Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОС / 12

.doc
Скачиваний:
41
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
155.14 Кб
Скачать

12. Элементы механики сплошных упругих сред. Закон Гука. Модуль нормальной упругости, коэффициент Пуассона.

Под влиянием приложенных сил твердые тела в той или иной степени деформируются, т е меняют свою форму и объем. Для математического описания поступают следующим образом: положение точки тела в недеформированном состоянии определяется ее радиус-вектором с компонентами в некоторой системе координат. При деформировании все точки тела, вообще говоря, смещаются. Новое положение точки определяется радиус вектором с компонентами . Тогда смещение точки при деформации изобразится вектором , (1) который называется вектором деформации. Его компоненты , , (2)

Задание вектора как функции от полностью определяют деформацию тела. Вектор деформации определяет абсолютную деформацию тела. При деформации меняется расстояние между точками. Рассмотрим какие-нибудь две бесконечно близкие точки, и пусть радиус вектор между ними до деформации был . Тогда в деформированном состоянии радиус-вектор между ними стал, согласно формуле (1), компоненты которого согласно (2)

, , или (3)

Вводится тензор , который называется тензором деформации. При малых деформациях его компоненты определяются по формуле (4)

Найдем физический смысл тензора деформации. Пусть вектор располагается вдоль оси х. Пусть он изменяется только вдоль оси х. (см рис 1)

На рисунке изображен вектор деформации в различных точках тела. Это растяжение вдоль оси х. При этом все компоненты тензора деформации кроме равны нулю. Согласно формулы (4) . Отсюда компонент характеризует растяжение вдоль оси х (если <0 то сжатие). Аналогично компоненты и характеризуют соответственно растяжения вдоль осей y и z. Вывод: диагональные элементы тензора деформации характеризуют относительную деформацию вдоль соответствующих осей координат. Тензор деформации симметричен то есть . Как и всякий симметричный тензор, его можно привести к главным осям. Это значит, что в каждой данной точке можно выбрать такие оси координат, что отличны от нуля только диагональные элементы.

То есть тензор деформации имеет вид (5)

Но если тензор приведен к диагональному виду в точке А, это не значит, что он приведен к такому же виду в другой точке В.

Допустим тензор деформации привели к диагональному виду. Тогда из (5)

, , (6)

Отсюда из (3) и (6) , ,

Отсюда найдем

Т.к. рассматриваем случай малой деформации то при умножении скобок учитываем только слагаемые , где

- сумма диагональных элементов =const (инвариантна, т.е. не зависит от выбора систем координат). , . То есть шпур тензора деформации определяет относительное изменение объема.

Рассмотрим физический смысл недиагональных элементов тензора деформации. Найдем физический смысл тензора деформации. Пусть вектор располагается вдоль оси х. Пусть он изменяется только вдоль оси y. (см рис 2)

Как видно из рисунка, это деформация сдвига. Запишем тензор деформации в этом случае.

В этом случае объем не изменяется, так как , но изменяется форма тела.

Тензор напряжений. В недеформированном теле расположение молекул соответствует состоянию его теплового равновесия. При этом все его части находятся друг с другом в механическом равновесии. Это значит, что если выделить внутри тела какой-нибудь объем, то равнодействующая всех сил действующих со стороны других частей равна нулю. При деформации расположение молекул меняется, и тело выходит из положения равновесия. В результате в нем возникают силы, стремящиеся вернуть тело в положение равновесия. Эти возникшие при деформации внутренние силы называются внутренними напряжениями. Объемные силы, с которыми действуют друг на друга различные части самого рассматриваемого объема, не могут привести к появлению отличной от нуля суммарной равнодействующей, потому что они в силу 3 закона Ньютона уничтожают друг друга. Поэтому искомую полную силу можно рассматривать как сумму только тех сил, которые действуют на данный объем извне на рассмотренный объем через его поверхность. Вводится тензор напряжения. Компонента тензора напряжений есть i-я компонента силы, действующей на единицу поверхности, перпендикулярную к оси . Например -это -я компонента силы на единице поверхности перпендикулярной оси - нормальная компонента тензора напряжений (сжатие, растяжение), -это -я компонента силы на единице поверхности перпендикулярной оси - касательная компонента тензора напряжений (сдвиг). Например, тензор напряжения при всестороннем сжатии выглядит следующим образом , - символ Кронекера.о стороны других частей =0.три тела какой нибудь объем то равнодействующая всех сил действующих0000000000000000000000000000000 Связь между тензором деформации и тензором напряжений определяется через закон Гука . Здесь E – модуль Юнга, - коэффициент Пуассона. Рассмотрим так называемое простое растяжение стержня. Пусть стержень расположен вдоль оси z и к его концам приложены силы F, растягивающие его противоположные стороны. Сила, действующая на единицу поверхности равна F/S, где S – площадь поперечного сечения стержня. Тензор напряжений имеет вид . По закону Гука найдем тензор деформации . Относительное удлинение вдоль оси z определяется формулой . Обычно в справочниках дается следующая форма закона Гука , что тоже самое. Отсюда Модуль Юнга численно равен напряжению, возникающему в образце, при увеличении его длины в два раза. Но при растяжении также уменьшаются поперечные размеры стержня. ,-коэффициент пропорциональности - коэффициент Пуассона. Коэффициент Пуассона - называется отношение относительного поперечного сужения к относительному продольному удлинению.

3

Соседние файлы в папке ГОС