Копытин Задачи по Км 3
.pdfУчитывая, что
4jV12j2 + [ ( + V22 V11)]2 = 4jV12j2 + 2 2 ( + V22 V11)+
+ ( + V22 V12)2 = 4jV12j2 + ( + V22 V12)2 + |
|
|||||||||||
|
|
|
|
{z |
|
|
|
} |
22 |
11 |
||
+ 2 ( +|V22 V11) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= 2 [ ( + V |
|
V )]; |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
1= |
|
|
|
|
c2 = ( +2 22 |
11 |
|
|
: |
|
|
|
|||||
|
|
|
V V |
|
|
) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент c1 вычисляется из (2.43).
Проанализируем полученные результаты при различных предельных соотношениях между диагональными и недиагональными матрич-
|
^ |
|
ными элементами оператора V . Рассмотрим следующие случаи. |
|
|
à) Большие диагональные матричные элементы: |
|
|
jV11j; jV22 j jV12j; |
jV12j j + V22 V11j 12: |
(2.44) |
Раскладывая корни в (2.42) и выражении для по степеням V12= 12 (проделать самостоятельно!), получаем предельные выражения для энергий стационарных состояний при наличии вырождения и правильные функции нулевого приближения:
E+ E2 + V22; |
E E1 + V11; |
|||
+ 2; |
|
V12 |
1: |
|
jV12j |
|
Функции и 1 отличаются фазовым множителем и поэтому физически эквивалентны. В состоянии с энергией E+ доминирует 2, а с энергией E 1. Такие же результаты дает и теория возмущений для невырожденных уровней в первом порядке. Действительно, (2.44) является частным случаем условия применимости ТВ для невырожденных уровней (2.9).
á) Большие недиагональные матричные элементы:
|
jV12j jV11j; jV22j; |
jV12j 12: |
|
Раскладывая корни по степеням 12=V12, получаем: |
|||
E = 2 (E1 + E2) jV12j; |
= p2 |
2 jV12j 1 |
|
1 |
|
1 |
V12 |
Можно видеть, что > , т.е. сильно недиагональное возмущение приводит к раздвиганию близких уровней. jc1 j2 = jc2 j2 = 12 , поэтому
31
невозмущенные состояния вносят одинаковый вклад в формированиевозмущенных уровней.
Из анализа предельных случаев можно сделать вывод о том, что теорией возмущения для близких уровней нужно пользоваться в том случае, если в матрице оператора возмущения недиагональные элементы доминируют над диагональными и по величине существенно превышают межуровневые расстояния.
Пример 2.6. Эффект Штарка в атоме водорода. Определить
расщепление первого возбужденного энергетического уровня водородоподобного иона в однородном электрическом поле напряженности E. Заряд ядра Z, масса электрона e.
Решение.
1 способ.
Уровень водородоподобного иона с главным квантовым числом n вырожден с кратностью n2. Поэтому первому возбужденному уровню (n = 2) соответствуют 4 состояния:
200 (r) = R20(r)Y0 0( ; ') 1(r); |
|
210 (r) = R21(r)Y1 0( ; ') 2(r); |
(2.45) |
211 (r) = R21(r)Y1 1( ; ') 3(r); |
|
21 1(r) = R21(r)Y1 1( ; ') 4(r):
Первое является 2s-состоянием, остальные 2p.
Взаимодействие электрона с внешним однородным электрическим полем будем рассматривать в качестве возмущения:
^ |
(2.46) |
V = eEz |
(ось Oz направлена вдоль E ; предполагается e < 0).
Пользуясь результатами примера 3.10 ч.2, вычисляем матричные элементы оператора (2.46) с функциями (2.45) и получаем секулярное
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3a0e |
=Z |
E |
(0) |
|
E |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|||
|
E2(0) |
E |
3a0eE=Z |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
E |
|
|
2 |
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
= 0; |
(2.47) |
|||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
E |
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
(0) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
E |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå E2(0) = 18 Z2Ea энергия первого возбужденного состояния в отсутствие возмущения. Раскрывая в (2.47) определитель, получаем урав-
32
нение 4-го порядка относительно E:
(E2(0) E)2[(E2(0) E)2 9a20e2E2] = 0:
Его решения E1;2 = E2(0) 3a0eE=Z; E3;4 = E2(0). Таким образом, вырождение снимается частично.
