Школьная программа по математике / Степени и корни
.pdfТема 2. Степени и корни
Часть 1. Степень с целым показателем.
Определение 1. Степенью а n действительного числа а с целым показателем n называется число, определяемое следующим образом:
1) |
a0 1 , если a 0 ; |
|||
2) |
an a a ... a, |
n N |
||
3) |
a n |
1 |
, n N |
|
|
|
|||
|
|
a n |
|
При этом число a называется основанием степени a n , число n - показателем степени.
Основные свойства степени с целым показателем:
1) an am an m ;
2) (a b)n an bn ;
3) |
|
а n |
a n m ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
( |
a |
)n |
a n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
b |
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
(am )n amn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Часть 2. Степень с рациональным показателем. |
|
|
|
|
||||||
Определение 2. Степенью числа а(а 0) с рациональным показателем |
p |
|
( p - целое |
||||||||||||||
q |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
число, q - натуральное число, q 2 ) называется число a q |
(q |
|
) p q a p . |
|
|||||||||||||
a |
|
Основные свойства степени с рациональным показателем:
1) na b na nb ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
n |
a |
|
n a |
|
; |
||
|
|
|
|
|||||
b |
n b |
|||||||
|
|
|
|
|
3) mn a m na ;
4) mn am na
Тренировочные задания:
Упростить и вычислить:
1)(15) 2 5 3 : 5 4 ;
2)36 9 2 54 9 125 (15) 1 ;
3) |
(9 3 2 |
4 ( |
2 |
|
) 2 ) : (100 |
|
|
1 |
); |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 2 53 |
|
10 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 4 52 10 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5) (6 4 ( |
5 |
|
)0 ) 2 |
( |
2 |
) 1 |
9 |
1 ( |
2 |
) 1 . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|||
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
4 81 0,0001 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2) |
3 0,9 3 |
|
|
0,03 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) |
3 3 4 |
17 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4) |
|
3 256 |
5 27 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4 3 3 0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
5)543 484 4243 33 2 43 ;
6) (0,001) |
1 |
|
2 |
8 |
4 |
|
|||||||
3 |
2 2 64 3 |
3 |
(90 )2 5 ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) 3 12 4 5 3 12 4 5 . |
|
|