Математика-1 курс / С.А. Парыгина и др. Математика - Часть 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет общих математических и естественнонаучных дисциплин

Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

Часть 2

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Учебно-методическое пособие

Череповец

2012

Рассмотрено на заседании кафедры математики, протокол № 10 от 22.05.12 г. Одобрено редакционной комиссией Факультета общих математических и есте-

ственнонаучных дисциплин ЧГУ, протокол № 3 от 29.05.12 г.

С о с т а в и т е л и : Т.В. Гордобаева, Г.А. Киселёва, С.А. Парыгина, Н.В. Плотникова, И.А. Сенатова

Р е ц е н з е н т ы: О.А. Кашинцева, канд. техн. наук, доцент; В.А. Окунева, канд. физ.-мат. наук, доцент

Н а у ч н ы й р е д а к т о р: А.В. Толстиков, канд. физ.-мат. наук, проф.

© Коллектив авторов, 2012

© ФГБОУ ВПО «Череповецкий государственный университет», 2012

2

Введение

Настоящее учебно-методическое пособие подготовлено для студентов первого курса различных направлений подготовки бакалавриата и специалитета. Пособие состоит из трех частей, охватывающих такие разделы дисциплины «Математика», как «Введение в дискретную математику», «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия» и «Введение в математический анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной».

Пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов по указанным разделам дисциплины «Математика» и рекомендуется для использования в рейтинговой оценке успеваемости студентов.

Часть 2 «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия» состоит из двух тем. По теме «Линейная алгебра» студентам предлагаются задания на:

–выполнение операций над матрицами;

–вычисление определителя;

–нахождение ранга матрицы;

–решение систем линейных уравнений различными способами;

–использование методов векторной алгебры для решения геометрических задач.

По теме «Аналитическая геометрия» – задания на:

–составление уравнений прямой на плоскости и в пространстве, уравнения плоскости;

–вычисление расстояния от точки до прямой и от точки до плоскости;

–построение линий и поверхностей второго порядка.

3

1.ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

1.1Матрицы и определители

Задание 1.1.1. Даны матрицы:

2		1	3			4		1	0			4		3	2			0		2 1
					,						,						,
A	0 4		2			B	2	1	1			C	5	1 0				D	3	1	5	.
	3	2	1				5	1					7	2	1				1	4	2
									3

	Номер	Вычислить	Номер	Вычислить
	варианта		варианта
	1	BA – 7C + D	16	D + 3B – 2CA
	2	B + CD – 3A	17	– 5A + BC + 4D
	3	– C – 4DA + B	18	B + 4DB – 7A
	4	D + A – 2BC	19	– DC – 2A + 5B
	5	– 3BA + C – 2D	20	7D – 5A – CB
	6	4B + 3DC – A	21	– B + 4AC – 6D
	7	D – 5A + 2CB	22	2B – 7C – AD
	8	DA + B – 3C	23	– 3C – 2BD + A
	9	– 2AC + D + 5B	24	D + 7CA – B
	10	B – 7C + 3AD	25	2A + 5BC – D
	11	– CD – 3A + B	26	– 3B – 4C – DA
	12	D + 4BA – 5C	27	3CD – A + 6B
	13	2AB + C – 7D	28	– 2D – 5AB + C
	14	3BD + A – C	29	B – AC + 7D
	15	– C – DB + 4A	30	4C – 4BD – A

Примерный вариант

Вычислить: AB – 2C +3D.

4

Решение.

