Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Билеты по математике Ипатова

.pdf
Скачиваний:
11
Добавлен:
23.03.2015
Размер:
302.06 Кб
Скачать

1Билет

1.Матрицы. Типы матриц. Операции над матрицами и их свойства. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.

2.Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности.

АВС:треугольникеВ3.

(1;2;1),

B

2)(7;4;1;7),(3;

Найти.

 

A

 

этоговидопределитьтреугольника,углывнутренние

треугольника.

 

 

 

 

2Билет

1.Определитель 2 порядка и его свойства. Определитель третьего порядка и его свойства. Определитель n-го порядка и его свойства.

2.Поверхности 2-го порядка. Конические поверхности.

3.Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

 

1

2

2

3

0=

 

 

 

 

 

3+

 

1−=

 

 

 

 

2

3

 

2

 

+

 

 

 

3=

 

1

 

2

3

 

 

 

 

 

3Билет

1.Определитель n-го порядка и его свойства.

2.Поверхности 2-го порядка, полученные в результате вращения и деформации (эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды).

3.Даны единичные векторы: a, b , c. Вектор ar ортогонален

векторам

 

 

и

векторамимеждуугола,c

b

cи

60равен

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

векторовпроизведениескалярноеНайти

 

и

если,

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.c

 

 

 

 

 

 

r

 

 

s

 

b

 

 

r

 

q

 

a

 

b

 

 

 

 

 

 

 

p

=

a

+

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

2

 

,

 

=

 

4

5

 

 

 

 

 

 

4Билет

1.Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Обратная матрица (основные теоремы и свойства).

2.Кривые 2-го порядка. Гипербола. Парабола. Канонические уравнения и основные характеристики.

значениикакомПри3.

 

векторы

a

 

s

 

r

 

r

bи

 

i

 

j

k

 

 

i

 

j

 

k

 

 

 

 

 

r

 

 

3

 

2+

 

 

 

 

2+

 

 

 

α

 

 

α=

 

 

 

 

=

 

 

α

ортогональны?будут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5Билет

1.Система линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.

2.Плоскость в пространстве. Способы задания плоскости в пространстве. Векторное и нормированное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

3.В параллелограмме АВСД: AB = 5 p + 2q и AD = p 3q. Угол между

векторами

p

и

равен

45

0

,

p

2

q,2

3.

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти:

 

и

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

AC

 

BD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6Билет

1.Ранг матрицы. Неоднородная система линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

2.Кривые 2-го порядка. Эллипс. Гипербола. Канонические уравнения и основные характеристики.

3.Три силы приложены в одной точке

 

:7)(5;3;

4;2),(3;1

5),2;3;(2

(3

.2;4)3;

M

 

F

F

F

 

 

 

 

 

 

r

телосилэтихRравнодействующейдействиемПод

1;4;(Nточкувпереместилось

аботуриНайт.4)

.MNперемещениюпоравнодействующей

7Билет

1.Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Теорема единственности. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

2.Полярная система координат. Связь полярной системы координат с декартовой. Кривые в полярной системе координат: окружность, луч, спираль Архимеда, лемниската Бернулли.

3.Даны три компланарных вектора a, b и . Углы между

aвекторами

и

bмеждуи

cи

60равны

;

a

3,

b

2,

c

5.

r

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

векторамодульНайти

.cb+a=r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8Билет

1.Понятие эквивалентных матриц. Элементарные преобразования матриц. Приведение ненулевой матрицы к треугольному виду с помощью линейных преобразований. Метод Гаусса решения линейных систем.

2.Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

векторНайти3.

векторуданномуколлинеарный,

r

1),2;1;(

если

q

 

a

=

3.

 

 

 

 

9Билет

1.Векторы. Коллинерность векторов. Линейные операции над векторами. Угол между векторами, проекция вектора на ось.

2.Нормированное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

 

 

 

3114

 

 

 

определитель:Дан3.

 

 

0

12

1

Вычислить.

.A

D

=

3

 

2

 

51

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

42

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10Билет

1.

линейнойоТеоремывекторов.зависимостьЛинейная

 

Базис.пространстве.мерном-3хи-2хввекторовзависимости

 

афинномввектораРазложениебазиса.афинногоПонятие

 

базисе.

 

 

 

 

 

 

2.

Условияплоскости.напрямымидвумямеждуУгол

 

плоскости.напрямыхперпендикулярностиипараллельности

3.

Крамера:формулампоуравненийлинейныхсистемуРешить

 

1

2

2+

2=3

 

 

 

 

+

 

 

1−=33

 

2

1

 

2

 

 

 

 

 

0=

 

3

1

2

 

 

 

 

 

11Билет

1.Ортонормированный базис. Декартова система координат. Проекции, координаты, длина и направляющие косинусы вектора. Радиус вектор. Действия с векторами, заданными в декартовой системе координат.

2.Прямая в пространстве. Общие и канонические уравнения прямой в пространстве. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду. Параметрическое задание прямой в пространстве.

3.Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг ОХ:

 

x

 

+

y

1,=

L:

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

0=

 

 

 

z

 

 

12Билет

1.Векторное произведение двух векторов и его свойства.

2.Прямая на плоскости. Различные уравнения прямой на плоскости.

3.Составить уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной вектору а(6;3;1) и направляющей

x

y+

9,=

L:

0=

 

z

 

13Билет

1.Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

2.Преобразование системы координат на плоскости.

3.Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке С(4;5;-3) и направляющей

 

x

+

y

1,=

 

 

 

 

 

L:

9

 

16

 

 

 

 

 

 

0=z

 

 

14Билет

1.Смешанное векторное произведение и его свойства. Условие компланарности трех векторов.

2.Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках.

3.Определить поверхность и построить ее эскиз:

5x − y +10 = 0

15Билет

1.Угол между прямыми в пространстве. Скрещенные прямые. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Условие пересечения прямых.

2.Цилиндрические и конические поверхности 2-го порядка.

 

 

11

1

1

 

 

определитель:Дан3.

 

01

 

 

 

2

2

Вычислить.

.14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=D

1

 

01

 

1

 

A

 

 

 

 

 

 

31

02