Гл. II.Предел последовательности. § 1. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Определение1. ЕслиnNпоставлено в соответствие некоторое вещественное числоx_n, то говорят, что заданавещественная числовая последовательность(в дальнейшем, просто последовательность)x₁,x₂, ... ,x_n, ... Числаx₁,x₂, ... ,x_n, ... называютсячленамиилиэлементами последовательности;x_n –общим членом последовательности;n–номеромэлемента.

Другими словами, последовательность есть счетное множество пар чисел x_n= (x; n), гдехпробегает некоторое множествоАR, аn– множествоN. При этом множество значенийАпоследовательности может быть конечным, а числаnне повторяются.

Последовательность кратко обозначается символами {x_n}, {y_k} и т.д.

Вставка 1.

Опираясь на множество значений Апоследовательности {x_n}, легко переформулировать для последовательности понятия ограниченности или неограниченности последовательности с одной или обеих сторон. Например,

Определение2. Последовательность {x_n} называетсяограниченной, еслиMR:nN|x_n|M.

Вставка 2.

В теоретических и прикладных вопросах математики особая роль принадлежит бесконечно малым(б/м) ибесконечно большим(б/б) последовательностям.

Определение3. Последовательность {x_n} называетсяб/б, еслиE> 0 (сколь угодно большого)n₀=n₀(E) (n₀N):n>n₀|x_n| >E.

Вставка 3.

Определение4. Последовательность{_n} называетсяб/м, если> 0 (сколь угодно малого)n₀=n₀() (n₀N):n>n₀|_n|< .

Вставка 4.

Теорема1. 1)Если {x_n} -б/б последовательность, то начиная с некоторого номера, определенаб/м последовательность. 2) Если {_n} -б/м последовательность и все_n0, то-б/б последовательность.

Доказательство.1) Уб/б последовательности лишь конечное число элементов может равняться нулю. Действительно, это следует из существования номераn₁=n₁(A), начиная с которого|x_n| > A > 0. Поэтому можно говорить о последовательностиприn > n₁.

Фиксируем > 0. По определениюб/бпоследовательности для:n > n₂|x_n| >. Пустьn>max{n₁,n₂}. Тогда последнее неравенство можно переписать в виде, что и означает, что последовательность-б/м(определение 4).

2) Предположим, что все члены б/мпоследовательности отличны от нуля. ФиксируемE> 0. Дляили, что то же,приn > n₀. Это и означает, что последовательность-б/б.

Вставка 5.

Определение5. Последовательности {x_n + y_n}, {x_n - y_n}, {x_ny_n},приy_n0 называются соответственносуммой, разностью, произведением и частнымдвух последовательностей {x_n} и {y_n}. Подалгебраической суммойпонимается либо {x_n + y_n} либо {x_n - y_n}.

Теорема2. Алгебраическая сумма любого конечного числаб/мпоследовательностей есть последовательностьб/м.

Доказательство. Очевидно, теорему достаточно доказать для алгебраической суммы двухб/мпоследовательностей{_n} и{_n}.

Фиксируем произвольное > 0. Так как {_n} -б/мпоследовательность, то дляn₁=n₁():n > n₁

. (1)

Аналогично, n₂ =n₂():n > n₂

. (2)

Положим n₀=max{n₁,n₂}. Тогдаn>n₀будут верны соотношения (1) и (2). Следовательно,n>n₀() будем иметь

|_n  _n|  |_n| + |_n| < .

Это, ввиду произвола > 0, и означает, что последовательность{_n  _n} -б/м.

Теорема3. Произведение ограниченной последовательности наб/местьб/мпоследовательность.

Доказательство. Пусть последовательность {x_n} ограничена, а последовательность {_n} -б/м.По определению ограниченной последовательностиM> 0:nN

|x_n|M.(3)

Фиксируем произвольное > 0. По определению б/мпоследовательностиn₀=n₀():n>n₀

. (4)

Поэтому n>n₀из (3) и (4) имеем

|_n x_n| = |_n|  |x_n| < M  =,

что и означает, что последовательность {_n x_n}-б/м (определение 4).

Вставка 6.

Замечания.Из теорем 1 и 3 легко сделать следующие выводы:

1) Если k– фиксированное число и {_n}- б/мпоследовательность, то {k_n}- б/мпоследовательность.

2) Если {x_n} ограниченная последовательность, а {y_n} –б/бпоследовательность, то последовательность-б/м.

3) Если k0 и {y_n} –б/бпоследовательность, то последовательность {ky_n}-б/б.

Вопросы и упражнения.

1)Написать формулу общего члена последовательности

…

2)Доказать ограниченностьб/мпоследовательности.

3)Дать определение неограниченной (неограниченной сверху, неограниченной снизу) последовательности.

4)Установить связь междуб/би неограниченной последовательностями.

5) Доказать, что произведение любого числаб/мпоследовательностей есть последовательностьб/ м.

6)Последовательность задана рекуррентным соотношением. Доказать, что последовательность {a_n} ограничена снизу. Будет ли эта последовательность ограничена сверху?

7)Исказится ли смысл определенияб/б(б/ м) последовательности, если в определении вместо неравенства |x_n| >E(|_n| < )написать неравенство |x_n|>kE(|_n| < k),гдеk> 0 – фиксированное число?

8)Почему теорему 2 достаточно доказать для двух слагаемых?

9) Почему в доказательстве теоремы 2n₀=max{n₁,n₂}?

10)Какие последовательности удовлетворяют условию:n₀:> 0 иn>n₀ |_n| < ?

11)Пусть в окрестности точки 0 лежит бесконечно много членов последовательности {_n}. Будет ли {_n}: а)б/ м? б) ограниченной?

12)Что можно сказать о сумме двухб/бпоследовательностей?

13)Пусть {_n + _n} -б/ мпоследовательность. Что можно сказать о последовательностях {_n} и {_n}?

14)Докажите, что последовательность-б/ м.

15)Докажите, что последовательность {n²– 9n– 100} -б/би найдите ее наименьший член.