2 способ.
В водородоподобном ионе вырождение по магнитному квантовому числу m обусловлено тем, что L2 è Lz являются интегралами движения, случайное вырождение по орбитальному квантовому числу l объясняется спецификой кулоновского потенциала.
При наложении возмущения (2.46) L2 перестает быть интегралом движения, а величина Lz по-прежнему сохраняется по причине осевой
симметрии ^ . Поэтому секулярное уравнение можно упростить, сделав
V
его зависящим от m как от параметра.
При заданных m и n орбитальное квантовое число l принимает значения jmj; jmj + 1; : : : ; n 1. В нашем случае n = 2, т.е. l = jmj; jmj + 1; : : : 1.
Рассмотрим случай m = 1. Единственным допустимым значением квантового числа l является 1, т.е. имеется всего один p-подуровень с m = 1, и можно пользоваться теорией возмущений для невырожденных состояний. Поскольку оператор (2.46) нечетный, поправка первого порядка к энергии равна нулю, и подуровень, соответствующий n = 2,l = 1,m = 1, не расщепляется, т.е. E3 = E4 = E2(0), а вырождение по m остается.
Рассмотрим случай m = 0. Орбитальное квантовое число может теперь принимать два значения l = 0; 1. Таким образом, при m = 0 имеются совпадающие s- и p-подуровни. В этом случае секулярное уравне-
ние примет вид |
|
|
3a e =Z |
E(0) |
|
E |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
E2(0) |
E |
3a0eE=Z |
|
= 0; |
(2.48) |
||||
|
|
|
0 |
E |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
корни которого E1;2 |
|
|
|
(0) |
3a0eE=Z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
= E |
|
|
|
|
|
|
|
|
По своей структуре уравнение (2.48) проще (2.47).
Таким образом, кулоновский уровень первого возбужденного состояния в слабом однородном электрическом поле расщепляется на 3 компоненты:
одна компонента, соответствующая 2p-состоянию с m = 1, не смещается (остается 2-кратное вырождение по m);
две другие компоненты, соответствующие 2s- и 2p-состоянию с m = 0, смещаются на 3a0eE=Z. Величина расщепления = 6a0jejE=Z пропорциональна E, т.е. эффект Штарка линеен.
33
Расщепление можно объяснить нарушением центральной симметрии и отличием потенциала от чисто кулоновского.
Если на близких уровнях все Vkm = hkj V jmi = 0, то в секулярном уравнении (2.37) Vkm необходимо заменить на
Vkm(2) = |
hkj V jjihjj V jki |
; |
(2.49) |
||
X |
Em(0) |
|
j |
|
|
j |
|
E(0) |
|
||
|
|
|
|
|
где в сумме по j отсутствуют состояния, принадлежащие системе f близких уровней. Тогда секулярное уравнение (2.37) определяет энергию E во втором порядке по V .
Задачи для самостоятельного решения
18. В примере 2..6 найти правильные волновые функции нулевого при-
ближения.
1
(Ответ: = p ( 2s 2p ), ãäå 2s 200, 2p 210 .)
2
19. Найти расщепление первого возбужденного уровня энергии плоского гармонического осциллятора с массой и частотой ! под действием возмущения вида V = xy ((x; y) плоскость колебаний).
}
(Ответ: E = 2}! 2 ! .)
20. Определить расщепление и поляризуемость стационарных уровней плоского ротатора с m = 1 в однородном электрическом поле E , лежащем в плоскости вращения ротатора. Момент инерции ротатора I, электрический дипольный момент d.
(Ответ: E = E |
+ |
E |
|
= |
d2E2I |
, ãäå E |
|
= |
}2 |
+ |
d2E2J |
1 |
|
3 |
; |
||||||
|
|
|
2J |
|
2 |
||||||||||||||||
( ) |
|
|
d2E2J |
|
|
|
|
}2 |
|
|
3}2 |
|
|
||||||||
= |
|
(2 |
|
3).) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3}2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
Глава 3.
