Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекция 1 . случайные события. зо.docx
Скачиваний:
50
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
180.08 Кб
Скачать

Лекция 1

    1. Пространство элементарных событий.

Предметом теории вероятности являются математические модели случайных экспериментов.

Эксперимент (Э) называют случайным, если заранее нельзя предсказать его результат (исход).

Примеры.

  1. Э – бросание одной монеты. Исходы – выпадение герба (Г) или решки (Р). Заранее нельзя предсказать исход.

  2. Э – бросание одной игральной кости. Исходы – выпадение 1,2,3,4,5 или 6 очков.

Результаты (исходы) Э называются событиями. События бывают простыми (элементарными) и сложными (составными). Сложные события состоят из простых.

Множество всех возможных взаимоисключающих исходов эксперимента называется пространством элементарных исходов, обозначается Ω. Его элементами являютсяэлементарные исходы, обозначающиесяω.

Примеры.

  1. Э – бросание одной монеты, .

  2. Э–бросание одной игральной кости, (или, где- выпадение 1 очка и т.д.)

События обозначаются: А,B,C,…

Элементарные события, принадлежащие событию А, называютблагоприятствующими(благоприятными) событиюА.

Примеры.

  1. Пусть событие А состоит в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости. Тогда:,(или,).

  2. Монеты подбрасываются дважды. Пусть А– событие, состоящее в том, что хотя бы один раз появится решка, событиеВ– хотя один раз появится герб. Тогда:,,.

Само множество Ω также есть случайное событие, оно называется достоверным, потому что всегда происходит. Пустое множество Ø, не содержащее ни одного элемента, называетсяневозможным.

1.2 Алгебраические операции над событиями

Так как случайные события есть множества, то к ним применимы операции пересечения, объединения и дополнения множеств.

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий АилиВ, называетсясуммой(объединением) событийАиВи обозначатсяА+В(АВ).

Событие, состоящее в наступлении обоих событий АиВ, называетсяпроизведением (пересечением) этих событий и обозначаетсяАВ().

Разностью событийАВназывается событие, состоящее из элементов множестваА, не принадлежащихВ. Оно состоит в том, чтоАпроизошло, аВне произошло.

Если А– событие, то противоположным к нему называют событие, обозначающеесяи состоящее из тех элементов, которые не принадлежатА;, т.е.происходит в том и только том случае, когдаАне происходит. Для противоположных событий одновременно выполняются два условия: а)- достоверное событие, б)- невозможное событие.

Два события называются совместными(несовместными), если в результате их осуществления возможно (или невозможно) их совместное осуществление, т.е. для несовместных событий выполняется:Ø.

События называютполной группой несовместныхсобытий, если:

1. Ø для,

2.Ø для,

3..

Замечание: Операции суммы и произведения аналогично определяются для любого числа событий.

    1. Статистическое, классическое и геометрическое определение вероятности.

Рассмотрим случайный эксперимент с Ω – пространством элементарных исходов и А– случайным событием этого эксперимента. Повторим экспериментраз, предполагая отсутствие влияния результата каждого из проведенных экспериментов на результат другого. Пусть- число экспериментов, в которых произошло событиеА.

Статистическая вероятность.

Статистической вероятностью(частотой) событияА в проведенной серии экспериментов называется число

. (1)

Свойства:

1. ;

2. ;

3. (Ø) = 0;

4. если АиВ несовместны, то(для любого числа событий).

5. обладает свойством устойчивости при, т.е. в различных сериях испытаний при большихпсоответствующие частотыпрактически совпадают, группируясь около некоторого постоянного значения, называемого вероятностью.

Классическая вероятность.

Если пространство элементарных событий Ω, соответствующее случайному эксперименту, удовлетворяет условиям:

  1. множество Ω конечно: ;

  2. все элементарные события равновозможны: ;

  3. элементарные события попарно-несовместны и образуют полную группу событий.

Тогда вероятностьлюбого события можно вычислить по формуле:

, (2)

где n– общее число исходов (событий) испытания;m– число событий, благоприятных событиюА.

Свойства:

1. ;

2. ;

3. (Ø) = 0:

4. если АиВ несовместны, то(для любого числа событий).

Примеры:

(Пр.5): ,

(Пр.6): .

Геометрическая вероятность.

Пусть проведен эксперимент, пространство элементарных исходов которого бесконечно. В этом случае нельзя воспользоваться классическим определением вероятности. В таких случаях вводят понятие геометрической вероятности– обобщение классической вероятности, т.е. вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоской области, часть пространственной области и т.д.)

Пусть - фигура в,.

Будем считать условия эксперимента такими, что не зависит от местоположенияви пропорционально мере. Тогда:

, (3)

где - мера фигуры,- мера фигуры.