ММО / ММО1
.docМинистерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Череповецкий государственный университет
Методы одномерной оптимизации
Выполнил:
студентка гр. 1АП-21 Мисин А.В.
Проверил:
Макарова Н.Л.
г. Череповец,
|
= А=2,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
= А=2,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
= А=2,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
|
Найти минимум функции х0=1; ; ; . |
№ варианта 5 |
Метод сканирования |
Метод половинного деления |
Метод золотого сечения |
Метод кубической интерполяции |
F(x)=sin(2x+1)
-
Метод сканирования.
Метод сканирования заключается в последовательном переборе всех значений a≤x≤b с шагом ε (погрешность решения) с вычислением критерия оптимальности R в каждой точке. Путем выбора наибольшего из всех вычисленных значений R и находится решение задачи x*.
[-1;2]
X |
-1 |
-0,4 |
0,2 |
0,8 |
1,4 |
2 |
F(x) |
-0,8414 |
1,98669 |
0,985449 |
0,5155019 |
-0,611875 |
-0,958924 |
[-0,4;0,8]
Х |
-0,4 |
-0,16 |
0,08 |
0,32 |
0,56 |
0,8 |
F(x) |
0,198669 |
0,628793 |
0,9168031 |
0,9976063 |
0,892995 |
0,5155019 |
[0,08; 0,56]
X |
0,08 |
0,176 |
0,272 |
0,368 |
0,464 |
0,56 |
F(x) |
0,916803 |
0,976159 |
0,99960 |
0,986384 |
0,9368782 |
0,8529404 |
[0,176; 0,368]
X |
0,176 |
0,2144 |
0,2528 |
0,2912 |
0,3296 |
0,368 |
F(x) |
0,976159 |
0,989935 |
0,997875 |
0,999932 |
0,996094 |
0,986384 |
[0,2528; 0,3296]
X |
0,2528 |
0,26816 |
0,28352 |
0,29888 |
31424 |
0,3296 |
F(x) |
0,997875 |
0,999405 |
0,999992 |
0,999636 |
0,998336 |
0,996094 |
Ответ:F(x)= 0,999992, при х=0,28352
-
Метод деления отрезка пополам.
Дана функция R(x)=Sin(2x+1)
Найти максимум функции на интервале: [-1;2]. Ошибка задается по х: Е=0,04
Результаты расчетов:
Середина отрезка х0 = 0,5
Значения критерия R0=0,909297
Значение R(0.5-Е/2)=R(0.48)=0.925211
Значение R(0.5+Е/2)=R(0.52)=0.891928
Следовательно, искомый максимум лежит в левой половине отрезка, то есть теперь отрезком является [-1;0.5].
Далее приведем координаты середины отрезков с номером итерации, значение критерия в них и указывается новый отрезок (правый или левый).
№ итерации |
х |
R/x |
отрезок |
1 |
X1= -0,25 |
R1= 0,479425 |
Правый |
2 |
X2=0,125 |
R2=0,948984 |
Правый |
3 |
X3=0,3125 |
R3=0,998531 |
Левый |
4 |
X4=0,21875 |
R4=0,991129 |
Правый |
5 |
X5=0,265625 |
R5= 0.999218 |
Правый |
6 |
Х6=0,2890625 |
R6=0.999973 |
Левый |
7 |
Х7=0,27734375 |
R7=0.999870 |
Правый |
(х6-х7)<E, поэтому решение находиться в области найденных значений или середину между ними.
-
Метод золотого сечения
Найти экстремум ,при =
А=2,0; В=2,0; С=1,0; D=1,0. Ошибка задается по х: ε =0,04
№ |
Х1(с) |
Х2(d) |
У1(sin(c)) |
У2sin(d) |
b-а=Е |
1 |
0,215384 |
0,784615 |
0,990112 |
0,541619 |
0,569231 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
0,2475 |
0,3104 |
0,06 |
0,0182 |
0,1646 |
5 |
0,2087 |
0,2475 |
0,064 |
0,0694 |
0,1017 |
6 |
0,1846 |
0,2086 |
0,0606 |
0,0640 |
0,0628 |
7 |
0,1697 |
0,1846 |
0,0586 |
0,0606 |
0,0388 |
Х=0,1652
-
МЕТОД КУБИЧЕСКОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Найти минимум функции методом кубической интерполяции.
х0=1; ; ; .
-
Зададим х0=1; ; ;.
-
Вычислим ; .
-
Так как , то . Вычислим . Поэтому , M = 1.
40. Положим , и вычислим
; ;
;
50. Вычислим
; ;
; ; .
60. Проверим условие убывания. Так как , то переходим к шагу 7.
70. Проверим условие окончания: . Условие не выполняется. Так как справедливо , то ; . Переходим к шагу 5.
51. Вычислим , ; ; ; .
61. Проверим условие убывания. Так как , то переходим к шагу 7.
71. Проверим условия окончания: (выполняется) и (выполняется). Поэтому расчет окончен и . Точная координата точки минимума , откуда следует, что применение кубической интерполяции даёт лучший результат, чем применение квадратичной интерполяции.