Matematika / Математика. Методические указания по подготовке к контрольным работам, часть 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет общих математических и естественнонаучных дисциплин

Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

Методические указания по подготовке к контрольным работам

Часть 1

Учебно-методическое пособие

Специальности: 080507 Ме-

неджмент организации; 080500 Менеджмент; 080504 Государственное и муниципальное управление; 080505 Управление персоналом

ЧЕРЕПОВЕЦ

2009

Рассмотрено на заседании кафедры математики, протокол № 2 от 07.10.08 г. Одобрено редакционно-издательской комиссией ФОМ и ЕНД ГОУ ВПО ЧГУ, прото-

кол № 2 от 21.10.08 г.

Составитель : Г.А. Киселева

Рецензенты : Г.В. Карпова, доцент (ГОУ ВПО ЧГУ); А.В. Толстиков, канд. физ.-мат. наук, проф. (ГОУ ВПО ЧГУ)

Научный редактор : Н.Н. Беляева, канд. пед. наук, проф.

© Киселева Г.А., 2009

© ГОУ ВПО «Череповецкий государственный университет», 2009

2

Введение

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов экономических специальностей как дневной, так и заочной форм обучения.

Пособие содержит контрольные работы по темам «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве», «Введение в анализ».

Задания в контрольных работах составлены с учетом требований Государственного стандарта по специальностям: 080507 «Менеджмент организации», 080500 «Менеджмент», 080504 «Государственное и муниципальное управление», 080505 «Управление персоналом».

Пособие поможет студентам самостоятельно подготовиться к контрольным работам, восполнить обнаруженные в знаниях пробелы и выполнить предложенные контрольные работы качественно.

Контрольная работа 1.1

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Краткие теоретические сведения

1. Прямая на плоскости

1.1. Различные способы задания прямой на плоскости

Уравнение прямой (рис. 1), проходящей через заданную точку M 0 (x 0; y 0) перпендикулярно заданному вектору n A; B , име-

ет вид
A (x – x0) + B (y – y0) = 0.	(1)
	3

n

М0

Рис. 1

Вектор n называется вектором нормали прямой.

Общее уравнение прямой имеет вид

A x + B y + C = 0.

Уравнение прямой (рис. 2), проходящей через заданную точку M 0 (x 0; y 0) параллельно заданному вектору s m; n , имеет вид

	x x0		y y0	.	(2)
	m		n

s

М0

Рис. 2

Вектор s называется направляющим вектором прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3) имеет вид

y = k x + b,

где k = tg .

4

y

0 x

b

Рис. 3

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2) (рис. 4), имеет вид

	x x1		y y1	.	(3)
	x2 x1		y2 y1

M 2

M 1

Рис. 4

Уравнение прямой в отрезках (рис. 5) имеет вид

ax by 1.

y

b

0 a x

Рис. 5

5

1.2. Основные задачи на прямую на плоскости

Расстояние d от точки M 0 (x 0; y 0) до прямой (l): A x + B y + + C = 0 (рис. 6) равно

d

Ax0 By0 C

.

(4)

A2 B2

М0

d

l

Рис. 6

Взаимное расположение прямых

l 1

и

l 2:

уравне-

x x1

y y

y = k1 x + b1

ние

A1

x + B1 y + C1 = 0

1

прямой

m1

n1

l1

уравне-

x x2

y y2

y = k 2 x + b2

ние

A2

x + B2 y + C2 = 0

прямой

m2

n2

l2

угол

A1 A2 B1B2

m1m2 n1n2

между

arccos

arccos

k

k

прямы-

arctg

2

1

A2 B2

A2

B2

m2

n2

m2

n2

1

k1k2

ми l1 и

1

1

2

2

1

1

2

2

l2

l1 l2

A1

B1

m1

n1

k1 = k2

B2

m2

n2

A2

6

																				Окончание
l1 l2					A1 A2 + B1 B2 = 0					m1 m2 + n1 n2 = 0										k1 k2 = – 1
точка										x x1					y y
пересе-				A x B y C 0										1
											m				n				y k x b
чения					1	1	1				1			1						1		1
							C		0		x x 2				y y					y k		x b
прямых				A x B y				2								2					2
					2	2																2
l	1	и l	2								m				n
											2			2

2. Кривые второго порядка

2.1. Эллипс

Каноническое уравнение эллипса с центром в точке (0; 0) и полуосями а и b (рис. 7, 8) имеет вид

x 2

y 2

1.

a 2

b 2

y

a > b,

b

c

ε

,

с2 = a2 – b2,

a

–a

F1

F2

0

a

x

F 1 (–с; 0),

F 2 (с; 0),

–b

ε – эксцентриситет эллипса

(0 < ε < 1), F 1, F 2 – фокусы эллипса

Рис. 7

7

y

a b,

b

ε

c

, с2

= b 2

– a 2,

F2

b

F 1 (0; –с),

F 2

(0; с),

–a

a

0

x

ε – эксцентриситет эллипса (0 < ε < 1),

F1

F 1, F 2 – фокусы эллипса

–b

Рис. 8

Каноническое уравнение эллипса с центром в точке (x0; y0) и полуосями а и b (рис. 9) имеет вид

x x0	2	y y0	2
a 2		b 2	1.

y

b

a

y0

х0 x

Рис. 9

2.2. Окружность

Каноническое уравнение окружности с центром в точке (x0; y0) и радиусом R (рис. 10) имеет вид

8

(x – x 0) 2 + (y – y 0) 2 = R 2.

у

0 x0

y0

х

R

Рис. 10

2.1. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (0; 0), с действительной полуосью a и мнимой полуосью b (рис. 11) имеет вид

x 2

y 2

1.

a 2

b 2

b

c

2

2

2

y

x у

y

b

x

ε

,

с

= a

+ b

,

a

a

b

a

F1 (–с; 0),

F2 (с; 0),

F1 –а 0

а F2

х

F1, F2 – фокусы

гиперболы,

-

–b

эксцентриситет

гиперболы

(

> 1),

y

b

x – асимптоты гиперболы

a

Рис. 11

Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (0; 0), с действительной полуосью b и мнимой полуосью a (рис. 12) имеет вид

9

y 2

x 2

1.

b 2

a 2

у

c

b

F2

y

b

x

ε

, с2

= a 2 + b 2,

b

y

x

a

a

b

F1(0; –с),

F2 (0; с),

–а 0

а

х

–b

F1, F2 – фокусы гиперболы,

-

F1

эксцентриситет гиперболы (

> 1),

y

b

x – асимптоты гиперболы

a

Рис. 12

Канонические уравнения гиперболы с центром в точке (x 0; y 0) имеют вид

x x0	2	y y0 2		– действительная ось Ox; (5)
a 2		b 2	1
y y0	2	x x	2	– действительная ось Oy.
b 2		0	1
		a 2

2.4. Парабола

Канонические уравнения параболы с вершиной в точке (0; 0) (рис. 13-16) имеют вид

y2 = ± 2 p x;

x 2 = ± 2 p y.

10