Применение вариационного метода к приближенным расчетам
В ряде случаев приближенное вычисление первых дискретных состояний квантовых систем может быть проведено с помощью вариационного метода. Вариационный метод вычисления первых собственных
значений оператора Гамильтона ^ не использует теорию возмущений
H
и соответственно не требует наличия в задаче малых параметров. При расчетах энергии основного состояния вначале аналитически
выбирается пробная функция 0( ; ; ; : : :), содержащая некоторое число неизвестных параметров , , . . . После вычисления энергетиче- ского функционала
J ( ; ; : : :) = R |
0 |
R j 0( ; ; ; : : :)j2 d |
(3.1) |
|
|
|
( ; ; ; : : :)H^ 0( ; ; ; : : :) d |
|
получают выражение J ( ; ; : : :), зависящее от этих параметров. Оно имеет смысл средней энергии системы в состоянии, задаваемом пробной функцией 0( ; ; ; : : :). Определение искомых значений параметров сводится к минимизации J ( ; ; : : :), т.е. к решению системы урав-
нений
@J = @J = : : : = 0: @ @
При удачном выборе пробной функции получаемое значение энергии
E0 = J ( 0; 0; : : :)
будет близко к истинному значению E0(0) даже при сравнительно малом числе использованных параметров. Ненормированная волновая функция основного состояния системы будет приближенно совпадать с
функцией 0( ; 0 ; 0; : : :).
Указанный выше метод отыскания энергии основного состояния носит название прямого вариационного метода, èëè метода Ритца. Выбор пробных функций базируется на качественном анализе решений с учетом симметрии задачи. Пробная функция прежде всего должна удовлетворять стандартным условиям и в случае финитного движения обращаться в нуль на бесконечности. Согласно осцилляционной теореме
35
для основного состояния одномерной системы пробная функция внутри потенциальной ямы не должна обращаться в нуль. Если гамильтониан не меняется при операции инверсии, пробную функцию основного состояния следует выбирать четной. В случае удачного выбора хорошие результаты для энергии получаются уже при использовании одного параметра.
Пробная функция первого возбужденного состояния 1( ; ; ; : : :) должна один раз обратиться в нуль. Вычисление энергии первого возбужденного состояния сводится к решению вариационной задачи
E1 |
= min R R j 1j2 d |
|
|
|
1 H^ 1 d |
R
при дополнительном условии 1 0 d = 0, ãäå 0 известная волновая функция основного состояния.
Аналогичным образом вычисляется энергия n-го возбужденного состояния. Соответствующая пробная функция с помощью дополнительных условий подбирается ортогональной к волновым функциям более низких по энергии состояний: 0, 1, . . . , n 1.
Заметим, что точные значения энергии En(0) и полученные вариационным методом En удовлетворяют неравенству
En(0) 6 En: |
(3.2) |
Волновые функции, найденные вариационным методом, не обязаны
быть собственными функциями гамильтониана ^ . Они являются тако-
H
выми лишь при определенном выборе параметризации пробных функций, позволяющем подбором параметров привести их к точным волновым функциям стационарных состояний. В этом случае (3.2) превращается в строгое равенство.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение вариационного метода к вычислению собственных значений и собственных функций гамильтониана некоторых систем. Предлагаем читателю проделать все промежуточные выкладки самостоятельно.
Пример 3.1. Вычислить вариационным методом энергию основного
состояния линейного гармонического осциллятора с массой и часто-
òîé !. Пробную функцию выбрать в виде (x; ) = A exp 12 x2 , ãäå A = const, > 0 вариационный параметр.
Решение. При выборе пробной функции учтено, что (1; ) = 0. Также принято во внимание отсутствие узлов у волновой функции основного состояния и ее четность. Энергетический функционал (3.1) вы-
36
числяется с гамильтонианом
^ |
}2 |
|
d2 |
|
1 |
2 |
|
2 |
(3.3) |
H = |
2 |
|
dx2 |
+ |
2 |
! |
x |
|
и заданной пробной функцией (x; ). Приведем его окончательный
âèä (3.1): |
|
+ |
|
|
|
: |
|
|
|
||||
J0( ) = 4 |
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
}2 |
|
|
|
!2 |
|
|
|
|
|||
Минимум J0( ) соответствует значению 0 = !=}, поэтому энергия |
|||||||||||||
основного состояния |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
E0 = J0( 0) = |
|
}!; |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а соответствующая нормированная волновая функция имеет вид |
|
||||||||||||
0(x) = (x; 0 ) = } |
|
1 |
|
e |
x2 |
|
|
||||||
|
|
2x0 ; |
(3.4) |
||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
4 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
}! . По причине удачно выбранной параметризации пробной
функции значение энергии и вид волновой функции совпадают с точ- ными выражениями.
