Киселева Г.А. Математика часть 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет общих математических и естественнонаучных дисциплин Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

Методические указания по подготовке к контрольным работам

Часть 2

Учебно-методическое пособие

Специальности: 080507 Менедж-

мент организации; 080500 Менеджмент; 080504 Государственное и муниципальное управление; 080505 Управление персоналом

ЧЕРЕПОВЕЦ

2010

Рассмотрено на заседании кафедры математики, протокол № 5 от 25.02.10 г. Одобрено редакционно-издательской комиссией ФОМ и ЕНД ГОУ ВПО ЧГУ, про-

токол № 3 от 16.03.10 г.

Составитель: Г.А. Киселева

Рецензенты: В.А. Окунева, канд. физ.-мат. наук, доцент (ГОУ ВПО ЧГУ); О.А. Кашинцева, канд. физ.-мат. наук, доцент (ГОУ ВПО ЧГУ)

Научный редактор: Н.Н. Беляева, канд. пед. наук, проф.

© Киселева Г.А., 2010

© ГОУ ВПО «Череповецкий государственный университет», 2010

2

Введение

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов экономических специальностей дневной и заочной форм обучения.

Пособие содержит решения примерных вариантов контрольных работ и краткие теоретические сведения по темам «Дифференциальное исчисление функции одной переменной», «Интегральное исчисление функции одной переменной».

Задания в контрольных работах составлены с учетом требований Государственного стандарта по специальностям: 080507 «Менеджмент организации», 080500 «Менеджмент», 080504 «Государственное муниципальное управление», 080505 «Управление персоналом».

Пособие поможет студентам самостоятельно подготовиться к контрольным работам, восполнить обнаруженные пробелы в знаниях.

Контрольная работа 2.1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткие теоретические сведения

1. Производная

1.1. Определение производной, ее экономический и геомет-

рический смысл

Производной функции y (x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю (при условии, что этот предел существует):

3

y (x0 ) lim y .

x 0 x

Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности функции.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

	Ex ( y) lim		y	:	x			x	y x .
			y		x			y
	x 0

Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной равен производной.

Уравнение касательной к кривой y = y (x) в точке x 0 имеет вид

y – y (x0) = y (x0 ) x x0 .

Уравнение нормали к кривой y = y (x) в точке x 0 имеет вид

y y x0 y 1x0 x x0 .

1.2. Основные правила дифференцирования

Если функции u (x) и v (x) дифференцируемы в некоторой точке, то в этой точке дифференцируемы их сумма, разность, произведение и частное (при условии, что v (x) ≠ 0). При этом

u v u v ;

u v u v uv ;

u			u v uv		.
			v2
v

4

Пусть y (u) – функция от u, а u (x) – функция от x, тогда y (u (x)) – сложная функция. При этом u – промежуточная переменная, x – независимая переменная.

Если функция u (x) дифференцируема в точке x 0, а функция y (u) дифференцируема в точке u0 = u (x0), то сложная функция y (u (x)) дифференцируема в точке x 0. При этом справедлива формула

y x0 y u0 u x0 ,

или

yx yu ux .

Пусть y = f (x) и x = φ (y) – взаимообратные функции. Если функция y = f (x) имеет ненулевую производную в точке x 0, то функция x = φ (y) имеет производную в точке y0 = f (x0). При этом справедлива формула

y0 f 1x0 ,

или

xy 1 . yx

Пусть функция задана неявно: F (x, y) = 0. Для нахождения производной необходимо найти производные от функции F отдельно по переменной x (считая y постоянной) и по y (считая x постоянной). При этом справедлива формула

yx Fx .

Fy

5

Пусть функция задана параметрически:	x x t	,
	y y t

где x = x (t) и y = y (t) – дифференцируемые функции. Тогда

yx yt . xt

1.3. Производные основных элементарных функций

Пусть u – функция от х.

а) Для степенных функций:

u u 1 u

( R).

Частные случаи:

1

1

1

x 1,

x2 2 x ,

x

,

,

x

x 1.

2

x

2

x

x

б)

Для показательных функций:

au au ln a u

(a > 0, a ≠ 1).

Частные случаи:

ax

ax ln a ,

eu

eu u ,

ex

ex .

в) Для логарифмических функций:

loga u u ln1 a u .

