ГОС / 23
.doc22. Закон сохранения энергии для системы зарядов и электромагнитного поля в вакууме. Плотность энергии и плотность потока энергии электромагнитного поля. Понятие об импульсе поля.
Рассмотрим в пространстве некоторый объем V, окруженный замкнутой поверхностью, в котором находятся заряды. Пусть эти заряды распределены с постоянной объемной плотностью ρ 0 и движутся ( 0).
Тогда эти заряды создают вокруг себя электромагнитное поле. Это поле производит работу по изменению состояния зарядов. Вычислим элементарную работу с точки зрения механики.
,
С другой стороны:
- мощность силы в единице объема
- мощность силы в элементе объема dV.
(7.1) – другое выражение для мощности.
N- мощность силы или работа, производимая электромагнитным полем по изменению состояния зарядов в единицу времени.
Вычислим эту мощность, воспользовавшись выражением для плотности силы
Рассмотрим второй интеграл отдельно:
, , ,
Физически это значит, что магнитное поле работу над зарядами не совершает, следовательно работу совершает только электрическое поле.
(7.2)
(7.3)
Воспользуемся III уравнением Максвелла и выразим .
III ;
.
Подставим в выражение для мощности:
={; } = =
= { II уравнение Максвелла } = =
= { ; }= =
= { }=
(7.4)
Производная зависит от времени, интеграл берется по координатам, следовательно, их можно поменять местами, тогда
(7.4’)
Устремим объем V к бесконечности, то есть рассмотрим все бесконечное пространство:
V; , 0.
Отсюда:
(7.5)
N- это работа электромагнитного поля по изменению состояния зарядов в единицу времени. А если меняется состояние зарядов, то меняется энергия электромагнитного поля, следовательно, можно сказать, что N- изменение энергии электромагнитного поля в единицу времени.
В выражении (7.5) (7.6)
(7.6) - энергия электромагнитного поля. Тогда выражение (7.5) говорит о том, что работа над зарядами совершается за счет убыли энергии электромагнитного поля.
Энергия электромагнитного поля в единице объема – плотность энергии w
(7.6’)
Рассмотрим конечный объем.
(7.7) – вектор Умова-Пойнтинга.
(7.8)
N - работа, совершаемая над зарядами в единицу времени.
- убыль энергии электромагнитного поля в объеме V за единицу времени.
- убыль энергии электромагнитного поля, а именно, количество энергии поля, вытекшее в единицу времени через замкнутую поверхность, ограничивающую объем, где есть заряды.
Скалярное произведение - количество энергии, вытекшее в единицу времени через единичную площадку с нормалью .
Сам вектор - вектор плотности потока энергии, указывающий направление распространения электромагнитного поля.
С учетом обозначений: (7.9) - данное выражение представляет собой закон сохранения энергии электромагнитного поля: убыль энергии электромагнитного поля идет на совершение работы над зарядами и на вытекание энергии через поверхность, ограничивающую объем, где есть заряды.
Пусть заряды распределены равномерно с объемной плотностью ρ и движутся со скоростью . Такие заряды создают вокруг себя электромагнитное поле. Электромагнитное поле действует на эти заряды с силой, которая согласно второму закону Ньютона () равна скорости изменения импульса заряженных частиц ()
(3.1)
С другой стороны
Воспользуемся выражением для плотности силы
(3.2)
Проделав выкладки предыдущего §2, можно получить закон сохранения импульса. Устремляя объем к бесконечности , (3.3)
В левой части стоит скорость изменения импульса заряженных частиц. Значит, правая часть имеет размерность скорости изменения импульса. Следовательно, интеграл, который стоит под знаком производной, имеет размерность импульса и называется импульсом электромагнитного поля и обозначается
(3.4) (3.5)
Скорость изменения импульса заряженных частиц равна скорости изменения импульса электромагнитного поля, взятого с противоположным знаком.
Перенесем правую часть влево, производные объединим
(3.6)
Получили закон сохранения импульса:
Полный импульс частиц электромагнитного поля сохраняется во времени. Импульс электромагнитного поля в единице объема называется плотностью импульса (3.7)
Плотность импульса электромагнитного поля отлична от нуля, если вектора и не равны нулю. А так же, если вектора и не параллельны. При этом говорят, что поле несет в себе движение.
Т.к. вектор Умова-Пойнтинга , то (3.8)
Если имеет место плотность потока энергии электромагнитного поля в пространстве, то электромагнитное поле обладает плотностью импульса, то есть несет в себе движение.
Плотность импульса и плотность энергии отличны от нуля в электромагнитном поле. В электростатическом поле эти вектора равны нулю (=0). В магнитостатическом поле не равно нулю, но энергия циркулирует вокруг зарядов и токов. И в переменном электромагнитном поле эти вектора не равны нулю, и при этом энергия и импульс могут отрываться от зарядов и токов.