556.							.
				x 2 1
558.	y			1 x .
560.		y		sin x .

551.		y	3				x		.
553.	y		2sin 2x 1 .
							x
555.	y		2							cos2x .
							x
557.	y			tg x								.
559.	y			sin x										.
				sin x
561.								x							.
		y
							x 1

ГРУППА Б

562.			y				x							1	.															563.
														x
564.		y								x 2									x 1						x 2			x 1 .		565.
566.		y										1							.											567.
							3x					2		1
568.			y					x 2 .																						569.
570.			y		3					log3 x								.												571.
572.		y				logsin x 2 .																								573.
574.		y				arctg tg x .																								575.
576.		y					x 1									x 2 .														577.
								x 1
578.			y			>x @								*.																579.
580.			y					log2 x															1							581.
		y												1 x																1
582.						log2																				log2 1 x						2 .
																							2							2
																							x							x
583. y					1		§				2		x						2	x		1					1	·
								¨																					¸ .	584. y
					2																	x 1
							©																				x 1¹

y

sin x x .

y

1

x 2 1 .

y

logx 2 .

y

x logx 2 .

y

log2 sin x .

y

arcsin sin x .

y

arccos cos x .

y

sin x

sin

x

.

y

x 2

.

x 1

y

x

.

x

1

14 Sx 2arcsin x Sx 2arcsin x .

y

1

§

2

x

2 arctg x 1

2

x

2 arctg x 1

2

·

585.

¨

¸.

¨

¸

2

©

¹

* Символ [a] означает целую часть числа а, то есть [а] — это наибольшее целое число, не превосходящее а. Например, [3,2]=3, [6]=6, [–4,2]=–5.

4 6

4 7

4 8

4 9

5 0