ГОС / 18

18. Магнитное поле. Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора индукции магнитного поля). Отсутствие магнитных зарядов. Уравнения Максвелла для постоянного магнитного поля в вакууме. Векторный потенциал.

В случае переменных токов линии вектора плотности тока не замкнуты, однако наличие в цепи конденсатора не является препятствием для протекания переменного тока, но и в этом случае в пространстве между обкладками конденсатора заряды двигаться не могут, но ток в цепи протекает, поэтому необходимо допустить, что между обкладками конденсатора происходит некоторый физический процесс, эквивалентный наличию тока проводимости. При этом говорят, что между обкладками конденсатора существует ток смещения, замыкающий ток проводимости.

Получим математическое выражение для тока смещения. Запишем уравнение непрерывности: divj+=0 (6.1)

Воспользуемся одним из уравнений Максвелла:divj= (6.2)

Выразим плотность заряда и подставим в уравнение непрерывности: divj+ (6.3)

Производная зависит от времени, а дивергенция зависит от координат, поэтому производную и дивергенцию можно поменять местами, при этом постоянную можно занести под знак дивергенции divj+div()=0 ()

Объединим дивергенции div(j+ )=0 (6.4)

Рассмотрим выражение, стоящее под знаком дивергенции: j+ (6.5)

Первое слагаемое представляет собой плотность тока - это есть плотность тока проводимости.

Так как второе слагаемое стоит под знаком дивергенции, по размерности представляет также плотность тока – эта величина и называется вектором плотности тока смещения.= (6.6)

Плотность тока смещения не вызвана реальным движением заряда и поэтому не приводит к нагреванию проводников, по своей физической природе плотность тока смещения не имеет ничего общего с плотностью тока проводимости. Плотность тока смещения пропорциональна первой производной вектора напряженности электрического поля по времени, то есть эта величина пропорциональна скорости изменения электрического поля в данной точке. Ток смещения сопровождается появлением точно такого же магнитного поля, которое возникает при наличии соответствующего ему по равенству тока проводимости - это явление дополняет связь между электрическими и магнитными явлениями, даваемую законом электромагнитной индукции.

Не только изменение магнитного поля всегда сопровождается возникновением электрического поля, но и наоборот, изменение во времени электрического поля всегда сопровождается возникновением магнитного поля. Согласно полученному выражению (6.4) дивергенция плотности полного тока равна нулю - это значит, что линии плотности полного тока не исчезают и не возникают из ничего, они либо замкнуты, либо уходят на бесконечность. Можно показать, что ток смещения внутри конденсатора равен току проводимости, текущего по проводам. Линии тока проводимости замыкаются линиями тока смещения

С током тесно связана другая часть электромагнитного поля, а именно, магнитное поле. В случае постоянных токов имеет место закон полного тока: циркуляция вектора индукции магнитного поля вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром умноженной на магнитную постоянную.

(6.7)

Но как правило, при вычислении циркуляции в качестве контура выбирается замкнутая силовая линия, по определению силовой линии вектора и будут сонаправлены. В качестве контура выберем силовую линию магнитного поля. Направление вектора индукции определяется по правилу буравчика или правого винта.

=

(j+ )(6.8)

(j+ ) (6.9) - одно из уравнений Максвелла

(j+ ) () - интегральное уравнение Максвелла, обобщение закона полного тока. Оно говорит о том, что изменяющееся во времени электрическое поле вместе с током проводимости порождает магнитное поле. Получим данное уравнение в дифференциальной форме, для этого воспользуемся теоремой Стокса:

Циркуляция некоторого вектора вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого вектора, натянутого на данный контур.

Циркуляция некоторого вектора вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого вектора, натянутого на данный контур. Из теоремы Стокса получим определение ротора: ротор численно равен циркуляции вектора вдоль замкнутого контура, натянутого на единичную поверхность.

(j+ ) (6.10) -j-) =0 () Интеграл равен нулю, область интегрирования бралась произвольно, следовательно, подынтегральное выражение равно нулю:

=+(6.11)- уравнение Максвелла в дифференциальной форме – это и есть обобщение закона полного тока в дифференциальной форме и говорит о том, что изменяющееся во времени электрическое поле порождает вихревое магнитное поле. Если ротор некоторого векторного поля равен нулю, то такое поле называется потенциальным, если же ротор некоторого векторного поля отличен от нуля, то такое поле называется вихревым. Магнитное поле - вихревое поле, так как ротор из (6.11) не равен нулю.

Закон Био-Савара-Лапласа.

Запишем III и IV уравнения Максвелла:

III: IV:

IV уравнение позволяет ввести в рассмотрение поле векторного потенциала , такого, что вектор индукции магнитного поля будет равен: (7.1)

Подставим (7.1) в III уравнение Максвелла:

Согласно дополнительному условию, . Домножим на : (7.4)

(7.4) выполняется как для и , так и для их проекций:

(7.5)

Видим, что (7.5) по виду совпадает с уравнением Пуассона в электростатике для .

* **

Поэтому уравнения (7.5) и (7.4) для векторного потенциала будут также называться уравнениями Пуассона для векторного потенциала и их решения можно также записать по аналогии со скалярным потенциалом.

Теперь, найдя из (7.7) векторный потенциал, мы подставим его в (7.1) и найдем вектор индукции и решим II задачу магнитостатики.

Можно находить вектор индукции магнитного поля, минуя процесс нахождения векторного потенциала. Для этого можно сразу векторный потенциал подставить в выражение для вектора индукции магнитного поля (7.1).