ГОС / 01

1. Системы отсчета. Кинематика частицы. Преобразования Галилея. Классический закон сложения скоростей, механика, как наука о простейших формах движения.

Раньше других разделов физики стала развиваться механика. Механика есть наука о движении и равновесии тел. В широком смысле слова движение материи есть всякое ее изменение. Однако в механике под движением понимается только простейшая его форма, а именно изменение положения тел или частей тел относительно друг друга с течением времени.

Одно и то же тело одновременно может совершать разные движения относительно разных тел. Поэтому, описывая движение тела, мы всегда привязываемся к какой-то к системе отсчета. Под системой отсчета подразумевается совокупность тела отсчета, часов и системы координат. Тело отсчета используется как база, основа для определения положения всех других тел. Наблюдатели и инструменты для измерения расстояний и времени неподвижны относительно него. Самая распространенная система координат — это декартова - три взаимно перпендикулярных оси x, y, z. Существуют также криволинейные системы координат, например, полярная, цилиндрическая, сферическая и другие.

Все механические движения относительны. Рассмотрим примеры. Человек стоит на Земле и наблюдает, как едет автомобиль, летит самолет. При этом он рассматривает Землю как тело отсчета (и он неподвижен относительно нее). Самолет и автомобиль он считает телами движущимися. Когда пассажир автомобиля говорит, что лента дороги стремительно убегает из под колес, он тоже прав. Но при этом он считает телом отсчета автомобиль (наблюдатель – пассажир – неподвижен относительно него), а Землю – телом движущимся. Не ошибается и пассажир самолета, когда говорит, что под крылом самолета проплывает зеленое море тайги. Он в этом случае принимает за тело отсчета самолет (пассажир неподвижно сидит в нем), а за тело движущиеся Землю с тайгой.

Закон инерции (первый закон Ньютона). Всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

Инерциальными системами отсчета в классической механике называются те системы, по отношению к которым выполняется закон инерции. Такого рода системой является гелиоцентрическая координатная система, начало которой находится в центре Солнца. Любая система отсчета, покоящаяся или движущаяся равномерно и прямолинейно относительно какой-либо инерциальной системы, сама является инерциальной. Наоборот, всякая система, движущаяся ускоренно относительно инерциальной системы, является неинерциальной. Система отсчета, жестко связанная с Землей, вообще говоря, неинерциальна, главным образом, вследствие суточного вращения Земли. Но в большинстве практических задач геоцентрическую систему отсчета можно приближенно считать инерциальной.

В механике все инерциальные системы равноправны. Поэтому в рамках классической механики нет никаких оснований для выделения «главной» системы отсчета, по отношению к которой покой и движение тел можно было бы считать абсолютными.

Кинематика изучает движение тел без рассмотрения причин вызвавших это движение. Материальной точкой называется тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пpенебpечь, считая, что вся масса тела сосредоточена в одной точке. Положение точки в выбранной нами системе координат задается радиус-вектором.   –вектор, проведенный из начала координат в точку где находится частица, проекции которого на оси декартовой системы координат равны соответственно x,  y,  z.

Рис. 1. Радиус-вектор в декартовой и сферической системах координат.

Таким образом, вектор вполне однозначно определяется заданием трех его проекций, хотя это могут быть и другие три числа, например длина r и два угла θ и φ (так называемая сферическая система координат) (рис. 1). Декартовы координаты со сферическими однозначно связаны друг с другом соотношениями

Если ввести три единичных вектора , , , направленные вдоль координатных осей (единичные орты), то радиус-вектор можно представить в виде суммы трех векторов:

Рис. 2. Разложение радиус-вектора на составляющие вдоль координатных осей.

Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций: r² = x²+y²+z².

Рис. 3. Траектория и перемещение материальной точки.

Рассмотрим движение материальной точки (рис 3). Траекторией называется линия, описываемая движущейся точкой в пространстве. Путь – длина траектории от начального до конечного положения. Перемещение – вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела . Движение материальной точки полностью задано, если указан закон изменения по времени t ее пространственных координат . Например, если тело движется в декартовой системе координат законы движения . Эти уравнения эквивалентны одному векторному уравнению . Существует также естественный способ задания движения: заданы уравнения траектории и закон изменения пути от времени .

Отношение перемещения материальной точки к интервалу времени Δ t₁₂ = t₂–t₁, то есть  / Δ t₁₂, тоже является вектором, причем коллинеарным вектору перемещения (рис 4). Предел отношения перемещения к интервалу Δ t₁₂, когда последний стремится к нулю, является производной вектора по времени t называется вектором мгновенной скорости: Вектор скорости направлен по касательной к траектории материальной точки в точке t₁.

Рис. 4. Скорость материальной точки.

или , ,

Вектор скорости частицы так же, как и радиус-вектор, является функцией времени t. Аналогичным образом можно определить вектор, характеризующий скорость изменения скорости частицы и называемый ускорением: . Компоненты вектора ускорения , , .

В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения точки. Рассмотрим частные случаи

1. Прямолинейное равномерное движение. . Для описания движения достаточно одной координаты, например, x. Тогда , , . , где - начальное положение материальной точки.

2. Прямолинейное равноускоренное движение. . , , , , . , где - начальное положение материальной точки, - начальная скорость.

3. Прямолинейное неравноускоренное движение. . Для нахождения координаты необходимо или дифференциальное уравнение второго порядка, или пользоваться методами компьютерного моделирования. Например, если ускорение зависит только от скорости, то

4. Криволинейное движение с постоянной по модулю скоростью. . Так как направление скорости изменяется, то существует ускорение, которое направлено к центру кривизны траектории и называется центростремительным или нормальным. По модулю , где - радиус кривизны траектории.

5. Криволинейное движение с переменной по модулю скоростью. Кроме нормального, существует тангенциальное ускорение, которое направлено по касательной к траектории. По модулю . Полное ускорение

Преобразования Галилея. Выберем две инерциальные системы отсчета (рис 5).

Обозначим через K – неподвижную систему отсчета, а через K' — другую инерциальную декартову систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью относительно первой (рис. 5).

В классической механике время является абсолютным (то есть не зависящим от пространства и движущихся в нем тел), поэтому t=t^’ (1). Рассмотрим движение материальной точки М в системах K и K'. Обозначим - радиус-вектор точки М в системе К, - радиус-вектор точки М в системе К’, - радиус-вектор центра системы K'  относительно системы К. Из рисунка 5 видно, что (2). Продифференцируем это выражение по времени, получим (3). Здесь - скорость в системе К (скорость в неподвижной системе отсчета или абсолютная скорость), - скорость в системе К’ (скорость в подвижной системе отсчета или относительная скорость), - скорость подвижной системы координат относительно неподвижной (переносная скорость). Формула (3) также называется принципом сложения скоростей. Скорость тела относительно инерциальной неподвижной системы отсчета равна скорости тела относительно другой инерциальной подвижной системы отсчета + скорость самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Продифференцируем формулу (3) по времени. Получим (4). Здесь - ускорение в системе К (ускорение в неподвижной системе отсчета или абсолютное ускорение), - ускорение в системе К’ (ускорение в подвижной системе отсчета или относительное ускорение). Как видно, ускорение материальной точки в различных инерциальных системах отсчета совпадают. Формулы (1) – (4) являются преобразованиями Галилея.

4