ГОС / 26
.doc26. Волновое движение. Интерференция и дифракция волн. Бегущие и стоячие волны. Энергия волны. Звуковые волны.
Волнами называются возмущения, распространяющиеся в среде (или в вакууме) и несущие с собой энергию. Характерное свойство волн состоит в том, что перенос энергии волной осуществляется без переноса вещества. Основными видами волн являются упругие (звуковые и сейсмические) волны, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны (световые и радиоволны).
В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.
рис. 1 движение частиц при распространении в среде поперечной волны.
рис. 2. движение частицы при распространении в среде продольной волны.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости, сферы или цилиндра. Соответственно волна в этих случаях называется плоской, сферической или цилиндрической.
Рис. 1.4
Расстояние λ, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны.
где v — скорость волны, Т — период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π (рис. 1.4).
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию её координат x, y, z и времени t: .
Эта функция должна быть периодической как относительно времени, так и относительно координат. Найдем вид функции в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение будет зависеть только от х и t: . Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис.), имеют вид . Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время τ = x/v (v — скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х = 0, т. е. будут иметь вид
.
Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:
(1.4)
Величина а представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны α определяется выбором начал отсчета x и t. Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (1.4), положив (1.5)
Это выражение определяет связь между временем t и тем местом х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (1.5), получим
(1.6) Таким образом, скорость распространения волны v в уравнении (1.4) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем ее называют фазовой скоростью.
Согласно (1.6) dx/dt > 0. Следовательно, уравнение (1.4) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением
(1.7)
Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно х и t вид. Для этого введем величину (1.8) Тогда уравнение волны можно переписать так: (1.9)
Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания х, отличается от (1.9) только знаком при члене кх. При выводе формулы (1.9) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от х. Соответственно уравнение плоской волны с учетом этой зависимости имеет следующий вид:
(1.10) ( — амплитуда в точках плоскости х = 0).
Уравнение плоской волны, распространяющейся в производном направлении, образующем с осями координат x, y, z углы α, β, γ:
где – волновой вектор, – радиус вектор; или:
,
где , , .
Стоячие волны – волны, возникающие вследствие интерференции волн, распространяющихся во взаимно противоположных направлениях. Практически С. в. возникают при отражениях волн от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на прямую. Различные участки С. в. колеблются в одной и той же фазе, но с различной амплитудой. В С. в., в отличие от бегущей, не происходит течения энергии. Такие волны возникают, например, в упругой системе - стержне или столбе воздуха, находящегося внутри трубы, закрытой с одного конца, при колебаниях поршня в трубе. Бегущие волны отражаются от границ системы, и в результате наложения падающих и отражённых волн в системе устанавливаются С. в. При этом по длине воздушного столба образуются т. н. узлы смещений (скоростей) - плоскости, перпендикулярные к оси столба, на которых смещения частиц воздуха отсутствуют, а амплитуды давлений максимальны, и пучности смещений - плоскости, на которых смещения максимальны, а давления равны нулю. Узлы и пучности смещений располагаются в трубе на расстояниях четверти длины волны, причём у твёрдой стенки образуются всегда узел смещений и пучность давлений. Во всяком объёме, имеющем определённые границы и источник звука, образуются С. в., но более сложной структуры.
Падающая волна: , отраженная: .
складываем: –
уравнение стоячей волны. Выбираем начало отсчета x и t так, чтобы выполнялось:
,
Координаты узлов (min):
Координаты пучностей (max):
Волновое уравнение и его решение.
Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции
,описывающей плоскую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим:
Сложение производных по координатам дает
Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив на 1/v2, получим уравнение
Это и есть волновое можно записать в виде
где Δ — оператор Лапласа.
Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворяет не только функция
, но и любая функция вида
Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части, через ζ, имеем
Аналогично
Подстановка последних двух выражений в волновое уравнение приводит к выводу, что функция
удовлетворяет волновому уравнению, если положить v = ω/k.
Всякая функция, удовлетворяющая волновому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при , дает фазовую скорость этой волны.
Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид
Энергия упругой волны
Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна
Выделим в среде элементарный объем ΔV, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными соответственно дξ/дt и дξ/дх.
Выделенный нами объем обладает кинетической энергией
(ρ ΔV — масса объема, дξ/дt — его скорость).
Рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации
(ε = дξ/дх — относительное удлинение цилиндра, Е — модуль Юнга среды). Заменим модуль Юнга на ρv2 (ρ — плотность среды, v — фазовая скорость волны). Тогда выражение для потенциальной энергии объема ΔV примет вид
Сумма даёт полную энергию
Разделив эту энергию на объем ΔV, в котором она содержится, получим плотность энергии
Дифференцирование уравнения один раз по t, другой раз по х дает
Подставив эти выражения в формулу для ω и приняв во внимание, что k2v2 = ω2, получим
В случае поперечной волны для плотности энергии получается такое же выражение.
Из предыдущего выражения следует, что плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В одной и той же точке плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Соответственно среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды равно
Плотность энергии и ее среднее значение пропорциональны плотности среды ρ, квадрату частоты ω и квадрату амплитуды волны а. Подобная зависимость имеет место не только для незатухающей плоской волны, но и для других видов волн (плоской затухающей, сферической и т. д.).
Итак, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. Эта энергия доставляется от источника колебаний в различные точки среды самой волной; следовательно, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Если через данную поверхность переносится за время dt энергия dW, то поток энергии Ф равен
Поток энергии — скалярная величина, размерность которой равна размерности энергии, деленной на размерность времени, т. е. совпадает с размерностью мощности. В соответствии с этим Ф измеряется в ваттах, эргах в секунду и т. п.
Поток энергии в разных точках среды может быть различной интенсивности. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии . Эта величина численно равна потоку энергии через единичную площадку, помещенную в данной точке перпендикулярно к направлению, в котором переносится энергия. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии.
Пусть через площадку , перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Δt энергия ΔW. Тогда плотность потока энергии равна
Через площадку (рис.) будет перенесена за время Δt энергия ΔW, заключенная в объеме цилиндра с основанием и высотой vΔt (v — фазовая скорость волны). Если размеры цилиндра достаточно малы (за счет малости и Δt) для того, чтобы плотность энергии во всех точках цилиндра можно было считать одинаковой, то ΔW можно найти как произведение плотности энергии w на объем цилиндра, равный vΔt:
Подставив это выражение в формулу для j, получим для плотности потока энергии
Наконец, введя вектор v, модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии), можно написать
Мы получили выражение для вектора плотности потока энергии. Этот вектор был введен в рассмотрение Умовым и называется вектором Умова (Пойтинга). Вектор j, как и
плотность энергии Е, различен в разных точках пространства, а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Его среднее значение равно
Это выражение, так же справедливо для волны любого вида (сферической, затухающей и т. д.). Отметим, что, когда говорят об интенсивности волны в данной точке, имеют в виду среднее по времени значение плотности потока энергии, переносимой волной.
Зная j во всех точках произвольной поверхности S, можно вычислить поток энергии через эту поверхность. С этой целью разобьем поверхность на элементарные участки dS. За время dt через площадку dS пройдет энергия dW, заключенная в изображенном на рис. косом цилиндре. Объем этого цилиндра равен dV = vdt dS cos φ. В нем содержится энергия dW = w dV = wv dt dS cos φ (w — мгновенное значение плотности энергии в том месте, где расположена площадка dS). Приняв во внимание, что
(dS = ndS; см.рис.), можно написать dW = jdSdt. Отсюда для потока энергии dФ через площадку dS получается формула
Полный поток энергии через поверхность равен сумме элементарных потоков:
Поток энергии равен потоку вектора j через поверхность S.
Заменив вектор j его средним по времени значением, получим среднее значение Ф:
Вычислим среднее значение потока энергии через произвольную волновую поверхность незатухающей сферической волны. В каждой точке этой поверхности векторы j и dS совпадают по направлению. Кроме того, модуль вектора j для всех точек поверхности одинаков. Следовательно,
(r — радиус волновой поверхности). ‹ j › = ρa2ω2v/2. Таким образом,
(аr — амплитуда волны на расстоянии r от источника).
