ГОС / 48
.doc48. Статистика Ферми-Дирака. Электронный газ. Уровень и поверхность Ферми. Теплоемкость электронного газа.
Распространим идею Больцмана на газы тождественных микрочастиц, практически не взаимодействующих друг с другом.
Существует два сорта элементарных микрочастиц: ферми – частицы – это частицы с полуцелым спином и бозе-частицы – это частицы с целочисленным спином.
Для ферми – частиц справедлив принцип Паули: в данном квантовом состоянии не может быть двух и более частиц.
Идея Больцмана: каждая частица – это независимая подсистема и к ней применимо распределение Гиббса. Выделим некоторую энергию частиц. В данном квантовом состоянии может быть 0 или 1 ферми-частица. Рассмотрим распределение частиц по числам заполнения данного фиксированного энергетического уровня. Пусть n – число частиц в i – состоянии.
(4.79)
Ωi - большой потенциал Гиббса для i – состояния (здесь нет суммы по энергетическим уровням).
Для ферми – частиц n=0,1
(4.80)
- среднее число частиц в k – состоянии с энергией
- распределение Ферми – Дирака (4.81)
В квазиклассическом рассмотрении: - среднее число частиц в ячейке Больцмана с энергией ε. Условие нормировки
(4.82)
Рассмотрим функцию распределения в пределе низких температур
1 .
2.
3.
Тот факт, что при низких температурах заполняются уровни начиная с нулевого до значения μ, свидетельствует о «вырождении» газа Ферми.
Обычные больцмановские частицы при все оказались бы на нулевом уровне.
Ферми – газ электронов в металлах является вырожденным при комнатных температурах. Оценки показывают, что kT<<μ при комнатных температурах.
Значения химического потенциала при называется энергией Ферми (верхний из заполненных электронами уровней).
Рассмотрим распределение Ферми в импульсной части фазового пространства.
(4.83) – уравнение поверхности Ферми в импульсном пространстве
- уравнение сферы.
При все состояния внутри сферы Ферми заполнены ферми – частицами, вне сферы Ферми – свободны.
Определим положение уровня Ферми при нулевой температуре.
Запишем условие нормировки
- среднее число частиц в ячейках Больцмана, принадлежащих dГ
Для электрона спин равен и в одной ячейке Больцмана может быть две частицы с равной вероятностью.
(4.84)
,
,
Учтем, что
- концентрация электронов, то есть число электронов в единице объёма
(4.85)
Если T~300K kT~0,025 эВ
Если , то частицы заполняют все состояния с энергиями , все вышележащие состояния свободны. Это явление называется вырождением Ферми – газа. В тепловом движении участвуют только частицы вблизи в узком энергетическом слое шириной порядка kT.
В металлах вырождение электронного газа сохраняется вплоть до температуры плавления.
Критерий вырождения.
Газ будет вырожден, если
- условие вырождения (4.86)
При низких температурах число частиц Ферми – газа, участвующих в тепловом движении мало и теплоемкость стремится к нулю
при .
Вычислим среднюю энергию электронного газа
(4.87)
(4.88)
Замена:
Замена:
Замена:
Учитывая значение интеграла , получим выражение для энергии электронного газа
(4.89)
Выражение (4.89) справедливо, если
(4.90)
Добавка к Е0 пропорциональна Т2 и мала при низких температурах (это и есть энергия теплового движения).
(4.91)
Теплоемкость пропорциональна абсолютной температуре, и она мала.
При , что находится в согласии с третьим началом термодинамики.