Примеры лабораторных работ по физике / Работа 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет общих математических и естественнонаучных дисциплин

Кафедра общей физики

ФИЗИКА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению лабораторной работы

для студентов инженерных и педагогических специальностей

Череповец

Лабораторная работа № 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА.

При рассмотрении многих задач динамики вращательного и колебательного движения важное значение приобретает понятие момента инерции твердого тела относительно заданной оси.

Моментом инерции I материальной точки относительно какой-либо оси называется произведение массы m этой точки на квадрат её расстояния r до оси:

I = mr² (1)

Момент инерции тела относительно какой-либо оси равен сумме моментов инерции материальных точек тела относительно этой оси (закон аддитивности):

(2)

Момент инерции является физической величиной, характеризующей инерционность тела при изменении им угловой скорости под действием вращающего момента. Момент инерции одного и того же тела будет различным в зависимости от выбора оси вращения. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его инерции, то момент инерции относительно другой оси, параллельной первой, может быть найден на основании теоремы Штейнера. Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен моменту инерции тела I₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, плюс произведение массы тела и квадрата расстояния а между осями (рис.1): I = I₀ + ma² (3)

Рис.1

Цель работы:

1. Изучение метода определения моментов инерции путем крутильных

колебаний.

2. Определение момента инерции цилиндра относительно оси, проходящей вне цилиндра, параллельной его оси симметрии.

Теория метода

Экспериментальная установка

Установка представляет собой кронштейн (рис.2) с подвешенным на проволоке диском. Исследуемое тело - цилиндр 2 закрепляется на краю диска. Если нить закрутить на некоторый угол и отпустить, система придет в колебательное движение - крутильные колебания. Если начальный угол закручивания достаточно мал (  5°), колебания будут гармоническими:

рис.2

(4)

где ₀ - амплитудное значение угла закручивания, Т - период крутильных колебаний, t - время.

Дифференциальное уравнение движения системы согласно основному закону динамики вращательного движения можно записать:

(5)

где: I - момент инерции системы,

- угловое ускорение системы,

с - модуль кручения, зависит от материала, диаметра и длины проволоки.

Уравнение (5) легко приводится к виду:

(6)

Уравнение (6) представляет дифференциальное уравнение колебаний крутильного маятника. В теории колебаний показывается, что коэффициент перед  в этом уравнении имеет физический смысл квадрата собственной частоты ,т.е.

, (7), (8)

Таким образом, из формулы (8) следует, что:

(9)

Вычисление момента инерции тела производится просто, если известен модуль кручения с.

Специальным приёмом можно исключить коэффициент с из формулы (9). Возьмём тело, момент инерции которого легко рассчитать (эталонное тело), в установке - диск. Для него формула (9) запишется в виде:

, откуда (10)

Подставляя значение коэффициента с в (9), получим формулу для определения суммарного момента инерции исследуемого тела и эталона (закон аддитивности для I):

(11)

Для момента инерции исследуемого тела имеем:

(12)

Если учесть, что

(13) и (14),

то получим рабочую формулу:

(15)

где: t, tэ-время n колебаний системы - исследуемых цилиндров с эталоном и эталона соответственно.

M, D - масса и диаметр диска эталона.

Приборы и принадлежности: установка (крутильный маятник), секундомер, штангенциркуль, набор исследуемых цилиндров.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

1. Задать системе для начала крутильных колебаний вращательный импульс специальным рычажком в верхней части экспериментальной установки. Этим достигается почти полное отсутствие других, не крутильных колебаний (снижении систематических погрешностей).

2. Измерить время n полных колебаний (n = 20-30) в начале диска (эталона), а затем, накладывая на него исследуемые цилиндры.

Момент инерции цилиндра в соответствии с теоремой Штейнера может быть рассчитан по формуле:

, (16)

где: m - масса цилиндра,

d - диаметр цилиндра,

а - расстояние от оси проволоки до центра груза на диске.

Результаты измерений удобно представит в таблицу формы 4.

Форма 4

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.

Вычисление момента инерции цилиндра I_ЭКС, I_РАСЧ [формулы (15) и (16)], погрешностей I, I/I рекомендуется провести с использованием ПМК Б3-34 по программе “Теорема Штейнера”. Формула для расчета погрешности, заложенная в программу имеет вид:

.

Программа “Теорема Штейнера-1”

1	6	F1/x	ИП0	Fx^2	ИП1	Fx^2	/	1	-
х	ИП2	х	ИП3	Fx^2	х	ПА	ИП4	2	х
ИП0	ИП1	-	/	Fx^2	ИП4	2	х	ИП1	/
Fx^2	+	F	ПВ	ИПА	х	С/П

ИНСТРУКЦИЯ:

1. Ввести программу и перейти в автоматический режим.

2. Разместить исходные данные в ячейках памяти: tПО; tэП1; МП2; DП4; tП4.

3. Запустить программу командами В/О, С/П и после останова записать с экрана значение I_ЭКС.

4. Величины I_ЭКС и I/I записаны в ячейках памяти А и В соответственно.

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР: t=20; t_Э=10; М=1.6; D=0.2; t=0.2; М=0.

РЕЗУЛЬТАТЫ: I=1.27*10^-2; I = 6.7887*10^-4; I/I=5.65687*10^-2.

Программа “Теорема Штейнера-2”.

ИП5

ИП6

Fx^2

8

/

ИП7

Fx^2

+

х

С/П

ИНСТРУКЦИЯ:

1. Ввести программу и перейти в автоматический режим.

2. Разместить исходные данные по ячейкам памяти: mП5; dП6; аП7.

3. Запустить программу и после останова записать значение I_РАСЧ.

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР: m=0.1; d=0.05; a=0.1.

РЕЗУЛЬТАТ: I=1.037*10^-3.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте теорему Штейнера, особенности формулировки.

2. Запишите формулы для вычисления момента инерции в динамике вращательного движения.

3. Выведите выражения для вычисления I и I/I.