Контрольная работа 1 АПз-310 / Электротехника Ч1

11

	Rвн	1		I т	1
E		Rн	IT	Rвн	Rн
		1'			1'
	а				б

Рис. 1.6. Схемы замещения источника электрической энергии: (а) - источником Э.Д.С., (б) - источником тока

Для схемы рис. 1.6, а это очевидно и следует из того, что Rвн и Rн включены последовательно. Для схемы цепи по рис. 1.6, б известно, что ток IT = Е/Rвн распределяется обратно пропорционально параллельно включенным Rвн и Rн, т.е.:

I = IT	Rвн	=	E		Rвн			E
							=		.
	R + R		R		(R + R	)		R + R
	вн н		вн		вн н			вн н

Каким из двух источников воспользоваться, выбирает инженер. Пример.

В схеме рис.1.6, а источник Э.Д.С. имеет параметры Е = 100В, Rвн =

2 Ом. Определить параметры эквивалентного источника тока в схеме рис. 1.6, б. Решение:

IT = E / Rвн = 50А.

Следовательно, параметры эквивалентной схемы рис. 1.6, б имеют значение:

IT = 50А; Rвн = 2 Ом.

Источники питания могут иметь постоянную Э.Д.С. - Е или переменную е(t), изменяющуюся во времени по заданному закону. В первом случае в цепи протекает постоянный ток, и она называется цепью постоянного то- ка. Во втором случае ток i(t) и напряжение u(t) переменные, поэтому цепь называется цепью переменного тока. В электротехнике чаще других применяются синусоидальные ток и напряжение.

12

3. ПРИЕМНИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Приемники электрической энергии делятся на пассивные и активные.

Пассивными называют приемники, в которых под действием приложенного

напряжения не возникает Э.Д.С. ВАХ пассивных приемников проходят через начало координат. При отсутствии напряжения ток этих элементов равен нулю.

Основной характеристикой пассивных элементов является сопротив-

ление. Пассивные элементы, сопротивление которых не зависит от при-

ложенного напряжения, называются линейными. Реально таких элементов не существует. Но весьма близки к ним резисторы, реостаты, лампы накаливания и др. Зависимость напряжения от тока в таких элементах определяется законом Ома, т.е. U = IR, где R – сопротивление элемента. Эта зависимость не меняется, если напряжение и ток – переменные.

К приемникам электрической энергии относятся емкостные и индуктивные элементы. При постоянном напряжении, приложенном к емкости, на ее обкладках накапливается заряд

Q = C U .

(1.5)

Ток через емкость не протекает. Это означает, что сопротивление емкости в цепи постоянного тока равно бесконечности. Если к емкости приложено переменное напряжение u(t), то и заряд на ее обкладках становится переменным

Q(t) = C u(t) .

(1.6)

В этом случае в цепи возникает ток

ic (t) =	dQ(t)	= C	du(t)	.	(1.7)
	dt
			dt

Выражение (1.7) позволяет определить падение напряжения на емкости, если в цепи протекает переменный ток

13

		1	t
	uc (t) =		∫ic (t)dt .	(1.8)
		C
			0

Очевидно, что сопротивление емкостного элемента переменному току определяется законом Ома, но зависит не только от величины, но и от формы тока и напряжения.

Основным параметром индуктивного элемента является индуктивность – L. Если через индуктивность L протекает постоянный ток I, то в ней возникает постоянное во времени потокосцепление самоиндукции

ψ = L I .

(1.9)

Будем полагать, что элемент L идеальный, т.е. сопротивление провода витков обмотки катушки индуктивности r отсутствует. Очевидно, что при этом падение напряжения на элементе равно нулю.

Предположим, что индуктивный элемент подключен к источнику пе-

ременного тока i(t). Потокосцепление также будет переменным – ψ(t) = L i(t). Изменяющееся потокосцепление наводит в катушке Э.Д.С. самоиндукции

eL (t) = −	dψ (t)	= −L	di(t)	.	(1.10)
	dt
			dt

Так как r=0, то Э.Д.С. еL(t) уравновешивает напряжение, приложенное к индуктивности

u(t) = −eL (t) = L	di(t)	.	(1.11)
	dt

Выражение (1.11) позволяет определить ток индуктивности, если известно приложенное к ней напряжение u(t).

		1	t
	iL (t) =		∫u(t)dt .	(1.12)
		L
			0

Кроме пассивных приемников в электротехнике применяются активные приемники. К ним относятся электродвигатели, аккумуляторы в процессе их

14

заряда и др. В цепи переменного тока при определенных условиях роль активных элементов выполняют индуктивность и емкость. В активных элементах возникает противо-Э.Д.С. Е. Приложенное к приемнику напряжение уравновешивается противо-Э.Д.С. и падением напряжения на сопротивлении элемента, т.е.