		2 ( 4) ( 1) 2 3 5			2 ( 1) ( 1) 1 3 1	2 0 ( 1) ( 1) 3 ( 3)
		0 ( 4) 4 2 ( 2) 5			0 ( 1) 4 1 ( 2) 1	0 0 4 ( 1) ( 2) ( 3)
A B
		3 ( 4) ( 2) 2 1 5			3 ( 1) ( 2) 1 1 1	3 0 ( 2) ( 1) 1 ( 3)
	5	0	8
	2	2	2	,
	11	4	1

	2 ( 4)		2 3		2 2					8	6		4
2C		2 5	2 ( 1)		2 0					10	2		0		,
		2 ( 7)	2 2		2 1					14	4		2
		3 0	3 2	3 1			0			6	3
3D	3	( 3) 3	( 1)	3 5			9			3	15		,
		3 1 3	( 4)	3 2			3		12		6

	5 8 0	0 6 6	8 4 3		13		0	9
AB 2C 3D	2 10 9	2 2 3	2 0 15			21	1	17	.
	11 14 3	4 4 12	1 2 6			6	20	3

Задание 1.1.2. Дана матрица A. Вычислить определитель матрицы A двумя способами:

1)по правилу треугольников;

2)с помощью разложения по первой строке для вариантов 1 – 5; по второй строке для вариантов 6 – 10; по третьей строке для вариантов 11 – 15; по первому столбцу для вариантов 16 – 20; по второму столбцу для вариантов 21 – 25; по третьему столбцу для вариантов 26 – 30.

Номер		Матрица A				Номер	Матрица A
варианта						варианта
1			2			3			4
		6	4	3				1	2	3
1		3 2		1		2		2	3 4
		11	7	5				3	2	5

5

Продолжение

1						2					3						4
					2	1	1							3			1	2
3					3 2		2				12			2 3
																		5
						2	1							1			1	1
		1
		6				4	23									2	3	2
4		2				1	7				13				1		2	3
		1				1	5									3	4	1
				1		2	2							2			5	7
5				2 1							14			6 3				4
							2
				2		2	1							5			1
																		3
					2	1	3								3		2	1
6					3	5	1				15				2		1	3
					4	7	0										1
													1					1
	2					1	5									2	3	5
7		5				2					16					3	7	4
							11
		3				1	7									1	2	2
					2	7	3									2	1	1
8					3 9		4				17					3 2		2
					1	5	3								1		2	1
				1		2	3					8					29	11
9				2		1					18		5				18	7
							1
				1		3	4						1				3		1
					2	2	3									3	2	1
10					1	1	0				19					4 5		2
				1		2	1									2	1	4
			3			4	5									2	4	3
11			2			3	1				20				1		2	4
			3			5										3	1	5
							1

6

Окончание

1				2					3				4
		1		1			1					2	7	3
21		38		41	34				26			3	9	4
		27		29	24							1	5	3
			5	6	4					1			1	2
22			3	3	2				27			2	3	1
			4	5	2							2	1	2
			5	6	3						1		2	1
23			2	1	2				28		3		1 1
			7	4	5						1		1		2
		12		6	1							3	2	1
24				16	7				29			1	2	0
		19
			0	1	1							0	1	2
			4	3	2							2	2	3
25			6	2	3				30				1	0
										1
			5	3	2							2	1	1

Примерный вариант

	2	3	4
	5	2	1		двумя спо-
Вычислить определитель матрицы A
	1	2	3

собами:

1)по правилу треугольников;

2)с помощью разложения по первой строке.

Решение.

1) вычислим определитель по правилу треугольников:

7

2	3		4
5	2		1	2 ( 2) 3 5 2 4 3 1 1 (1 ( 2) 4 2 1 2 5 3 3)
1	2		3
12		40 3 ( 8 4 45) 31 41 10.

2) вычислим определитель разложением по элементам первой строки:

2	3	4	1 1		2 1			1 2		5	1		1 3		5	2
5	2	1
			2 ( 1)		2	3		3 ( 1)		1	3		4 ( 1)		1	2
1	2	3

2( 6 2) 3(15 1) 4(10 2) 16 42 48 10.

Задание 1.1.3. Найти ранг матрицы.

