ГОС / 39

39. Уравнение Шредингера. Классическая механика как предельный случай квантовой. Принцип причинности в квантовой механике. Стационарное уравнение Шредингера и свойства стационарных состояний. Связь энергетического спектра с видом потенциала.

Квантовомеханический принцип причинности утверждает, что если известна волновая функция системы в начальный момент времени , то с помощью волнового уравнения (уравнение Шредингера) можно получить волновую функцию в последующий момент времени (t>0).

Из принципа причинности следует, что в квантовой механике нет понятия траектории, а определяется только в последующий момент времени. Зная волновую функцию, можем определить среднее значение физических величин.

Согласно принципу причинности в квантовой механике знание волновой функции в начальный момент времени должно определять состояние системы в последующий момент времени.

t=0: t>0:

Определим через промежуток времени , то есть в момент t>0(0).

2.1.

Уравнение 2.1. показывает, что знание волновой функции в момент t=0 должно определять и ее первую производную в момент t=0. То есть между самой функцией при t=0 и ее первой производной должно быть установлено некоторое соотношение. Это соотношение должно быть операторным:

2.2.

2.2. определяет соотношение между волновой функцией в момент времени t=0 и ее первой производной в этот же момент времени. Это соотношение дается через оператор, то есть является операторным. Оператор реализует принцип причинности. Оператор не может содержать первых, вторых и высших производных по времени. Первая производная по времени находится в левой части.

Если же оператор будет содержать вторые и высшие производные, то при определении волновой функции в момент времени t необходимо в момент времени t=0 задавать не только саму волновую функцию, но и ее производную, что противоречит принципу причинности.

2.2. мы записали для момента времени t=0, при этом момент времени выбирался произвольно. Следовательно, 2.2. мы записали для любого момента времени.

2.2'.

Рассмотрим свободную частицу:

2.3.

2.3. говорит о том, что в качестве оператора c точностью до множителя мы можем взять оператор полной энергии .

Тогда: 2.4.

2.4.- уравнение Шредингера для произвольных состояний, зависящих от времени.

2.4'.

Волна де Бройля описывается свободной частицей.

→

Приведенные результаты не доказывают, а показывают справедливость уравнения 2.4. или 2.4'. Данное уравнение в квантовой механике играет такую же роль, как законы Ньютона в классической механике. Оно не доказывается, а его справедливость следует из опыта. Наиболее употребимо уравнение Шредингера 2.4'.

2.5.

Состояние, не зависящее от времени, называется стационарным.

Запишем уравнение Шредингера для произвольных состояний:

(4.1)

(4.2)

Если является только функцией координат и не зависит от времени, то так же от времени не зависит.

Тогда уравнение Шредингера можно решать методом разделения переменных, т. е. волновую функцию можно представить:

(4.3)

(4.4)

(4.4')

(4.5)

Левая часть зависит только от времени, правая часть зависит только от координат. Эти части равны какой-то постоянной величине.

(4.5')

(4.6)

(4.6) представляет собой уравнение на собственные функции и собственные значения оператора .

Т. к. оператор полной энергии, то - собственные значения этого оператора. И это есть те значения полной энергии, которые определяются из эксперимента.

- собственные функции оператора полной энергии.

Физически уравнение (4.6) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.

(4.7)

(4.8)

(4.9)

Волновая функция (4.9) является решением стационарного уравнения Шредингера. Стационарность состоит в том, что ни плотность вероятности, ни вектор плотности тока вероятности, ни условие нормировки не зависят от времени.

(4.10)

– плотность вероятности не зависит от времени.

Вектор плотности тока вероятности не зависит от времени:

(4.11)

Условие нормировки так же не зависит от времени:

(4.12)

То, что волновая функция (4.9) есть волновая функция стационарного состояния (является решением стационарного уравнения Шредингера) при решении стационарных задач позволяет «забывать» о временной зависимости. В необходимых случаях (квантовые переходы) волновая функция легко восстанавливается умножением на функцию (4.8).

(5.1)

(5.2)

(5.3)

(5.4)

Уравнение (5.4) на собственные функции и собственные значения оператора полной энергии.

Волновая функция должна быть однозначной, т.е. однозначно определяться из данного уравнения. Также она должна быть непрерывной функцией координат.

Если потенциальная энергия не испытывает бесконечных скачков в какой-либо области пространства, то непрерывными должны быть и первые производные волновой функции.

Выясним, при каких условиях уравнение Шредингера имеет непрерывный спектр собственных значений, при каких - дискретный спектр и когда физических решений вообще нет.

Решить стационарное уравнение Шредингера – это значит найти собственные значения оператора полной энергии.

Рассмотрим первый случай.

Предположим, что на бесконечности потенциальная энергия обращается в ноль.

Тогда (5.5)

Решение (5.6)

координатная часть волны де Бройля.

>0 – кинетическая энергия свободной частицы.

Частицы, обладающие >0, могут уходить на бесконечность, т.е. движение таких частиц является инфинитным, или неограниченным.

Рассмотрим второй случай.

Потенциальная энергия >0, полная энергия <0.

Тогда (5.7)

Решение в виде волны де Бройля не существует.

Покажем это:

(5.7')

>0 <0

Левая часть уравнения положительная, правая часть отрицательная. Следовательно, решения в виде волны де Бройля не существует.

Математически решение уравнения Шредингера (5.7) есть. В одномерном случае это суперпозиция двух решений:

.

Однако физически данное решение является бессмысленным. Действительно, при , . А значит, плотность вероятности .

Т.е. вероятность обнаружить частицу в единице любого объема пространства бесконечно, что физически бессмысленно. Поэтому состояния с отрицательной энергией при положительной потенциальной энергии не существует.

Рассмотрим третий случай.

Пусть потенциальная энергия меньше нуля <0, полная энергия меньше нуля <0, но >. И пусть .

Уравнение запишем в виде: (5.8)

На данном отрезке решением уравнения будет волна де Бройля. Вне этого отрезка координатная волновая функция будет экспоненциально затухать. Данная волновая функция говорит о том, что частица, описываемая этой волновой функцией, локализована в некоторой потенциальной яме, причем на бесконечности волновая функция стремится к нолю.

Состояние, при котором частицы находятся в некоторой ограниченной области, называется финитным или ограниченным.

В точках и полная энергия равна потенциальной энергии. В классической механике эти точки называются точками поворота.

Частицы за точками поворота оказаться не могут, т.е. в классической механике частицы, находящиеся внутри потенциальной ямы, выйти из нее не могут. В квантовой механике состояние микрочастиц описывается волновой функцией. Видим, что за точками поворота волновая функция хоть и мала, но все же отлична от нуля. Т.е. вероятность обнаружить частицу с энергией меньше потенциальной энергии хоть и мала, но отлична от нуля (радиоактивный распад).

Решение в области энергий Е < U_min отсутствует, при U_min < E < U(±∞) решение существует лишь при некоторых дискретных E. В области E > U(±∞)решение существует для любых E (непрерывный спектр).