Пример 3.2. Вычислить вариационным методом энергию основно-
го состояния атома водорода. Пробную функцию выбрать в виде(r; ) = Ae r с вариационным параметром > 0.
Решение. Гамильтониан атома водорода имеет вид
^ |
}2 |
|
2 |
|
Ze2 |
(3.5) |
|
H = |
|
r |
|
|
|
: |
|
2 |
|
r |
В центрально-симметричном поле определенное значение имеет угловой момент. В основном состоянии угловой момент равен нулю. Следовательно, волновая функция может зависеть только от r и не зависит от углов. В связанных состояниях при r ! 1 волновая функция должна обращаться в нуль. Радиальная волновая функция основного состояния не должна иметь узлов. Предлагаемая пробная функция удовлетворяет вышеперечисленным условиям.
Энергетический функционал с гамильтонианом (3.5) приводится к виду
J1s ( ) = |
2 } |
2 |
Z0 |
1 e r r2e r r2dr 4 3Ze2 |
Z0 |
1 e 2 r r dr: (3.6) |
|
3 |
|
|
|
|
37
При вычислении первого интеграла в (3.6) имеем |
|
||||
Z0 |
e r r2e r r2dr = Z0 |
@r e r |
r2dr = (4 ) 1 |
: |
|
1 |
1 |
@ |
|
2 |
|
Второй интеграл в (3.6) легко вычисляется:
Z 1
e 2 r r dr = (2 ) 2:
0
Подставляя эти значения в (3.6), получаем:
J1s ( ) = }2 2 Ze2 :
2
Из условия минимума J1s( ) определяем вариационный параметр 0 = Z=a0. Подставляя найденное значение 0 в выражения для энергетиче- ского функционала и пробной функции, получаем:
|
2a0 |
s |
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
a03 |
|
|
|||||
|
Z2 e2 |
|
|
Z3 |
|
|
Zr |
(3.7) |
|
E1s = J1s( 0) = |
; 1s(r) = |
|
|
|
exp |
|
|
: |
Выражения для энергии и волновой функции совпадают с точными благодаря удачной параметризации пробной функции.
Пример 3.3. Вычислить вариационным методом энергию первого возбужденного состояния 2s атома водорода. Пробную
функцию |
выбрать |
â |
двухпараметрическом виде (r; ; ) |
= |
|
B 1 + |
Zr |
exp |
r |
с вариационными параметрами > |
0 è |
|
|
||||
a0 |
a0 |
< 0.
Решение. Помимо стандартных условий, радиальная волновая функция 2s-состояния должна иметь один узел. Данный факт находит отражение в параметризации пробной функции. Дополнительным условием при минимизации энергетического функционала является требование ортогональности (r; ; ) к волновой функции 1s-состояния, найден-
ной в предыдущем примере: R 1 (r; ; ) 1s (r) d3r = 0. Несложные
0
вычисления позволяют получить следующую связь между вариационными параметрами и :
= |
1 |
(Z + ): |
(3.8) |
3Z |
Теперь на основании (3.5) и (3.8) с заданной пробной функцией можно получить энергетический функционал 2s-состояния:
J2s ( ) = Z |
H^ d3r = a0 |
2 + |
6Z |
2( 2 Z + Z2) |
: |
|||
|
|
Ze2 |
|
|
7 2 |
|
Z 2 |
|
38
Из условия минимума J2s( ) следует 0 = Z=2. Подставляя найденное значение 0 в выражения для энергетического функционала и пробной функции, имеем:
|
8a0 |
s |
|
|
|
2a0 |
2a0 |
||
|
|
8 a03 |
|||||||
|
|
Z2e2 |
|
|
Z3 |
|
Zr |
Zr |
|
E2s = J2s ( 0) = |
|
; 1s(r) = |
|
1 |
|
exp |
: |
Как и в предыдущем примере, мы получили совпадение с точными результатами.