Номер					Матрица						Номер			Матрица
варианта											варианта
1						2					3				4
				1	3	2	1	2					1	1	1	1	0
														1 1		1	1
													1
			1 1 1 0					1
1											4		2	2 0 0 1
				1	0	0	2	0					1	1	5	5	2
				0	4	3	1	3
													1	1	1	0	0
		1			7	6	4		2				1	1	0	1	0
													2	1	1	0	2
		3 2				1 3			1
2											5		1	1 0 0 1
		5		16		13	11		5				1	0	1	2	3
		1		12		11	5
									3				1	2	1	4	3
			1		1	1	2		3				1	1	1	0	0
																	1
													2	1	2	1
			2 1			2 1			1
3											6	1		1 1 0 1
			3		2	1	1		6				2	1	2	1	2
			2		1	1	1	4
													3	0	1	1	2

8

Продолжение

1							2						3								4
			1			1	3	2		0						1			1		2	1		0
																							2
																1			5		6	5
	1					1	1	1		1
7													13			1			1		0 1			1
			1			2	1	3		2
																3			7		6	8	3
			1			3	2	5		2
																2			2		0	1	1
	1 1						1	1	1							1 0					0 2 0
			2 3				2 0 3											4 7			1 8 3
8			3 6				6 2 6						14					3 0			0 4 0
			1 2				0 0 2											9 1			5 7 1
			1 3				4 2 3											1 0			0 5 0
	1 1						1 2		2						1 0						1 0 1
		1				1	2 1 1									1			3		1 1		2
9		2 1					0 1		2				15			2			1		2 1 1
		2 5					6 1		8							1 1					1 1 1
		0				1										0			1		2 0 1
							1 4 1
			1			2	2	0	1								1		3		2 2		4
			2			1	0	1	1
																	2 5				4 1 7
10			1 2				1 1		0				16
																	1		1		2	8	2
			1 8				6 2		1								2		4		4	6	6
			0			3	2	3	1
				1		0	0	2	0						1				3		5	2			1
									1
				2		1	1	1
														2					0		1	3			4
11				1		2	1	0	2				17
															1				9		13	0			5
				4 3			3 1		3
															7				9		17	12
				4		3	2	3	3															11
					1	1	1	2	5										1	1	6	0
					2	1	1	3	4
																	2			1	3	1
12					1	0	1	4	7				18
																						3
					1	1	2	5	13										7	4	3
																			5	7	7	8
					2	0	1	5	6

9

Окончание

1							2						3							4
					1 0 0			1							1				2	2 4 1
						2 1 1		0									2 4			1 3		2
19						1 1 1		1					25				1 14			8	6	1
						1 2 3		4									7 2			4 18 7
						0 1 2		3									1 6			3	1	1
		1 1 1						1 1						1 0						1	1 2
				2		1 2		1 1							2 1					1 0			1
20				1 0 1				0 1					26		1 2					2 1			3
				0		1 2		0 1							1 4					10 1			3
				1		3 1		1	2						1				9	28 3		7
	1				1 1			2 0							1 3					1 1		4
			2 0 1					1 2								3 1				3 5 2
21			2 2 0					1 1					27			2 2				1 3 1
			3			5 1		3	3							1			1	2 2 3
			4 4 0					1	3							5 3				4 8 1
			1			1	1	1	0									1	2	5	4	3
																		2	4	7	8	2
			2			1	2	1	2
22													28					1 2		8 4 7
			1			2	1	2	3									1 2		1 4		5
		2				1	1	1	4
																		2	4	1	8	6
		1 1 1						1 1							2 1					3 4		0
				2		4 2		2	5								1 3			2 1 1
23				2		1 2		1	0				29				3 0			1 1		2
				1 1 1				1	2								6 4			0 4 3
				1		2 1		0 2									2 3			1	2	1
		1				2 1		3 1							1 1					1 0 0
				2		9 5		11 2								1 1				1 0 1
24				1		7 4		8 1					30				3 0			1 1 2
				2		1 1		1 2									1 1			1 0		0
				1		3 2		2	1								2 1			2 1 1

10