Частные случаи:

6

			1			1				1
	loga x			, ln u		u	u ,	ln x		x	.
			x ln a

г) Для тригонометрических функций:

sin u cos u u ;

cosu sin u u ;

tg u cos12 u u ;

ctg u sin12 u u .

Частные случаи:

cos x,

a cos a x b ;

sin x

sin a x b

sin x ,

a sin a x b ;

cos x

cos a x b

1

a

tg x

,

tg a x b

;

cos2

x

cos2 a x b

1

a

ctg x

,

ctg a x b

.

sin2

x

sin2 a x b

д) Для обратных тригонометрических функций:

			1
arcsin u
			1 u2
					u		;
			1
arccos u
			1 u2
						u		;

arctg u 1 1u2 u ;

7

arcctg u 1 1u2 u .

1.4.Производные высших порядков

Если функция y (x) имеет производную в любой точке некоторой области, то производная снова будет функцией от x, определенной в этой области, и может иметь производную.

Производная от первой производной функции называется вто-

рой производной, или производной второго порядка:

y y .

Аналогично вводятся производные любого n-го порядка:

y n y n 1 .

1.5. Дифференциал

Дифференциалом функции y (x) в некоторой точке называется главная, линейная относительно x часть приращения функции в

этой точке. Дифференциал функции находится следующим образом:

dy y dx .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях: для малых x считают y dy . Таким образом,

y y x0 x y x0 y x0 x ,

или

y x0 x y x0 y x0 x .

8

Дифференциалы высших порядков:

d ny = y (n)(x) (dx) n.

Примеры. Найти производные функций.

1. y 5arctg2 x.

y 5arctg2 x 5arctg2 x ln 5 arctg2 x = 5arctg2 x ln 5 2 arctg x

arctg x = 5arctg2 x ln 5 2 arctg x 1 1x2 .

2.y = sin 3 5x cos 5 3x.

y = (sin 3 5x cos 5 3x) = (sin 3 5x) cos 5 3x + sin 3 5x (cos 5 3x) =

=3 sin 2 5x (sin 5x) cos 5 3x + sin 3 5x 5 cos 4 3x (cos 3x) =

=3 sin 2 5x cos 5x (5x) cos 5 3x + sin 3 5x 5 cos 4 3x ×

× (–sin 3x) (3x) = 3 sin 2 5x cos 5x 5 cos 5 3x + sin 3 5x ×

× 5 cos 4 3x (–sin																	3x)			3 = 15 sin 2 5x cos4 3x (cos 5x ×
× cos 3x									– sin 5x sin 3x) = 15 sin 2																		5x cos 4 3x cos 8x .
3. y			3				x3 1					.
						3x				2
									x3 1									x3		1	1			1			x3	1	1	1		x3 1
																					3								3
y					3									=																								=
								3x 2
																		3x		2				3		3x		2				3x 2
	1				x3				1				2
=													3			x3 1				3x 2 x3 1 3x 2															=
	3			3x					2														3x 2 2
																							3x 2 x3 1
	1				x		3		1				2			x3			1															3x			2
													3
=																																								=
	3			3x					2																3x 2 2

9

	1		x3 1			2			3x2 3x 2					x3 1 3					1	3x 2			2
=						3												=					3
																				x3 1
	3		3x 2								3x			2 2
																			3
														2					3
	9x3 6x2				3x3				3		3x 2 3 6x3 6x2									=		2x3 2x2 1						.
			3x 2				2				3		x3		2	3x 2			2			x3	1		2	3x 2	4
														1 3											3		3

2. Приложения производной

2.1. Правило Лопиталя

Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует:

			0
lim	f x			,		lim	f x .
			0
x a	g x					x a	g x

Правило Лопиталя можно применять повторно (конечное число раз). Можно использовать данное правило и при раскрытии не-

определенностей вида [0 ],		[ - ], предварительно сведя их к
неопределенностям вида 0		или		. Неопределенности вида
0

[0 0], [1 ], [ 0] логарифмированием сводятся к неопределенности

[0 ].

Примеры. Найти пределы.

1. lim

1 cos x

=

0

= lim

1 cos x

= lim sin x

=

1 lim sin x

=

1

x2

x2

x 0

0

x 0

x 0 2 x

2 x 0

x

2

(использовали I замечательный предел).

10