Пример 3.4. Вычислить вариационным методом энергию второго
возбужденного состояния линейного гармонического осциллятора с массой и частотой !. Пробную функцию выбрать в виде (x; ; ) =
|
|
1 |
|
|
|
exp |
|
|
, ãäå > 0, > 0 вариационные парамет- |
||
B 1 x2 |
|
|
x2 |
||
|
2 |
||||
ðû. |
|
|
|
|
|
Решение. Волновая функция второго возбужденного состояния осциллятора является четной, а первого нечетной, т.е. они будут ортогональны при любой параметризации, учитывающей четность. Поэтому мы должны потребовать от пробной функции ортогональности только к волновой функции основного состояния, найденной в примере 3..1:R1+1 (x; ; ) 0 (x) dx = 0. После интегрирования мы получаем дополнительное условие, связывающее параметры и :
= + x0 2;
}! . Пробная функция параметризована таким образом, что-
бы при конечных значениях x дважды обратиться в нуль. Вычисление энергетического функционала J2( ) требует многократного применения формулы
Z1 |
|
2n |
||
+1 |
2ne 2 d = |
(2n 1)!! |
p |
|
|
|
|
и является довольно громоздким. Явный вид функционала здесь не приводится. Его минимум достигается при 0 = x0 2. Окончательное решение выглядит следующим образом:
E2 = 2 |
}!; |
2(x) = s |
|
|
|
|
|
1 2 x02 |
|
exp |
2x02 |
: |
||
|
2x0p |
|||||||||||||
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x2 |
|
x2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
Задачи для самостоятельного решения.
21. Частица с массой находится в -образной потенциальной яме U (x) = V0 (x) (V0 > 0). Вариационным методом получить прибли-
женное значение энергии основного состояния. Пробную функцию вы-
брать в виде (x; ) = A exp 12 x2 с параметром .
V 2
(Ответ: E0 = }02 .)
22. Движение частицы с массой , находящейся в однородном поле тяготения, ограничено снизу абсоютно упругой горизонтальной пластиной. Вариационным методом получить приближенное значение энергии основного состояния частицы. Пробную функцию выбрать в следующем виде:
à) (z; ) = A z exp( z); á) (z; ) = B z exp |
21 z2 |
|
, |
||||||||||
где вариационный параметр. Ось |
Oz |
направлена вертикально |
|||||||||||
вверх. Ускорение свободного падения g. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
243 |
|
1=3 |
|
|
81 |
|
|
1=3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(Ответ: à) E0 = |
|
}2 g2 |
|
; á) E0 |
= |
|
|
}2 g2 |
|
.) |
|||
32 |
4 |
23. Одномерный линейный гармонический осциллятор с массой и ча- стотой ! находится в основном состоянии. Вариационным методом получить приближенное значение энергии осциллятора. Пробную функцию выбрать в следующем виде:
à) (x; ) = A=(1 + x2= 2); á) (x; ) = B=(1 + x2= 2)2,
где вариационный параметр. Сравнить с точíой энергией. |
|
|||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
(Ответ: à) E0 = |
} |
|
|
|
|
|
(0) |
7 |
} |
|
|
(0) |
, ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
! 1;058E0 |
|||||||
|
!= 2 1;414E0 ; á) E0 = |
|
||||||||||||
E(0) = }!=2 точное значение энергии основного состояния. |
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
+1( + z2) 1dz = =p |
|
|
|
|||
Указание: продифференцировать |
|
|
ïî .) |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||
Объяснить, почему в случае |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
á) |
результат будет точнее. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
24 . Решить предыдущую задачу с пробной |
функцией |
(x; ) = |
||||||||||||
A e jxj, ãäå âàðèационный параметр Ритца. |
|
|
|
|
|
|||||||||
(Ответ: E0 = }!=p2.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. Одномерный линейный гармонический осциллятор с массой и частотой ! находится в первом возбужденном состоянии. Вариационным методом получить приближенное значение энергии осциллятора.
Пробную функцèю выбрать в виде (x; ) = A xe jxj с параметром . p
(Ответ: E1 = 3 }!).
40