U = E + I Rвн .

(1.13)

4. ОСНОВНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Основными топологическими понятиями теории электрических цепей являются ветвь, узел, контур, двухполюсник, четырехполюсник, граф схемы

электрических цепей, дерево графа схемы. Рассмотрим некоторые из них.

Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же

током. Она может состоять из одного или нескольких последовательно включенных элементов. Так, схема цепи на рис. 1.7 состоит из пяти ветвей.

I1	R1 а 1 I3	R3	2
	I2		I4	I5
E1	R 2		R 4	R 5
	б
	1'		2'
Рис. 1.7. Схема замещения разветвленной

электрической цепи с одним источником Э.Д.С.

Узлом называют место соединения двух элементов. Место соедине-

ния трех и более ветвей называют сложным узлом. Сложный узел обозна-

чается на схеме точкой. Сложные узлы, имеющие равные потенциалы, объ-

единяются в один потенциальный узел. На схеме рис.1.7 узлы 1′ и 2′ могут

15

быть объединены в один потенциальный узел. Поэтому схема имеет три сложных потенциальных узла.

Контуром называют замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов электрической цепи. Для схемы рис. 1.7 один из контуров включает позиции 2; R5; 2′; R4. Независимым называется контур, в состав которого входит хотя бы одна ветвь, не принадлежащая соседним конту-

рам. Так, схема рис.1.7 содержит три независимых контура.

Двухполюсником называют часть электрической цепи с двумя выде-

ленными зажимами – полюсами. Двухполюсник обозначают прямоугольником с индексами «А» или «П». Индекс «А» применяют для обозначения активного двухполюсника, в составе которого есть источники Э.Д.С. Индекс «П» применяют для обозначения пассивного двухполюсника. Например, часть схемы рис.1.7 с зажимами а и б может быть представлена пассивным двухполюсником (рис.1.8).

R1	а
	П
E1
	б

Рис.1.8. Пассивный двухполюсник

6. ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА

Все электрические цепи подчиняются законам Ома и Кирхгофа. Краткая информация об этих законах заключается в следующем.

Закон Ома для участка цепи без Э.Д.С. устанавливает связь между током и напряжением на этом участке

16

	I =	U	или U = I R .	(1.14)
		R

Закон Ома для участка цепи, содержащего Э.Д.С., позволяет найти ток этого участка

I =	U	аб	± E	.	(1.15)
		R

здесь а, б - крайние точки участка; Е – значение Э.Д.С.

В (1.15) знак «плюс» ставится при совпадении направления тока, протекающего по участку, с направлением Э.Д.С.

Первый закон Кирхгофа имеет две формулировки.

1.Сумма токов, протекающих через любой узел, равна нулю.

2.Сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него.

Второй закон Кирхгофа можно сформулировать так:

Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом кон-

туре равна алгебраической сумме Э.Д.С. вдоль этого контура, т.е.

n	m
∑Ri Ii = ∑Ei .
i =1	i =1

В каждую из сумм слагаемые входят со знаком «плюс», если они совпадают

снаправлением обхода контура.

7.ПОНЯТИЯ ОБ УСТАНОВИВШЕМСЯ И ПЕРЕХОДНОМ

ПРОЦЕССАХ

Режим работы электрической цепи, при котором токи и напряжения всех ее ветвей остаются неизменными или изменяются по периодическому закону, называется установившимся. В электрических цепях такой режим может иметь место при длительном воздействии источника электрической

17

энергии, при неизменных параметрах приемников или при отключенном источнике.

В реальных условиях необходимо управлять работой электрических цепей, т. е. включать или отключать источники энергии, изменять параметры R, L и C элементов. Перечисленные действия принято называть коммутацией, а процессы, возникающие в результате коммутации, – переходными. Физически переходные процессы представляют собой изменение энергетического состояния элементов и цепи в целом при переходе цепи от одного режима (отключенного источника) к другому режиму (включенного источника). Это быстро протекающие процессы, но именно на интервалах их существования в цепи возможны опасные броски токов и напряжений. Поэтому переходные процессы подлежат изучению.

