Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
46
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
1.16 Mб
Скачать

Глава III. Предел функции. § 1. Функция, виды функций.

Понятие функциональной зависимости является фундаментальным не только для математики. На нем построено изучение различных технологических процессов и природных явлений.

п.1. Определение1. ПустьXиY– два множества произвольной природы. ЕслихХпо некоторому законуfпоставлен в соответствие единственный элементyY, то говорят, что на множествеХзаданаоднозначная функция (или просто,функция).

В этом случае множество Хназываетсяобластью определения функции; символхаргументомфункции илинезависимой переменной; элементy, соответствующий аргументух, -значением функции в точкех,илизависимой переменной; множество всехy, принимаемых функцией на множествеХ, называетсямножеством значений функцииf.

В дальнейшем область определения функции fбудем обозначать символомDf, а область значений –Ef.

Таким образом, чтобы задать функцию, надо задать ее область определения Dfи закон соответствияf,по которому определяется элементyY. Поэтому две функцииf1 иf2считаютсяравными, еслиихDf1(х) =f2(х).

Вставка 1.

В зависимости от природы множеств XиYтермин «функция» в различных разделах математики заменяется терминами: «отображение», «преобразование», «морфизм», «оператор», «функционал». «Отображение» - наиболее распространенный из них, и мы его также будем употреблять.

Если X,YR, то функцияfназываетсявещественнозначной функцией одноговещественного переменного. Поскольку именно их мы и будем рассматривать, то будем использовать термин «функция».

Для функции (отображения) используются следующие обозначения: y=f(x), если известноDf;.

п. 2.Определение2. ЕслиЕDf, то множествоf(E) = {yEf |y=f(x),x E} называетсяобразоммножестваЕ;Ев этом случае называетсяпрообразоммножестваf(E); множествоЕ1= {х Df |f(x)f(E) } называетсяполным прообразом множестваf(E); еслиЕDf, то функцияfрассматриваемая только наЕ, называетсясужениемфункцииf на множествоЕ.

Вставка 2.

п. 3. Определение 3. ЕслиEf = Eg = E,ER, исR, то положим:

(cf)(x) =cf(x); (f g)(x) =f(x)g(x); (fg)(x) =f(x)g(x);.

п. 4. Определение 4. Пусть задана функцияf,Df иEf– ее области определения и значений соответственно. Пусть, далее, полный прообраз каждого элементаyEf состоит из одного элементах Df(т.е.f(x) =y). Тогда, ставя в соответствие каждомуyEf именно этох Df, получим новую функциюg:EfDf, которая называетсяобратнойпо отношению к функцииfи обозначается символомf-1(y).

Функции y=f(x) их=f-1(y) называютсявзаимно обратными.

Вставка 3.

п. 5.Определение5 (сравните с определением 1,§1, гл.II). ЕслиDf=N,aEfR, то функцияfназываетсявещественнозначной последовательностью.

п. 6.Основной способ задания функции –аналитический, т.е. с помощью одной или несколько формул. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход. При этом, если не указана область определения, то под ней понимают область допустимых значений, т.е. во-первых, указанная формула имеет смысл и, во-вторых, в процессе проведения всех необходимых вычислений по этой формуле получаются только вещественные числа.

Вставка 4.

п. 7.Определение6. Пусть заданы две функцииy = f(x) иz=F(y), причемEfDF. ТогдахDfсоответствуетzпо правилуz=F(y), гдеy=f(x). Эта функция, определяемая соответствиемz=(x) =F(f(x)), называетсясложнойфункцией илисуперпозициейфункцийfиF. Используется обозначениеFf.

Можно говорить о суперпозиции любого конечного числа функций, если она имеет смысл.

Вставка 5.

п. 8. Определение7. Функции:постоянная y = C,C– константа,степенная у = х,показательная у = ах,логарифмическаяy=logax,тригонометрическиеy=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgxи обратные тригонометрическиеy=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgxназываютсяосновными элементарными функциями.

Всякая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций, называется элементарной.

Вставка 6.

п. 9.Определение 8.Графикомфункцииy=f(x) (х,у R) называется множество точек на плоскости с координатами (x,f(x)),xDf.

Графическое изображение функции может быть использовано для задания функциональной зависимости. Такой способ задания функции называется графическим. Конечно, это задание приближенное, поскольку измерение отрезков можно производить лишь с определенной степенью точности.

п. 10.Часто используется табличный способ задания функции: логарифмические таблицы, таблицы тригонометрических функций, таблицы специальных функций.

Вопросы и упражнения.

1)Пустьf:XY. Покажите, что еслиАХ,ВХ, то:

а) (AВ)  (f(A)  f(B)); б) (А  )  (f(A)  );

в) f(AB)  (f(A)  f(B)); г) f(AB) (f(A)  f(B)).

2)НайтиDfдля.

3)Совпадают ли функции:

а)y=lgx4иy = 4lgx;б)у = х иу=;в)y=lgx3иy= 3lgx?

4)Пустьу=Е(х) = [x] (целая частьх). НайтиЕ(- 1),Е(- ½),E(3/4),E() и построить ее график.

5)Пустьf(x) =x2иЕ= [- 1; 2]. Найтиf(E).

6) Пусть f(x) + f(y) = f(z). Определитьz, еслиf(x) = 1/x.

7)Найтиf(x), если(x> 0).

8)Показать, что |x| =xsgnx.

9)Доказать, что всякую функциюf,определенную в интервале (-l;l), можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

10)Найти период функции ДирихлеD(x).

11)Верно ли равенство?

12)Показать, что для взаимно обратных функций справедливы соотношения:

.

13)Пустьf(x)=х3+ 2х,) =х2– 2. Найти.

14)Представить сложную функциюв виде суперпозиции основных элементарных функций.