Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
интегралы.pdf
Скачиваний:
28
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
793.76 Кб
Скачать

1

1.Неопределенный интеграл

1.1.Первообразная

 

Определение. Функция

называется первообразной для функции

, если

 

 

 

 

 

 

.

 

 

(1.1)

 

Теорема (о первообразной)

 

 

 

 

 

1.

Пусть

– первообразная для функции

и C - некоторая константа. Тогда

 

функция

 

также будет первообразной для функции

 

.

2.

Если

и

- первообразные для функции

, то

 

, где -

 

некоторая константа.

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство

 

 

 

 

 

 

 

1.

Пусть

– первообразная для функции

:

. Тогда

 

 

 

 

 

. Следовательно,

- также первообразная для

 

.

2.

Пусть

и

- первообразные для функции

:

,

.

 

Обозначим

 

.

 

 

.

Следовательно,

 

 

, где - некоторая константа

 

 

 

 

 

 

Следствие. Если

– первообразная для функции

, то любая другая первооб-

разная

имеет вид:

 

.

 

 

 

 

 

 

Операция отыскания первообразной для функции

называется интегрированием

функции .

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.Определение неопределенного интеграла и его свойства

 

Определение. Совокупность всех первообразных для функции

называется неоп-

ределенным интегралом от функции и обозначается

.

 

 

По следствию из п. 1.1 получаем, что

 

 

 

 

 

,

 

(1.2)

где

- одна из первообразных для функции

.

 

 

 

Свойства неопределенного интеграла

 

 

1.

.

 

 

2.

.

 

 

3.

 

 

 

.

(1.3)

4.

.

 

, где

- одна из первообразных для функции

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство

 

 

1.

По формулам (1.2) и (1.1)

 

.

2.

.

 

 

3.По первому свойству производные левой и правой частей равенства (1.3) равны:

,

.

2

Производные обеих частей совпадают. Следовательно, эти части определяют одно и то же семейство первообразных.

4.

 

 

 

 

 

 

Замечание. Свойство 3 верно для любого конечного числа слагаемых:

СР

1.3.

Таблица интегралов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Интегралы находят или вычисляют, но не «решают».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

 

 

 

 

, константа обязательна!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)

Если в подынтегральной функции вместо присутствует

 

 

, то применяем

 

 

свойство 4 неопределенного интеграла. Перед первообразной нужно поставить

 

 

коэффициент

 

. Например,

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Примеры

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.4.Подведение под знак дифференциала

Интегралы вида

 

,

,

,

и т.п.

 

можно вычислять с помощью подведения под знак дифференциала функции

. Напри-

мер,

 

 

 

 

 

.

При подведении под знак дифференциала часто применяются выражения:

,

 

 

,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и т.п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание.

 

– это обозначение дифференциала функции

. Нельзя букву от-

делять от

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.5.Интегрирование по частям

Пусть , - дифференцируемые функции. Тогда . Проинтегрировав обе части, получаем

.

Отсюда, применяя первое свойство неопределенных интегралов, получаем формулу

.

Так как в правой части равенства есть неопределенный интеграл, то константу можно не писать:

 

 

 

 

(1.4)

Формулу (1.4) называют формулой интегрирования по частям.

 

Подынтегральное выражение

разбивают на множители и

таким образом,

чтобы функция

легко интегрировалась, а функция

легко дифференцировалась, и

чтобы интеграл

был проще исходного.