ГОС / 44

44. Кристаллы. Кристаллическая структура, кристаллические системы, решетки Бравэ. Обратная решетка. Методы исследования структуры кристаллов. Структуры с пониженной размерностью.

Геометрически правильная форма некоторых встречающихся в природе тел привела к заключению, что кристаллы создаются повторением в пространстве одного и того же структурного элемента, называемого элементарной ячейкой. Ячейка имеет форму параллелепипеда. Кристалл может состоять из атомов нескольких химических элементов. При этом с каждой точкой ячейки связывается некоторая группа атомов, называемая базисом. Мысленное построение реальной кристаллической структуры можно представить как процесс выбора кристаллической решетки, являющейся геометрически правильным расположением точек в пространстве, и связывание с каждой точкой кристаллической решетки определенного базиса. Например, в кристалле хлористого натрия базисом является пара ионов – натрия и хлора. Элементарная ячейка в кристаллической решетке может быть выбрана различными способами

Рис1.1 Выбор элементарной ячейки и векторов основных трансляций в кристаллической решетке. Ячейка Вигнера-Зейтца (справа).

Можно выбрать ячейку с центром в узле решетки (ячейка Вигнера-Зейтца). Для этого необходимо разделить пополам прямые, проведенные из данного узла в соседние, перпендикулярными к ним плоскостями (рис.1.1). Пусть - некомпланарные вектора, на которых построена элементарная ячейка. Тогда вектор решетки (вектор, соединяющий произвольные два узла решетки) может быть представлен в виде разложения по векторам основных трансляций

(1.22)

где l,m,n – целые числа.

В одноэлектронном приближении для рассмотрения движения электрона в периодическом поле необходимо решить уравнение (1.21), где потенциальная энергия обладает свойством . Здесь - вектор, соединяющий два узла решетки.

Разложим периодический потенциал в ряд Фурье

, (1.23)

где - коэффициенты разложения, - некоторые вектора, модули которых имеют размерность обратной длины и свойства которых определяются из условия периодичности потенциальной энергии

(1.24)

Соотношение (1.24) выполнится, если , т.е.

, (1.25)

Выберем в пространстве «обратных длин» некомпланарные базисные вектора : и представим вектор в виде разложения

(1.26)

где L,M,N – целые числа. Совокупность концов векторов указывает узлы обратной решетки. С учетом (1.22) и (1.26) соотношение (1.25) примет вид

(1.27)

Учитывая произвольность произведений целых чисел, входящих в (1.27), скалярные произведения базисных векторов прямой и обратной решетки может быть равно 0 или . Например, возможен выбор

то есть

, , (1.28)

Вектора обратной решетки ортогональны в том случае, если ортогональны вектора прямой решетки.

Точечная симметрия состоит в том, что кристаллическая структура совмещается сама с собой при поворотах, отражениях, инверсии относительно некоторой не подвижной точки.

Разные кристаллы обладают различными наборами элементов симметрии. Кубические кристаллы обладают наибольшим числом элементов симметрии, а кристаллы ячейки которых – косоугольные параллелепипеды наименьшим.

Поворотные оси , где n – кристалл совмещается сам с собой при повороте вокруг оси на угол .

Существуют , для кубической решетки .

Плоскости отражения (зеркальные). Существуют зеркальные-поворотные оси, - это поворот с последующим отражением.

В соответствии с различными наборами элементов точечной симметрии различают семь кристаллических систем – сингоний.