Глава V. Дифференциальное исчисление функций одного переменного. § 1. Производная и дифференциал

Определение 1. Пусть функцияfопределена в окрестности.Производнойфункцииf в точкеназываетсяконечныйпредел

,, (1)

если он существует. Операция нахождения производной функции называется операцией дифференцирования.

Производную будем обозначать символами: .

Заметим, что формулу (1) можно переписать в виде

.

Вставка 1.

Определение 2. Еслито будем говорить, что в точкесуществует бесконечная производная функции, равная соответственно

Определение3. Числаназываютсяодносторонними производными.

Вставка 2.

Определение 4. Функция, определенная в, называетсядифференцируемойв точке, если

, (2)

где - некоторая константа, не зависящая от, а зависящая только от точки; линейная функцияназываетсядифференциаломфункциив точкеи обозначается символами.

Таким образом, для дифференцируемой в точке х₀функции имеем

. (3)

Если , то, с одной стороны,с другой,. Поэтому для независимой переменнойи в дальнейшем чаще будем писать

Вставка 3.

Отметим,что если переписать (2) следующим образом, то легко видеть, что дифференцируемая в точкефункция с точностью доб/мболее высокого порядка, чем, равна линейной функции в. На этой основе строятся приближенные вычисления:.

Теорема 1 (связь между производной и дифференциалом). Для того, чтобы функциябыла дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная, при этом

Доказательство. 1) Пусть функциядифференцируема в точке, тогдаи. ПоэтомуиОтсюда.

2. Пусть . Тогда по лемме (гл.III, § 4 ), где-б/мпри. Отсюда получим.А это и означает, что функциядифференцируема в точке, причем

Последняя формула оправдывает обозначение .

Вставка 4.

Теорема2 (необходимое условие дифференцируемости). Если функциядифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Из условия теоремы имеем. Поэтому

что и означает непрерывность функциив точке.

Вопросы и упражнения

1. Показать:

2. Обосновать единственность

3. Для какихимеют смысл функциии

4. Показать, что прив (3)~при

5. Пусть функциянепрерывна (разрывна) точке. Будет ли она дифференцируема в этой точке?

6. Показать, что из существованиявытекает непрерывность функции в точке.

7. Привести пример функцииf,для которой

§ 2. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала

Пусть функция определена в интервале (a, b) и дифференцируема в точке. Пусть,,,,.

П

Рис. 1

роведем секущую( см. рис.1), уравнение которой

.

Здесь

. (1)

Так как функция непрерывна в точке, тои, следовательно,

О

Рис. 2

пределение. Если существует конечный предел, то прямаяназываетсянаклонной касательнойк графику функциив точке; еслито прямаяназываетсявертикальной касательнойк графику функциив точке(рис. 2).

По-другому, предельное положение секущей приназываетсякасательнойк графику функциив точке.

Теорема(о касательной). Пусть функциянепрерывна в точке. В точкесуществует наклонная касательная тогда и только тогда, когда функциядифференцируема в точке. При этом ее уравнение имеет вид

(2)

а значит, , где- угол наклона касательной к положительному направлению оси.

Доказательство. В силу (1) конечноесуществует тогда и только тогда, когда существует конечный предел, причем. Отсюда и следует, что касательная в точкесуществует и ее уравнение имеет вид (2). Из курса аналитической геометрии. Поэтому

Следствие.равен приращению ординаты касательной в точке.

Действительно, первое слагаемое в (2) есть.

Вставка 1.

П

Рис. 3

усть- закон движения материальной точки;- длина пути, отсчитываемая от точки;- время, за которое пройден путь. Пусть- положение точки в момент времени, а- в момент времени,- длина пути(рис. 3).

Тогда - средняя скорость движения на участке, а=естьвеличинаскорости движения в точке-мгновенная скоростьв точке.

Таким образом, . Отсюда- расстояние, которое прошла бы точка за промежуток времени, если бы она двигалась равномерно со скоростью, равной мгновенной скорости в точке.

Если - количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за время, тоесть сила тока в момент, а- количество электричества за времяпри постоянной силе токаI.

Вопросы и упражнения

1. Показать, что график функцииимеет вертикальную касательную в точкетогда и только тогда, когда

2.Нормалью к графику функциив точкеназывается прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной в ней. Вывести условия существования нормали и ее уравнение.

3.Углом между кривымиив их точке пересечения называется угол между касательными в этой точке. Вывести формулу для нахождения этого угла.

4. Пусть дан неоднородный стержень (т.е. два любых его участка одинаковой длины могут иметь разную массу) длиныи пусть- масса части стержня длины,, отмеряемой от фиксированного конца. Дать физическое толкование величине.