Звук — колебательное движение частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн в газообразной, жидкой или твёрдой средах. Человек слышит З. с частотой от 16 гц до 20 000 гц. Физическое понятие о З. охватывает как слышимые, так и неслышимые звуки. З. с частотой ниже 16 гц называется инфразвуком, выше 20 000 гц — ультразвуком; самые высокочастотные упругие волны в диапазоне от 109 до 1012—1013 гц относят к гиперзвуку. Область инфразвуковых частот снизу практически не ограничена — в природе встречаются инфразвуковые колебания с частотой в десятые и сотые доли гц. Частотный диапазон гиперзвуковых волн сверху ограничивается физическими факторами, характеризующими атомное и молекулярное строение среды: длина упругой волны должна быть значительно больше длины свободного пробега молекул в газах и больше межатомных расстоянии в жидкостях и в твёрдых телах. Поэтому в воздухе не может распространяться гиперзвук с частотой 109 гц и выше, а в твёрдых телах — с частотой более 1012—1013 гц.
Основные характеристики звука. Важной характеристикой З. является его спектр, получаемый в результате разложения З. на простые гармонические колебания (т. н. частотный звука анализ). Спектр бывает сплошной, когда энергия звуковых колебаний непрерывно распределена в более или менее широкой области частот, и линейчатый, когда имеется совокупность дискретных (прерывных) частотных составляющих. З. со сплошным спектром воспринимается как шум, например шелест деревьев под ветром, звуки работающих механизмов. Линейчатым спектром с кратными частотами обладают музыкальные З.; основная частота определяет при этом воспринимаемую на слух высоту звука, а набор гармонических составляющих — тембр звука. В спектре З. речи имеются форманты — устойчивые группы частотных составляющих, соответствующие определённым фонетическим элементам. Энергетической характеристикой звуковых колебаний является интенсивность звука — энергия, переносимая звуковой волной через единицу поверхности, перпендикулярную направлению распространения волны, в единицу времени. Интенсивность З. зависит от амплитуды звукового давления, а также от свойств самой среды и от формы волны. Субъективной характеристикой З., связанной с его интенсивностью, является громкость звука, зависящая от частоты. Наибольшей чувствительностью человеческое ухо обладает в области частот 1—5 кгц. В этой области порог слышимости, т. е. интенсивность самых слабых слышимых звуков, по порядку величины равна 10-12вт/м2, а соответствующее звуковое давление — 10-5н/м2. Верхняя по интенсивности граница области воспринимаемых человеческим ухом З. характеризуется порогом болевого ощущения, слабо зависящим от частоты в слышимом диапазоне и равным примерно 1 вт/м2. В ультразвуковой технике достигаются значительно большие интенсивности (до 104 квт/м2).
Уровень громкости в децибелах (дБ): , где I0 – исходная интенсивность (принимается равной 10-12 Вт/м2)
Звуковая волна в газе представляет собой распространяющуюся в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разряжения газа.
Скорость звука в газе (выведена при учёте, что процесс распространения в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разряжения газа адиабатический): , М – масса одного моля.
Средняя скорость теплового движения молекул газа: .
Интерференция и дифракция упругих волн – сущность явления и способы практического осуществления.
Интерференция. При приходе в данную точку среды двух волн их действие складывается. Особо важное значение имеет наложение так называемых когерентных волн (т. е. волн, разность фаз которых постоянна, не меняется со временем). В случае когерентности волн имеет место явление, называемое интерференцией: в точках, куда обе волны приходят в фазе, они усиливают друг друга; в точках же, куда они попадают в противофазе, — ослабляют друг друга. В результате получается характерная интерференционная картина. Стоячие волны – волны, возникающие вследствие интерференции волн, распространяющихся во взаимно противоположных направлениях. Практически С. в. возникают при отражениях волн от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на прямую.
Падающая волна: , отраженная: .
складываем: –
уравнение стоячей волны.
Выбираем начало отсчета x и t так, чтобы выполнялось:
Координаты узлов (min):
Координаты пучностей (max):
Рис. Стоячая волна, возникшая в результате интерференции падающей и отраженной от препятствия АА волны; в точке а — узел колебания, в точках b — пучности.
Д
Рис. Образование
тени при падении волны: а — на непрозрачное
тело; б — на отверстие в непрозрачном
экране (d — paзмер тела или отверстия).
Дифракция имеет место также при прохождении волны через отверстие (рис.), где она также выражается в проникновении волны в область тени и в некотором изменении характера волны в «освещённой» области: чем меньше диаметр отверстия по сравнению с длиной волны, тем шире область, в которую проникает волна.
Рис. а — дифракция света от края экрана; виден сложный переход от света к тени; б — кривая, характеризующая освещенность пространства между светом и тенью; край экрана в точке О.