Рассмотрим схему цепи, приведенную на рис. 1.9, а. Будем полагать, что параметры элементов цепи постоянны. При замкнутом ключе К сумма падений напряжения на индуктивности L и сопротивлении R равна Э.Д.С. Е:

	L	di	+ R i = E .	(1.16)
		dt

В выражении (1.16) ток i и Э.Д.С. Е могут принимать конечные значения. Допустим, что ток i может измениться скачком за бесконечно малый промежуток времени 2t. Тогда отношение 2i / 2t = ∞. Применение этого значения к (1.16) означает нарушение равенства, представляющего второй закон Кирхгофа. Следовательно, допущение о возможности скачкообразного изменения тока через индуктивность неприемлемо. Однако напряжение

на индуктивности, равное L dtdi , может измениться скачком. Полученный вывод является обоснованием закона коммутации:

В ветви с индуктивностью ток в момент коммутации сохраняет

значение, которое он имел до коммутации, а после коммутации плавно из-

18

меняется от этого значения:

iL (0− ) = iL (0+ ).

Ток в цепи с емкостью (рис. 1.9, б) определяется выражением (1.7). Поэтому уравнение, составленное для цепи по второму закону Кирхгофа, принимает вид:

R C	duC	+ u = E,	(1.17)
	dt	C

где uc – напряжение на емкости, Е – Э.Д.С. источника.

Напряжение uc и Э.Д.С. E могут принимать конечные значения. Допустим, что uc может измениться скачком за бесконечно малый промежуток времени 2t. Тогда 2uc/2t = ∞ и левая часть уравнения (1.17) не будет равна правой. Следовательно, допущение о возможности скачкообразного изменения напряжения на емкости неприемлемо. Однако ток через емкость, рав-

ный C dudtC , может изменяться скачком. Полученный вывод является обос-

нованием следующего закона коммутации:

В ветви с емкостью напряжение в момент коммутации сохраняет

значение, которое было до коммутации, а после коммутации плавно изме-

няется от этого значения:

uC (0− ) = uC (0+ ).

19

В зависимости от состояния энергии в индуктивных или емкостных элементах цепей вида рис. 1.9 решаются две задачи:

–расчет цепи с нулевыми начальными условиями iL (0) = 0,

–расчет цепи с ненулевыми начальными условиями iL (0) ≠ 0.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1.1.Назовите элементы электрических цепей и приведите их условные графические обозначения. Как влияют характеристики элементов на название электрических цепей?

1.2.Что служит расчетным эквивалентом источника электрической энергии? В чем отличие идеального источника Э.Д.С. от идеального источника тока?

1.3.Как делятся все приемники электрической энергии? Приведите основные соотношения между током и напряжением для R, L и С элементов.

1.4.В каких целях введены топологические понятия электрических цепей?

1.5.Сформулируйте законы коммутации электрических цепей. Приведите математические соотношения, иллюстрирующие эти законы.

1.6.Определите внутреннее сопротивление источника Э.Д.С., если его ВАХ имеет наклон к оси токов под углом α = 30º.

1.7.В схеме рис. 1.6, б источник тока имеет параметры IТ = 10 А, Rвн = 0,5 Ом. Определите параметры эквивалентного источника Э.Д.С.

1.8.В схеме рис. 1.9, б источник Э.Д.С. Е = 10 В, сопротивление R = 10 Ом, а емкость С = 0,1 мкФ. Определите напряжение на емкости и ток цепи в момент включения ключа К.

ЛЕКЦИЯ 2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕ-

СКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

20

Реальные электротехнические устройства и системы имеют сложные схемы. Перед специалистами стоят задачи расчета их параметров. Процесс расчета параметров в теории электротехники принято называть «анализом схем». Электрические схемы любой сложности подчиняются законам Ома и Кирхгофа. Однако применение только этих законов часто приводит к неоп- равданно сложным решениям. Поэтому был разработан ряд методов анали- за, адаптированных к топологии электрических цепей и упрощающих про- цесс расчета их параметров. В лекции рассматриваются некоторые из таких методов.

1. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПРИМЕНЕНИЕМ ЗАКОНОВ КИРХГОФА

При анализе электрических цепей определяют значение токов в их ветвях, падение напряжения на элементах или потребляемую мощность по заданному значению Э.Д.С., а также значение сопротивлений, проводимо- стей или других параметров по заданным значениям тока или напряжения. Для определенности будем полагать, что расчету подлежит значение токов ветвей схемы, приведенной на рис. 2.1.

Суть анализа электрических цепей применением законов Кирхгофа заключается в составлении системы из N независимых линейных уравнений, причем

N = (n − 1) + к,

где: n – число сложных потенциальных узлов, к – число независимых конту- ров.

По первому закону Кирхгофа составляется (n − 1) уравнение, по вто-

рому закону – к уравнений.