Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ГОС / 47.doc
Скачиваний:
67
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
1.99 Mб
Скачать

47. Зонная теория. Проводники и диэлектрики, полупроводники, х электрические и оптические свойства. Р – п переход.

Адиабатическое приближение Борна-Оппенгеймера.

Любое твердое тело состоит из атомов, каждый из которых содержит компактное ядро диаметром порядка и оболочку электронов, размер которой имеет порядок .

Состояние электронов внутренних заполненных оболочек атомов в твердых телах мало отличается от аналогичных состояний в свободных атомах. Эти электроны сильно связаны со своими ядрами и вместе с ними составляют заряженные атомные остовы (ионы), которые обычно не меняют своего внутреннего состояния при протекании большинства явлений в твердых телах. Электроны внешних оболочек (валентные электроны) в значительной мере модифицируют свое состояние в твердом теле по сравнению со свободным атомом и фактически определяют электрические, оптические и другие свойства твердых тел.

Важными являются два обстоятельства:

  1. Среднее равновесное положение каждого иона находится в определенной точке. Для кристаллических твердых тел эти точки представляют собой узлы кристаллической решетки.

  2. Типичные отклонения каждого иона от его положения равновесия малы по сравнению с расстоянием между ионами.

Первое предположение определяет наблюдаемое сохранение формы твердых тел (кристаллической структуры для кристаллов). Второе предполагается интуитивно выполняющимся при температурах много меньших температуры плавления, когда средняя кинетическая энергия хаотического колебательного движения ионов мала. Исключение составляют так называемые квантовые кристаллы с легкими ионами, у которых в силу соотношения неопределенностей отклонения от положений равновесия (неопределенности координаты) сравнимы со средним расстоянием между ионами.

Выделив в твердом теле систему ионов и валентных электронов, запишем для них уравнение Шредингера (1.1) , где в нерелятивистском приближении, в пренебрежении спином частиц - волновая функция системы,, - радиус-векторы i-го электрона и -го иона.

Оператор полной энергии в координатном представлении может быть записан в виде суммы слагаемых:

  1. Оператора кинетической энергии ионов

, где - масса -го иона (1.2)

  1. Оператора кинетической энергии электронов

(1.3)

  1. Потенциальной энергии взаимодействия ионов между собой

(1.4)

  1. Потенциальной энергии взаимодействия электронов и ионов

(1.5)

  1. Потенциальной энергии взаимодействия электронов между собой

(1.6)

Точное решение уравнения (1.1) позволило бы полностью описать состояние твердого тела и рассчитать его механические, электрические, оптические и другие свойства. Однако, ввиду большого числа переменных, входящих в (1.1) это решение невозможно, да и физический анализ полученных решений был бы едва ли понятен при анализе макроскопических явлений, протекающих в твердых телах. Для такого анализа важны простые модельные соображения, позволяющие разделить сложную систему на подсистемы из однородных по своим свойствам объектов (частиц) и затем свести многочастичную задачу по возможности к одночастичной. Ясно, что при таких разделениях возникают вопросы о взаимодействии объектов между собой в пределах данной подсистемы и между объектами разных подсистем. На данном пути сначала принимается адиабатическое приближение. Масса атомного остова значительно больше массы электрона, поэтому при равных средних кинетических энергиях

отношение среднеквадратичных значений скоростей ионов и электронов равно

(1.7)

Следовательно электроны представляют собой «быструю» подсистему, ионы – «медленную». Состояние электронов определяется мгновенным расположением остовов, ионы же движутся в некотором поле других ионов и усредненном поле электронов. Эти классические соображения подсказывают путь решения задачи. Волновую функцию, удовлетворяющую уравнению (1.1) можно искать в виде (1.8)

где и - волновые функции электронной и ионной подсистемы, соответственно. Основная идея представления волновой функции в виде произведения состоит в том, что при подстановке (1.8) в (1.1)

(1.9)

для разделения уравнений для подсистем пренебрегается членами, содержащими дифференцирование электронной функции по координатам ионов (члены неадиабатичности). Реализуя концепцию медленности движения остовов, в уравнении для электронной подсистемы координаты ионов превращаем в параметры, которые определяют энергию электронной подсистемы

(1.10)

Пренебрегая членами (с точностью )

(1.11)

получим уравнение для ионной подсистемы

(1.12)

Здесь играет роль эффективной потенциальной энергии ионной подсистемы, а собственные значения энергии уравнения (1.12) определяют энергетический спектр кристалла. При простейших предположениях о существовании экстремумов в эффективной потенциальной энергии (1.12) и движении ионов вблизи минимумов это уравнение сводится к точно решаемой системе уравнений для квантовых осцилляторов.

Электронная задача (1.10) значительно сложнее, содержит большое число переменных, и в силу наличия членов не может быть, строго говоря, разделена на одноэлектронные подзадачи.

Соседние файлы в папке ГОС