Глава III. Предел функции. § 1. Функция, виды функций.
Понятие функциональной зависимости является фундаментальным не только для математики. На нем построено изучение различных технологических процессов и природных явлений.
п.1. Определение1. ПустьXиY– два множества произвольной природы. ЕслихХпо некоторому законуfпоставлен в соответствие единственный элементyY, то говорят, что на множествеХзаданаоднозначная функция (или просто,функция).
В этом случае множество Хназываетсяобластью определения функции; символх–аргументомфункции илинезависимой переменной; элементy, соответствующий аргументух, -значением функции в точкех,илизависимой переменной; множество всехy, принимаемых функцией на множествеХ, называетсямножеством значений функцииf.
В дальнейшем область определения функции fбудем обозначать символомDf, а область значений –Ef.
Таким образом, чтобы задать функцию, надо задать ее область определения Dfи закон соответствияf,по которому определяется элементyY. Поэтому две функцииf1 иf2считаютсяравными, еслиихDf1(х) =f2(х).
Вставка 1.
В зависимости от природы множеств XиYтермин «функция» в различных разделах математики заменяется терминами: «отображение», «преобразование», «морфизм», «оператор», «функционал». «Отображение» - наиболее распространенный из них, и мы его также будем употреблять.
Если X,YR, то функцияfназываетсявещественнозначной функцией одноговещественного переменного. Поскольку именно их мы и будем рассматривать, то будем использовать термин «функция».
Для функции (отображения) используются следующие обозначения: y=f(x), если известноDf;.
п. 2.Определение2. ЕслиЕDf, то множествоf(E) = {yEf |y=f(x),x E} называетсяобразоммножестваЕ;Ев этом случае называетсяпрообразоммножестваf(E); множествоЕ1= {х Df |f(x)f(E) } называетсяполным прообразом множестваf(E); еслиЕDf, то функцияfрассматриваемая только наЕ, называетсясужениемфункцииf на множествоЕ.
Вставка 2.
п. 3. Определение 3. ЕслиEf = Eg = E,ER, исR, то положим:
(cf)(x) =cf(x); (f g)(x) =f(x)g(x); (fg)(x) =f(x)g(x);.
п. 4. Определение 4. Пусть задана функцияf,Df иEf– ее области определения и значений соответственно. Пусть, далее, полный прообраз каждого элементаyEf состоит из одного элементах Df(т.е.f(x) =y). Тогда, ставя в соответствие каждомуyEf именно этох Df, получим новую функциюg:EfDf, которая называетсяобратнойпо отношению к функцииfи обозначается символомf-1(y).
Функции y=f(x) их=f-1(y) называютсявзаимно обратными.
Вставка 3.
п. 5.Определение5 (сравните с определением 1,§1, гл.II). ЕслиDf=N,aEfR, то функцияfназываетсявещественнозначной последовательностью.
п. 6.Основной способ задания функции –аналитический, т.е. с помощью одной или несколько формул. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций, алгебраические действия и предельный переход. При этом, если не указана область определения, то под ней понимают область допустимых значений, т.е. во-первых, указанная формула имеет смысл и, во-вторых, в процессе проведения всех необходимых вычислений по этой формуле получаются только вещественные числа.
Вставка 4.
п. 7.Определение6. Пусть заданы две функцииy = f(x) иz=F(y), причемEfDF. ТогдахDfсоответствуетzпо правилуz=F(y), гдеy=f(x). Эта функция, определяемая соответствиемz=(x) =F(f(x)), называетсясложнойфункцией илисуперпозициейфункцийfиF. Используется обозначениеF◦f.
Можно говорить о суперпозиции любого конечного числа функций, если она имеет смысл.
Вставка 5.
п. 8. Определение7. Функции:постоянная y = C,C– константа,степенная у = х,показательная у = ах,логарифмическаяy=logax,тригонометрическиеy=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgxи обратные тригонометрическиеy=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgxназываютсяосновными элементарными функциями.
Всякая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и суперпозиций, называется элементарной.
Вставка 6.
п. 9.Определение 8.Графикомфункцииy=f(x) (х,у R) называется множество точек на плоскости с координатами (x,f(x)),xDf.
Графическое изображение функции может быть использовано для задания функциональной зависимости. Такой способ задания функции называется графическим. Конечно, это задание приближенное, поскольку измерение отрезков можно производить лишь с определенной степенью точности.
п. 10.Часто используется табличный способ задания функции: логарифмические таблицы, таблицы тригонометрических функций, таблицы специальных функций.
Вопросы и упражнения.
1)Пустьf:XY. Покажите, что еслиАХ,ВХ, то:
а) (A В) (f(A) f(B)); б) (А ) (f(A) );
в) f(AB) (f(A) f(B)); г) f(AB) (f(A) f(B)).
2)НайтиDfдля.
3)Совпадают ли функции:
а)y=lgx4иy = 4lgx;б)у = х иу=;в)y=lgx3иy= 3lgx?
4)Пустьу=Е(х) = [x] (целая частьх). НайтиЕ(- 1),Е(- ½),E(3/4),E() и построить ее график.
5)Пустьf(x) =x2иЕ= [- 1; 2]. Найтиf(E).
6) Пусть f(x) + f(y) = f(z). Определитьz, еслиf(x) = 1/x.
7)Найтиf(x), если(x> 0).
8)Показать, что |x| =xsgnx.
9)Доказать, что всякую функциюf,определенную в интервале (-l;l), можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.
10)Найти период функции ДирихлеD(x).
11)Верно ли равенство?
12)Показать, что для взаимно обратных функций справедливы соотношения:
.
13)Пустьf(x)=х3+ 2х,(х) =х2– 2. Найти.
14)Представить сложную функциюв виде суперпозиции основных элементарных функций.