ГОС / 21

21. Энергия магнитостатического поля в вакууме. Магнитный поток. Коэффициенты взаимной и самоиндукции проводников с током.

Запишем выражение для энергии электромагнитного поля в вакууме:

W= (*)

W_B= (7.1) - энергия магнитостатического поля в вакууме

w_B= (7.2) - плотность энергии (энергия магнитостатического поля в вакууме в единице объема).

Выражения (7.1) и (7.2) говорят о том, что энергия магнитостатического поля отлична от нуля в тех областях, где вектор индукции магнитного поля отличен от нуля.

W_B=

W_B =

Применим теорему Гаусса-Остроградского: (**)

и третье уравнение Максвелла:

W_B =

Рассмотрим все бесконечное пространство, т.е. V,

W_B= (7.3)

w_B= (7.4) - плотность энергии

Выражения (7.3) и (7.4) говорят о том, что энергия магнитостатического поля отлична от нуля всюду, где концентрируются токи, т.е. .

Выражения (7.1-7.4) выражают одну и ту же величину и для магнитостатического поля используются всегда. Однако (7.1) и (7.2) имеют более широкий физический смысл. Ими можно пользоваться и для переменных магнитных полей, а выражениями (7.3) и (7.4) можно пользоваться только для магнитостатических полей.

Энергия магнитостатического поля отлична от нуля всюду, где есть поле, а не только где есть токи.

Энергия магнитного поля, представляется как энергия взаимодействия элементов с током. Воспользуемся соотношением (7.3):

W_B=

Для того, чтобы вычислить потенциальную энергию взаимодействия токов в объеме V и V’ мы можем воспользоваться функцией (7.3), но при этом интегрирование должно производиться по разным переменным.

W_B= (7.5)

W_B= (7.5’)

Энергия магнитного поля для системы линейных токов:

W_B= (7.6)

Энергия магнитного поля с током прямо пропорциональна магнитному потоку и току в этом проводнике.

Рассмотрим систему линейных проводников. Энергия магнитостатического поля i-го проводника:

W_i= (7.6’) `W= (7.7)

В выражении (7.7) Φ_i- это полный магнитный поток, пронизывающий площадь, ограниченную i-м контуром, I_i –это ток в i-м проводнике, создаваемый остальными токами.

Коэффициенты взаимной и самоиндукции:

W_B= (*)

Перейдем к линейным проводникам:

W_B= (7.8)

L_ik= (7.9)

L_ik зависит только от геометрических размеров и форм данных проводников, а также от их взаимного расположения и среды, в которой они находятся. Не зависит от силы тока, текущего в каждом проводнике. При этом, если i=k , то коэффициенты с индукцией L_ii называются коэффициентами самоиндукции. Для одного проводника этот коэффициент называется индуктивностью. Если ik, то L_ik называется коэффициентами взаимной индукции. С учетом (7.9) перепишем (7.8)

W= (7.10) – энергия магнитостатического поля системы линейных проводников.

Φ_i= (7.11) – сравнили (7.7) и (7.10)

Φ_i можно определить как магнитный поток, определяющийся токами, текущими во всех k проводниках. (7.11) удобно использовать для нахождения взаимной индукции линейных проводников.

Рассмотрим пример:

i=2

k=1,2

Φ₂=I₁L₂₁+I₂L₂₂

Для того чтобы найти коэффициенты взаимной индукции проводников 1,2 удобно положить I₂=0 Φ₂=I₁L₂₁ L₂₁= Φ₂/I₁