7. Виды и формы представления структур.

Структурные представления могут являться средством исследования систем, различные виды структур имеют специфические особенности и могут рассматриваться как самостоятельные понятия теории систем. Структура может быть представлена графически, в матричной форме, в виде теоретико-множественных представлений с помощью языка топологии и других средств моделирования систем.

Сетевая структура.

Сетевая структура представляет собой декомпозицию системы во времени.

Такие структуры могут отображать порядок действия технической системы, этапы деятельности человека. При применении сетевых моделей пользуются определённой терминологией (вершина, ребро, путь). Наиболее распространены и удобны для анализа однонаправленные сети.

Графическая структура

Для анализа сложных сетей существует математический аппарат теории графов. Графическая структура представляет собой развитую форму сетевой структуры. В отличие от сетевой структуры, в графической структуре используются двунаправленные ребра и петли, может использоваться несколько начальных и конечных вершин.

Иерархические структуры.

Они представляют собой декомпозицию системы в пространстве.

А) Древовидная структура.

Б) структура со слабыми звеньями.

Все компоненты и связи существуют в этих структурах одновременно, такие структуры могут иметь два или более уровней структуризации.

Структуры типа А), в которых каждый элемент ниже лежащего уровня подчинён одному узлу вышестоящего (это справедливо для всех уровней), называют древовидными структурами или иерархическими структурами с сильными связями.

Структуры типа Б), в которых элемент нижележащего уровня может быть подчинён двум или более узлам вышестоящего уровня, называют иерархическими структурами со слабыми связями.

Матричные структуры.

В форме матричного представления могу быть представлены взаимоотношения между уровнями иерархической структуры.

Представлять структуры в математической форме удобнее на практике при оформлении планов.

Теория матриц:

Матрицей А размером m*n называют таблицу, содержащую m-строк и n-столбцов, элементами которой являются вещественные или комплексные числа

a₁₁ .......... a_1n

A= ...................... =[a_ij]

a_m1 .......... a_mn

Если m=n, то матрицу называют квадратной. Матрицы А=[а_ij] и В=[в_ij] равны (А=В) в том и только в том случае, если имеют один и тот же размер а_ij=в_ij для всех ij.

Преобразованием линейного n-мерного пространства Х называют оператор А, отображающий это пространство в m - мерное линейное пространство Y: А:Х→Y (1). Таким образом, преобразование А ставит в соответствие каждому вектору х пространства Х вектор Y=А-х, пространства Y (2). Преобразование А называют линейным, если выполняется условие: А(х₁+х₂)=Ах₁+Ах₂, А(ℷх_i)=ℷАх(3). Условие (3) будет выполнятся, если между компонентами хⁱ и у^j векторов х и у имеется линейная зависимость вида:

n ___

у⁽ⁱ⁾= ∑ a_ijx^(j), i=1,m ,где а_ij - произвольное число (4)

j=1 ____ ___

Совокупность чисел а_ij, i=1,m; ;j=1,n образуют матрицу:

a₁₁......a_1n

A= ................ = [a_ij]

a_m1......a_mn

которую называют матрицей линейного преобразования. у=Ах можно записать в виде умножения матрицы на вектор:

y⁽¹⁾ a₁₁......a_1n x⁽¹⁾

.... = ............... * .....

y⁽ⁿ⁾ a_m1......a_mn x⁽ⁿ⁾ (5)

Операции над матрицами

• Умножение матрицы на число

Пусть А матрица линейного преобразования Ах, α- число.

αА=[α а_ij ] (6)

При умножении матрицы А на число α все ее члены умножаются на это число.

• Сумма матриц

Пусть у=Ах и v=Вх - два линейных преобразования с матрицами А=[a_ij] и В=[в_ij] размером m*n. Рассмотрим новое линейное преобразование, ставшее в соответствие каждому вектору х∈Х вектор у+v∈Y: у+v=Ах+Вх=(А+В)х (7)

Преобразование (А+В)х называют суммой линейных преобразований Ах и Вх, или: А+В=[a_ij]+[в_ij] (8). При сложении двух матриц одинакового размера получается новая матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов складываемых матриц.

