- •1. Неопределенный интеграл
- •1.1. Первообразная
- •1.2. Определение неопределенного интеграла и его свойства
- •1.3. Таблица интегралов
- •1.4. Подведение под знак дифференциала
- •1.5. Интегрирование по частям
- •1.6. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •1.7. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •1.8.1. Разложение многочлена на множители. Простейшие дроби.
- •1.8.2. Разложение правильной дроби на простейшие дроби
- •Примеры
- •1.9. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •1.10. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •1.11. Интегрирование с помощью тригонометрических подстановок
- •2. Определенный интеграл
- •2.2. Свойства определенного интеграла
- •2.2.1. Свойства, выражаемые равенствами
- •2.2.2. Свойства, выражаемые неравенствами.
- •2.3. Определенный интеграл как функция верхнего предела
- •2.4. Замена переменной в определенном интеграле
- •2.5. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
- •3. Несобственные интегралы
- •3.1. Несобственные интегралы первого рода
- •3.1.1. Определение несобственных интегралов первого рода
- •3.1.2. Геометрический смысл несобственных интегралов первого рода
- •3.2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3. Применение основной формулы интегрального исчисления (формулы Ньютона-Лейбница)
- •3.4. Свойства несобственных интегралов
1
1.Неопределенный интеграл
1.1.Первообразная
|
Определение. Функция |
называется первообразной для функции |
, если |
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(1.1) |
|
Теорема (о первообразной) |
|
|
|
|
|
|||
1. |
Пусть |
– первообразная для функции |
и C - некоторая константа. Тогда |
||||||
|
функция |
|
также будет первообразной для функции |
|
. |
||||
2. |
Если |
и |
- первообразные для функции |
, то |
|
, где - |
|||
|
некоторая константа. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Пусть |
– первообразная для функции |
: |
. Тогда |
|
|
|||
|
|
|
. Следовательно, |
- также первообразная для |
|
. |
|||
2. |
Пусть |
и |
- первообразные для функции |
: |
, |
. |
|||
|
Обозначим |
|
. |
|
|
. |
Следовательно, |
||
|
|
, где - некоторая константа |
|
|
|
|
|
||
|
Следствие. Если |
– первообразная для функции |
, то любая другая первооб- |
||||||
разная |
имеет вид: |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Операция отыскания первообразной для функции |
называется интегрированием |
|||||||
функции . |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.Определение неопределенного интеграла и его свойства
|
Определение. Совокупность всех первообразных для функции |
называется неоп- |
||
ределенным интегралом от функции и обозначается |
. |
|
||
|
По следствию из п. 1.1 получаем, что |
|
|
|
|
|
, |
|
(1.2) |
где |
- одна из первообразных для функции |
. |
|
|
|
Свойства неопределенного интеграла |
|
|
||
1. |
. |
|
|
||
2. |
. |
|
|
||
3. |
|
|
|
. |
(1.3) |
4. |
. |
|
, где |
- одна из первообразных для функции |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
|
|
||
1. |
По формулам (1.2) и (1.1) |
|
. |
||
2. |
. |
|
|
3.По первому свойству производные левой и правой частей равенства (1.3) равны:
,
.
2
Производные обеих частей совпадают. Следовательно, эти части определяют одно и то же семейство первообразных.
4. |
|
|
|
|
|
|
Замечание. Свойство 3 верно для любого конечного числа слагаемых:
СР |
1.3. |
Таблица интегралов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Замечания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1) Интегралы находят или вычисляют, но не «решают». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
, константа обязательна! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3) |
Если в подынтегральной функции вместо присутствует |
|
|
, то применяем |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
свойство 4 неопределенного интеграла. Перед первообразной нужно поставить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
коэффициент |
|
. Например, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
Примеры |
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.4.Подведение под знак дифференциала
Интегралы вида |
|
, |
, |
, |
и т.п. |
|
|||||
можно вычислять с помощью подведения под знак дифференциала функции |
. Напри- |
||||
мер, |
|
|
|
|
|
.
При подведении под знак дифференциала часто применяются выражения:
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
и т.п. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. |
|
– это обозначение дифференциала функции |
. Нельзя букву от- |
||||||||||||||||||||||||
делять от |
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◄ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5.Интегрирование по частям
Пусть , - дифференцируемые функции. Тогда . Проинтегрировав обе части, получаем
.
Отсюда, применяя первое свойство неопределенных интегралов, получаем формулу
.
Так как в правой части равенства есть неопределенный интеграл, то константу можно не писать:
|
|
|
|
(1.4) |
Формулу (1.4) называют формулой интегрирования по частям. |
|
|||
Подынтегральное выражение |
разбивают на множители и |
таким образом, |
||
чтобы функция |
легко интегрировалась, а функция |
легко дифференцировалась, и |
||
чтобы интеграл |
был проще исходного. |
|
|