ГОС / 45
.doc45. Колебания кристаллической решетки.
3.1. Колебания одномерной цепочки упруго-связанных атомов. Закон дисперсии. Фазовая скорость упругих волн.
Рассмотрим цепочку из одинаковых атомов с массами , между которыми действуют упругие силы (рис.6).
Б удем учитывать только взаимодействие соседних атомов. Крестиками на рисунке обозначены равновесные (идеальные) расположения атомов: , , - отклонения соответствующих атомов от равновесных положений.
Силы упругости между атомами возникают при изменении расстояний между ними, поэтому сила, действующая на n атом со стороны n+1, может быть записана (закон Гука)
=-(-)
и аналогично для силы, действующей на n атом со стороны n-1 имеем
=-(-),
где -коэффициент упругости, то есть силы пропорциональны изменению расстояний между атомами. Рассматривая задачу классически, запишем второй закон Ньютона для атома n узла
или
(3.1)
Решение (3.1) можно искать в виде бегущей по цепочке монохроматической волны
= (3.2)
Подставляя (3.2) в (3.1), получим
-=-()
или
=()
По формуле Эйлера
следовательно, (3.3)
Выражение (3.2) является решением (3.1), если удовлетворяется условие (3.3), то есть
(3.4)
Проанализируем смысл решения (3.2) и соотношения (3.4). Величина na дает координату равновесного расположения n атома. Если вместо na писать x, то выражение
(3.5)
о писывает плоскую монохроматическую волну, бегущую в направлении оси x, где Α-амплитуда волны, q-волновое число , - частота волны. Фазовая скорость волны определяется выражением vф, групповая скорость vгр. В отличие от (3.5), описывающего волну в непрерывной среде (координата x имеет любое значение), выражение (3.2) описывает волну в дискретной среде. Однако и в данном случае можно ввести понятие волнового числа, частоты, фазовой и групповой скоростей. Соотношение (3.4) устанавливает связь между частотой и волновым числом (длиной волны) упругой волны в цепочке атомов и оно носит название закона дисперсии. Задавая волновое число с помощью закона дисперсии (3.4) можно определить частоту волны и восстановить решение (3.2). Поскольку волны в кристалле с волновыми числами, отличающимися на тождественны (это непосредственно видно из (3.2) и (3.4)), то как и для электронов закон дисперсии можно рассматривать только в пределах первой зоны Бриллюэна, то есть от до (рис. )
=-предельная частота упругих волн цепочки атомов. При малых значениях q (длинные волны), когда , и частота пропорциональна волновому числу =
При этом фазовая скорость равна групповой vф = vгр = (3.6)
Скорость продольных упругих волн, следовательно, пропорциональна корню квадратному из отношения модуля упругости к массе атома в цепочке.