• Произведение матриц

Пусть X,Y,Z-линеиные пространства размерностью m, r, n и пусть у=Вх, z=Ау - линейные преобразования пространства Х в пространство Y, и пространства Y в пространство Z, где В=[в_kj] и A=[a_ik] матрицы размером m*k и k*n соответственно. Произведением преобразований Ау и Вх называют новое линейное преобразование Сz: Z=Cx=A(Bx)=ABx (9)

Матрицу С=АВ размером n*n называют произведением матриц А и В.

n ___ ___

С_ij= ∑ а_ikв_kj , i=1,n , j=1,m (10)

k=1

Согласно (10) элемент С_ij матрицы С представляет собой скалярное произведение i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, так что произведение матриц АВ символически может быть представлено в виде:

a₁₁...a_1k в₁₁...в_1m

(11) АВ= ............ * .............

a_n1...a_nk в_k1....в_km

• Транспонирование матрицы

Пусть А=[a_ij] - матрица размером m*n. Матрица А^T=[а'_ij] размером m*n, строки которой являются столбцами матрицы А, столбцы строками матрицы А. Элемент а'_ij матрицы А^T определяют по элементам а_ij матрицы А из соотношения: а'_ij=а_ji (12)

Особенности квадратных матриц.

В квадратной матрице число строк равно числу столбцов.

Определителем квадратной матрицы называют, определитель составленный из элементов a_ij этой матрицы и обозначают det A.

Определитель det A обладает следующими свойствами:

1) при умножении на ℷ любого столбца матрицы А определитель det A умножается на ℷ;

2) перемена местами двух соседних столбцов меняет знак det A на противоположный;

3) если любые два столбца матрицы равны между собой, то det A=0;

4) добавление к любому столбцу матрицы любого другого столбца, умноженного на произвольный скалярный множитель, оставляет det A неизменным;

5) если столбцы матрицы линейно зависимы, то det A=0;

Теорема Гамильтона-Келли

Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического уравнения.

det (A-ℷI)=a₀ℷⁿ+a₁ℷ^n-1+...+a_n-1ℷ a_n=0 (13)

a₀Aⁿ+a₀A^n-1+a_n-1A+a_nI=0_[n*n] (14)

Обратная матрица

Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размером n*n, назовем такую матрицу А^-1 того же размера, для которой справедливо соотношение: А*А^-1=А^-1*А=Е (15)

Пусть у=Ах - линейное преобразование с квадратной матрицей А=[x_ij]. Обратным преобразованием называют преобразование х=А^-1у. Матрицу А^-1 этого преобразования называют обратной по отношению к матрице А.

А^-1=(1/detA) [A_ij]^T (16) , где А_ij - алгебраическое дополнение элемента а в определителе матрицы. Система уравнений Ах=у называется определенной и имеет единственное решение, если detA≠0. Матрица А, для которой выполнено это условие, называют невырожденной.

Диагонализация матриц

Вид квадратной матрицы А линейного преобразования у=Ах, может быть изменен без изменения характеристического уравнения этой матрицы путем использования преобразования подобия.

Пусть А - квадратная матрица; С - произвольная невырожденная матрица. Преобразованием подобия называют преобразование:

В=С^-1*А*С (17)

Преобразование подобия позволяет приводить некоторые виды квадратных матриц к диагональной форме, являющейся наиболее удобным видом матрицы.

ℷ₁ 0 0

diag[ℷ₁ ℷ₂ ......ℷ_n ]= 0 ℷ₂ 0 (18)

0 0 ℷ_n

Нормой матрицы А размер m*n называется сумма модулей ее элементов:

m n

│А│= ∑ ∑ │a _ij │(19)

i=1 j=1

При решении задач удобно ввести матрицы, элементы которых являются функциями независимой переменной t.

Эти матрицы имеют вид:

a₁₁(t) a₁₂(t) ...... a_1n(t)

А(t)= a₂₁(t) a₂₂(t) ...... a_2n(t)

............................ (20)

a_m1(t) a_m2(t) ..... a_mn(t)

и называются функциональными матрицами.

Производной матрицы А(t) по независимому переменному называется матрица А(t) вида:

da₁₁(t)/dt da₁₂(t)/dt ...... da_1n(t)/dt

А(t)= dA(t)/dt = ............................................................. =[da_ij(t)/dt] (21)

da_m1(t)/dt ad_m2(t)/dt ...... da_mn(t)/dt

Топологические структуры.

Четвертым типом структур являются топологические структуры (или топологии). В них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности.

Пусть дано множество X. Система  его подмножеств называется тополо́гией на X, если выполнены следующие условия:

1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то 

2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то .

3. .

Пара Х,  называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие , называются открытыми множествами.