Математический анализ - лекции / 3. Предел функции. Сравнение функций / Сравнение функций
.doc§ 7. Сравнение функций.
п. 1. О – символика.
Определение 1. Если для двух функций f и g существуют такие постоянные C > 0 и > 0, что |f(x)| C|g(x)| при 0 < |x – x0| < , то говорят, что функция f является ограниченной по сравнению с функцией g в некоторой проколотой окрестности точки x0 и пишут f(x) = O при x x0.
Символ x x0 указывает здесь только на то, что рассматриваемое свойство имеет место в некоторой проколотой окрестности , а не о пределе. Естественным образом это определение переносится на случаи x ().
Вставка 1.
Определение 2. Если f(x) = O и g(x) = Oпри x x0, то f и g называются функциями одного порядка при x x0.
Вставка 2.
Теорема 1. Если , то они одного порядка при x x0.
Доказательство. В самом деле, условие эквивалентно условиям
и , где . Следовательно, в некоторой проколотой окрестности точки x0. Отсюда следует, что в указанной окрестности выполняются неравенства и , т.е. f (x) = O и g(x) = Oпри x x0.
Вставка 3.
Определение 3. Если (х) = (х)f(x), где , то говорят, что является б/ м функцией по сравнению с функцией f при x x0, и пишут (х) = о (x x0).
Если f(x) 0 в некоторой , то данное определение можно переписать в виде соотношения . Таким образом, функция опри x x0 (f(x) 0) может быть определена с помощью соотношения .
В случае, если функция f является б/ м при x x0, то говорят, что функция (х) = о (x x0) является б/ м более высокого порядка, чем функция f при x x0.
Вставка 4.
Отметим, что если при x x0, то при x x0. В самом деле, пусть , где . Поскольку функция ограничена в некоторой (| (x)| c), то |f(x)| c |g(x)| в этой , что и означает, что (x x0).
п. 2. Эквивалентные функции.
Определение 4. Две функции f и g называются эквивалентными при x x0, если в некоторой определена функция такая, что
f(x) = (х)g(x), где . (1)
В этом случае будем писать f(x) g(x) при x x0 (или x x0).
Вставка 5.
Отметим некоторые эквивалентные функции, которые следуют из предыдущего параграфа: при x 0 верно:
sin x x, tg x x, arcsin x x, arctg x x, 1 - cosx , ax – 1 xlna (a > 0), ln(1 + x) x , .
Теорема 2. Для того, чтобы функции f и g были эквивалентными при x x0, необходимо и достаточно, чтобы при x x0 выполнялось хотя бы одно из условий
f(x) = g(x) + o или g(x) = f(x) + o.
Доказательство. 1. Необходимость. Пусть f(x) g(x) при x x0, т.е. f(x) = (х)g(x), где . Тогда f(x) = g(x) + [(х) – 1]g(x) = g(x) + (x)g(x), причем (x) = (х) – 1 0 при x x0.
2. Достаточность. Пусть, например, при x x0 имеет место соотношение f(x) = g(x) + o, т.е. f(x) = g(x) + (x)g(x), где . Тогда f(x) = (1 + (x))g(x) = (х)g(x), где , т.е. f(x) g(x) при x x0.
Вставка 6.
п. 3. Метод выделения главной части.
Определение 5. Пусть и - две функции, определенные в некоторой . Если при x x0 (х) = (х) + о, то функция называется главной частью функции .
Аналогичным образом вводятся понятия главной части для случаев: x x0 -, x x0 +, x , x +, x - .
Из теоремы 2 следует, что если f(x) g(x) при x x0, то g - главная часть функции f, f - главная часть функции g при x x0.
Вставка 7.
Вопросы и упражнения.
-
Что означает запись: f(x) = O(1) при x x0?
-
Пусть при x x0. Следует ли отсюда, что f(x) = g(x)?
-
Показать, что + = при x x0.
-
Что означает запись: (х) = о(1) при x x0?
-
Пусть 1(х) = о(), 2(х) = о() при x x0. Следует ли отсюда, что 1(х) = 2(х)?
-
Доказать следующие свойства «о – малого» при x x0:
а) о() о() = о(); б) о(с) = о() с 0; в) n N;
г) n о() = о(n+1) n N; д) n N, n 2; е) ;
ж) = о() и = о(); з) - = о() и - = о();
и) o(c1 + c22 + ...+ cnn) = о().
7) Доказать, что если (х) 1(х), (х) 1(х) при x x0, то либо
, либо оба предела не существуют.
8) Вычислить пределы: а) , б) , в) .
9) Сравнить пары б/ м функций: а) и (х) = х при х 0;
б) и (х) = (х – 1)2 при х 1;
в) и при х .
10) Записать асимптотические формулы для функций: а) ln(1 + x + sin x) при х 0;
б) cos lnx при х 1.
§ 8. Предел функции по базе.
Во всех определениях предела функции f в точке х0 (по Коши) требуется, чтобы > 0 = () > 0 , где . При этом множества имеют разный вид при различных х0 (х0 – конечная или бесконечная точка). Если рассматривать еще односторонние пределы, то вместо окрестности нужно брать только ее часть.
Таким образом, если условимся в едином обозначении, как проколотой окрестности, так и ее части (левой или правой полуокрестности) конечной или бесконечной точки, то можно сформулировать единое определение предела функции в точке.
Пусть есть или , или полуокрестность окрестности , где х0 – конечная или бесконечная точка, и пусть . Ясно, что для возможности дать определение предела функции в точке х0 нужно предполагать, что и пересечение двух любых множеств совокупности {} представляет собой некоторое множество той же совокупности.
Определение 1. Будем говорить, что бесконечная совокупность В ={} подмножеств множества Df образует базу или базис фильтра множества Df, если для элементов этой совокупности выполнены два требования: 1) каждый ; 2) в пересечение двух любых множеств совокупности {} обязательно содержится некоторый элемент этой же совокупности.
Ясно, что база множества Df представляет собой более широкое понятие, чем множества, участвующие в определении предела ранее, т.к. не обязательно и пересечение двух любых множеств и лишь содержит в себе (а не совпадает) третье множество . Однако ранее рассматриваемые множества , точнее, их совокупность, представляет собой базу множества Df, которые обозначали символами х х0, х х0-, х х0+, где х0 – конечная или бесконечная точка. Если Df = N, то например, есть база множества {n}, которую обозначали символом n и которая участвует в определении предела последовательности.
Пусть f задана на Df и В ={} – база множества Df.
Определение 2. Число а называется пределом функции f по базе В множества ее задания Df, если > 0 B: f() O(a).
Этот факт символически записывается так: .
Легко проверить, что определение предела функции по базе содержит в себе как частные случаи все виды пределов, рассмотренных ранее. Также легко убедиться, что для определения предела функции по базе остаются верными все основные свойства предела, отвечающие, например, базе х х0. Например,
Критерий Коши. Для существования предела функции f по базе В, необходимо и достаточно, чтобы > 0 B, образ которого f() содержится в некотором интервале длины 2.
Определение 3. Базы В и множества Df называются эквивалентными, если : и : . Совокупность всевозможных эквивалентных между собой баз В множества Df называется фильтром множества Df.
Нетрудно убедиться, что утверждения о пределах функции по эквивалентным базам В и справедливы одновременно.
Определение предела функции по фильтру было дано А. Картаном в 1937 году.
Вопросы и упражнения.
-
Из каких элементов состоят базы: а) х х0, б) х ?
-
Докажите, что для определения предела по базе верны теоремы о пределе суммы, произведения, частного двух функций.