Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОС / 24

.doc
Скачиваний:
59
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
90.62 Кб
Скачать

24. Гармонические колебания. Квазиупругие силы. Свободные колебания линейного гармонического осциллятора в отсутствии и при наличии сил трения.

Колебательным движением материальной точки называется периодическое смещение материальной точки от положения равновесия, либо, в общем случае, – периодически повторяющиеся движения. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания - колебания, при которых колеблющаяся величина изменятся со временем по закону синуса (косинуса). Гармонические колебания величины x описываются уравнением типа: (),

где А – максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания, круговая (циклическая) частота, начальная фаза колебания в момент времени t = 0, фаза колебания в момент времени t, х – смещение в момент времени t. Промежуток времени Т, за который фаза колебания получает приращение равное 2p, называется периодом колебания. , откуда . Величина, обратная периоду колебаний, n=1/T – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени, называется частотой колебаний. =2pn. Единица частоты - герц (Гц): 1 Гц - частота периодического процесса, при которой за 1 секунду совершается 1 цикл процесса.

Квазиупругая сила, направленная к центру О сила F, величина которой пропорциональна расстоянию r от центра О до точки приложения силы; численно F = cr, где с — постоянный коэффициент. Название «К. с.» связано с тем, что аналогичным свойством обладают силы, возникающие при малых деформациях упругих тел (так называемые силы упругости). Для материальной точки, находящейся под действием К. с., центр О является положением устойчивого равновесия. Выведенная из этого положения точка будет совершать около О линейные гармонические колебания или описывать эллипс (в частности, окружность).

а) Уравнение гармонического осциллятора.

Гармоническое колебание описывается периодическим законом: . Здесь - характеризует изменение какой-либо физической величины при колебаниях (смещение положения маятника из положения равновесия; напряжение на конденсаторе в колебательном контуре и т.д.). Система, закон движения которой имеет вид , называется одномерным гармоническим осциллятором. Дифференцируя дважды по времени уравнение , получаем соотношение: , называемое уравнением одномерного классического гармонического осциллятора с частотой . Это дифференциальное уравнение имеет второй порядок, поэтому у него есть два независимых решения. Одно из них - , другим независимым решением является. Общее решение уравнения можно записать как линейную комбинацию независимых решений:

.

Часто полагают, что C1=1, C2=-i. Тогда в соответствии с формулой Эйлера () выражение может быть записано в виде

.

Такой комплексной формой записи закона гармонического колебания широко пользуются. Это связано с удобством работы с экспоненциальной функцией. Так как наблюдаемые значения каждой физической величины вещественны, то наблюдаемый закон гармонических колебаний может быть получен из последнего соотношения взятием вещественной части от величины z(t), которая называется комплексным вектором колебаний: .

б) Затухание свободных колебаний.

Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Свободные затухающие колебания линейной системы описываются уравнением:

,

где - коэффициент затухания, - собственная частота системы, т.е. частота, с которой совершались бы колебания в отсутствии затухания. Выражение коэффициента затухания через параметры системы зависит от вида колебательной системы. Например, для пружинного маятника где r - коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления. Для затухающих колебаний в колебательном контуре: , где R - величина активного сопротивления контура, L - индуктивность. Для решения уравнения производится подстановка . Эта подстановка приводит к характеристическому уравнению:

которое имеет два корня: , .

При не слишком большом затухании (при ) подкоренное выражение будет отрицательным. Если его представить в виде , где - вещественная положительная величина, называемая циклической частотой затухающих колебаний и равная , то корни уравнения запишутся в виде: и . Общим решением уравнения (7.1.1) будет функция:

которую можно представить в виде: ,

Здесь и - произвольные постоянные.

В соответствии с (7.1.6) движение системы можно условно рассматривать как гармоническое колебание частоты w с амплитудой, изменяющейся по закону:

.

С

Рис. Затухающие колебания

корость затухания колебаний определяется коэффициентом затухания . В соответствии с выражением коэффициент затухания обратен по величине тому промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e-раз. Период затухающих колебаний определяется формулой: . При незначительном затухании () период колебаний практически равен . С ростом период увеличивается. Из соотношения следует, что: . Такое отношение амплитуд называется декрементом затухания, а его натуральный логарифм - логарифмическим декрементом затухания:

. Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в «e» раз. Помимо рассмотренных величин для характеристики колебательной системы употребляется величина , называемая добротностью колебательной системы. Добротность пропорциональна числу колебаний, совершаемых системой за то время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «e» раз. Большим значениям добротности соответствует малое затухание. Энергия колебательной системы убывает со временем. Это обусловлено наличием затухания. При малом затухании, когда энергия изменяется по закону: , где - значение энергии в начальный момент. Можно показать, что при слабом затухании добротность с точностью до множителя 2p равна отношению энергии, запасенной в системе в данный момент времени, к убыли этой энергии за один период колебаний.

С ростом g период колебаний увеличивается. При период обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим. При выведенная из положения равновесия система возвращается в него, не совершая колебаний.

Соседние файлы в папке ГОС