(Физика) Колебания и волны

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет общих математических и естественнонаучных дисциплин

Кафедра общей физики

ФИЗИКА

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Сборник тестовых заданий для самостоятельной работы

Учебно-методическое пособие

Для студентов технических специальностей очной формы обучения

ЧЕРЕПОВЕЦ

2012

Рассмотрено на заседании кафедры общей физики, протокол № 2 от

30.09.11 г.

Одобрено редакционной комиссией Факультета общих математических и естественнонаучных дисциплин ЧГУ, протокол № 1 от 25.10.11 г.

С о с т а в и т е л и : О.Н. Бубнова, Е.В. Сазонова, С.С. Шевченко, канд. физ.-мат. наук, доцент

Р е ц е н з е н т ы: Н.О. Сорокина, канд. физ.-мат. наук, доцент (ЧГУ);

Л.И. Кириллова (ЧГУ)

Н а у ч н ы й р е д а к т о р: Н.О. Сорокина, канд. физ.-мат. наук, доцент

© Бубнова О.Н., Сазонова Е.В., Шевченко С.С., 2012

© ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет», 2012

2

Введение

Данное пособие посвящено дидактической единице «Колебания и волны» и содержит варианты тестовых заданий Федерального экзамена в сфере высшего профессионального образования (ФЭПО). ДЕ «Колебания и волны» состоит из четырех тем. В каждой теме рассмотрены краткие теоретические сведения, приводится анализ решений конкретных заданий, которые встречались среди АПИМ 2006 – 2010 гг. и в демонстрационных материалах на сайте ФЭПО: www.fepo.ru, а также задания для самостоятельного решения и самоконтроля.

Пособие может быть использовано как в качестве учебного пособия по физике для студентов всех технических специальностей различных форм обучения, так и для тренинга при подготовке к ФЭПО.

1. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Краткие теоретические сведения

Гармоническими колебаниями называются процессы, которые описываются тригонометрическими функциями:

x = A cos( t + 0),

x= A sin( t + 0),

q = qmcos ( t + 0)

где А – амплитуда, т.е. максимальное отклонение от положения равновесия; ( t + ) – фаза; 0 – начальная фаза колебаний, т.е. фа-

за в момент времени t = 0; ω – циклическая частота: 2 2 ;

Т

qm – амплитуда значения заряда на конденсаторе.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

d 2 x 2 x 0, dt2 0

3

где 0 – собственная циклическая частота колебаний.

Период колебаний тела, подвешенного на пружине:

T 2 mk ,

где m – масса тела, k – коэффициент упругости (жесткость) пружины.

Период колебаний математического маятника:

T 2 gl ,

где l – длина нити, g – ускорение свободного падения.Период колебаний физического маятника:

T 2	I
	mga

где I – момент инерции маятника, а – расстояние от точки подвеса С до центра тяжести О (рис. 1 а).

Период электромагнитных колебаний в колебательном контуре:

T 2 LC .

где C – емкость конденсатора, L – индуктивность катушки (рис. 1 б)

Скорость при гармонических колебаниях:

dxdt А sin( t 0 ) .

Сила тока в колебательном контуре:

idqdt qm sin( t 0 )

а

L

С

б

Рис. 1.1

4

Ускорение при гармонических колебаниях:

a d 2 x А 2 cos( t 0 ) . dt2

Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания:

W 12 m 2 A2 12 kA2 .

Для электромагнитных колебаний:

W 12 L Imax2 21C qmax2 ,

где Imax – амплитуда силы тока в контуре, qmax – амплитуда заряда на конденсаторе.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

d 2 x 2 dx 2 x 0, dt2 dt 0

где – коэффициент затухания.

Для пружинного маятника, помещенного в вязкую среду с ко-

эффициентом сопротивления r: 2rm .

Для электромагнитного контура: 2RL .

Решение уравнения затухающих колебаний:

x А0e t cos( 0t 0 ).

График зависимости x(t) приведен на рис. 1.2.

5

А0e t

Рис. 1.2

Период затухающих колебаний:

T		2
					.
	2		2
	0

Время релаксации (время, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшается в e = 2,7 раз):

1 .

Логарифмический декремент затухания:

ln	A(t)	T ,
	A(t T )

где А(T) и А(t + T) – амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих друг от друга по времени на период Т.

Добротность:

	Q		2	W	,
				W

где W – начальная энергия осциллятора; W – потеря энергии за период.

6

Для электромагнитного контура:	Q	1		L	.
		R		C

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

d 2 x	2	dx	2 x F cos t,
dt2		dt	0	0

где F0 cosωt – внешняя периодическая сила, действующая на ко-

леблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F0 – ее амплитудное значение.

При совпадении собственной и вынуждающей частот происходит резонанс, т.е. резкое увеличение амплитуды колебаний. График зависимости А(ω), который называется резонансной кри-

вой, приведен на рис. 1.3.
Резонансная частота:	А

рез 02 2 2 .

Для электромагнитного контура:

рез		1	.	ω0		ω
		LC
				Рис. 1.3

При подаче на нагрузку перемен-

ного напряжения u = U0 sin t в цепи возникает переменный ток i =

I0 sin( t + ),									где – сдвиг фаз между током и напряжением.
Если нагрузка – резистор сопротивлением R, то
	Um			I					и = 0.
							m
		R
Если нагрузка – катушка с индуктивностью L, то
	I				Um				и = - /2, L = Х – индуктивное сопротивление.
		m
					L					L
Если нагрузка – конденсатор емкостью С, то
	I					Um				и = + /2, 1/( С) = ХС – емкостное сопротив-
		m
					1 / C

ление.

7

Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи изображена на рис. 1.4:

U UL UC UR			UL
Закон Ома для переменного			UL – UC
тока:
I	U	,
	Z

UC

где Z – импеданс или полное сопротивление цепи переменного тока

Z R2 X L XC 2 .

U0

I0

UR

Рис. 1.4

Примеры тестовых заданий с решениями

Задание 1.1. За одно и то же время первый маятник совершает одно колебание, а второй – четыре. Нить первого маятника в …

Варианты ответа:

а) 16 раз длиннее; б) 4 раза длиннее; в) 2 раза длиннее; г) 2 раза короче.

Решение:

Период колебаний математического маятника:

T 2

l

, или

g

T

t

. Преобразовав формулу,

получим: N

t

g

. Из формулы

2

N

l

видно, что N 2 ~

1

,

N12

l2

1

. Таким образом, нить 1 маятника

N 2

l

l

16

2

1

длиннее в 16 раз.

Верный ответ: а.

8

Задание 1.2. На рис. 1.5 (а, б) изображены зависимости от времени координаты и скорости материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону.

а)

б)

Рис. 1.5

Циклическая частота колебаний точки равна …

Варианты ответа:

а) 1 рад/с; б) 2 рад/с; в) 3 рад/с; г) 4 рад/с. Решение:

По графику зависимости x x(t) (рис. 1.5 а) определяем значение максимального смещения xmax = 1м. По графику зависимости(t) (рис. 1.5 б) определяем значение максимальной скорости

max = 2 м/с. Учитывая, что max xmax , находим значение циклической частоты = 2 рад/с.

Верный ответ: б.

Задание 1.3. На рис. 1.6 представлена зависимость относительной амплитуды вынужденных колебаний силы тока на катушке индуктивностью 1 мГн, включенной в колебательный контур от частоты ω. Емкость конденсатора этого контура равна…

Варианты ответа:

а) 100 нФ; б) 0,1 нФ;

9

в) 1 нФ; г) 10 нФ.

Решение:

Для электромагнитного коле-

бательного контура		1	.
рез		LC

Возведя в квадрат, получим выражение: 2рез LC1 , откуда

	1		Рис. 1.6
С		.
	L 2
	рез

Из графика найдем резонансную частоту: ωрез = 106 рад/с и подставим. Получим: С = 10-9 Ф = 1 нФ.

Верный ответ: в.

Тесты для самостоятельного решения

1. Материальная точка совершает гармонические колебания по

закону x					2		t		. Период колебаний точки равен…
				0,9 cos
					3			4
Варианты ответа
а)		c ;
	4
б)	3 c;
в)	3		c;
		2
г)	1 с.

2. Материальная точка совершает гармонические колебания по

			2
закону x 0,3 cos						t					. Уравнение изменения скорости точки
				3				4
имеет вид…
Варианты ответа:
	2
а) 0,3 sin				t					;
	3						4

10