Билеты по математике Ипатова
.pdf1Билет
1.Матрицы. Типы матриц. Операции над матрицами и их свойства. Линейная зависимость строк и столбцов матрицы.
2.Поверхности 2-го порядка. Цилиндрические поверхности.
АВС:треугольникеВ3. |
(1;2;1), |
B |
2)(7;4;1;7),(3; |
Найти. |
|
A |
− |
|
|
этоговидопределитьтреугольника,углывнутренние |
||||
треугольника. |
|
|
|
|
2Билет
1.Определитель 2 порядка и его свойства. Определитель третьего порядка и его свойства. Определитель n-го порядка и его свойства.
2.Поверхности 2-го порядка. Конические поверхности.
3.Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:
|
1 |
− |
2 |
2− |
3 |
0= |
||
|
|
|
|
|
3+ |
|
1−= |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|||
|
2 |
|
+ |
|
|
− |
|
3= |
|
1 |
|
2 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
3Билет
1.Определитель n-го порядка и его свойства.
2.Поверхности 2-го порядка, полученные в результате вращения и деформации (эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды).
3.Даны единичные векторы: a, b , c. Вектор ar ортогонален
векторам |
|
|
и |
векторамимеждуугола,c |
b |
cи |
60равен |
0 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
векторовпроизведениескалярноеНайти |
|
и |
если, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.c |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
s |
|
b |
|
|
r |
|
q |
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
= |
a |
+ |
− |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
2 |
|
, |
|
= |
|
− |
4 |
− |
5 |
|
|
|
|
|
|
4Билет
1.Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Обратная матрица (основные теоремы и свойства).
2.Кривые 2-го порядка. Гипербола. Парабола. Канонические уравнения и основные характеристики.
значениикакомПри3. |
|
векторы |
a |
|
s |
|
r |
|
r |
bи |
|
i |
|
j |
k |
|
|
i |
|
j |
|
k |
|
|
|||||||
|
|
|
r |
|
|
3− |
|
2+ |
|
|
|
|
2+ |
|
|
|
α |
|
|
α= |
|
|
|
|
= |
|
|
α− |
|||
ортогональны?будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5Билет
1.Система линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом Крамера.
2.Плоскость в пространстве. Способы задания плоскости в пространстве. Векторное и нормированное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
3.В параллелограмме АВСД: AB = 5 p + 2q и AD = p −3q. Угол между
векторами |
p |
и |
равен |
45 |
0 |
, |
p |
2 |
q,2 |
3. |
||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти: |
|
и |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
AC |
|
BD |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6Билет
1.Ранг матрицы. Неоднородная система линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
2.Кривые 2-го порядка. Эллипс. Гипербола. Канонические уравнения и основные характеристики.
3.Три силы приложены в одной точке
|
:7)(5;3; |
4;2),(3;1 |
5),2;3;(2 |
(3 |
.2;4)3; |
M |
|
F |
F |
F |
|
|
|
|
|
|
r |
телосилэтихRравнодействующейдействиемПод |
|||||
1;4;(Nточкувпереместилось |
аботуриНайт.4) |
||||
.MNперемещениюпоравнодействующей |
7Билет
1.Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Теорема единственности. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Решение матричных уравнений.
2.Полярная система координат. Связь полярной системы координат с декартовой. Кривые в полярной системе координат: окружность, луч, спираль Архимеда, лемниската Бернулли.
3.Даны три компланарных вектора a, b и . Углы между
aвекторами |
и |
bмеждуи |
cи |
60равны |
; |
a |
3, |
b |
2, |
c |
5. |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
векторамодульНайти |
.c−b+a=r |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
8Билет
1.Понятие эквивалентных матриц. Элементарные преобразования матриц. Приведение ненулевой матрицы к треугольному виду с помощью линейных преобразований. Метод Гаусса решения линейных систем.
2.Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
векторНайти3. |
векторуданномуколлинеарный, |
r |
1),2;1;( |
если |
||||
q |
|
a |
= |
3. |
|
|
|
|
9Билет
1.Векторы. Коллинерность векторов. Линейные операции над векторами. Угол между векторами, проекция вектора на ось.
2.Нормированное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой на плоскости.
|
|
|
3114 |
|
|
|
|||||
определитель:Дан3. |
|
|
0 |
− |
12 |
− |
1 |
Вычислить. |
.A |
||
D |
= |
3 |
|
2 |
|
51 |
|||||
|
|
|
− |
− |
|
|
|||||
|
|
|
− |
1 |
|
1 |
42 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10Билет |
||||
1. |
линейнойоТеоремывекторов.зависимостьЛинейная |
||||||
|
Базис.пространстве.мерном-3хи-2хввекторовзависимости |
||||||
|
афинномввектораРазложениебазиса.афинногоПонятие |
||||||
|
базисе. |
|
|
|
|
|
|
2. |
Условияплоскости.напрямымидвумямеждуУгол |
||||||
|
плоскости.напрямыхперпендикулярностиипараллельности |
||||||
3. |
Крамера:формулампоуравненийлинейныхсистемуРешить |
||||||
|
1 |
− |
2 |
2+ |
2=3 |
||
|
|
|
|
+ |
|
|
1−=33− |
|
2− |
1 |
|
2 |
|||
|
|
|
− |
|
|
0= |
|
|
3 |
1 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
11Билет
1.Ортонормированный базис. Декартова система координат. Проекции, координаты, длина и направляющие косинусы вектора. Радиус вектор. Действия с векторами, заданными в декартовой системе координат.
2.Прямая в пространстве. Общие и канонические уравнения прямой в пространстве. Приведение общего уравнения прямой к каноническому виду. Параметрическое задание прямой в пространстве.
3.Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии вокруг ОХ:
|
x |
|
+ |
y |
1,= |
|
L: |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||
a |
|
|
b |
|
||
|
|
0= |
|
|
||
|
z |
|
|
12Билет
1.Векторное произведение двух векторов и его свойства.
2.Прямая на плоскости. Различные уравнения прямой на плоскости.
3.Составить уравнение цилиндрической поверхности с образующей, параллельной вектору а(6;3;1) и направляющей
x |
y+ |
9,= |
L: |
0= |
|
z |
|
13Билет
1.Скалярное произведение двух векторов и его свойства.
2.Преобразование системы координат на плоскости.
3.Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке С(4;5;-3) и направляющей
|
x |
+ |
y |
1,= |
|
|
|||||
|
|
||||
|
|
||||
L: |
9 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0=z |
|
|
14Билет
1.Смешанное векторное произведение и его свойства. Условие компланарности трех векторов.
2.Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках.
3.Определить поверхность и построить ее эскиз:
5x − y +10 = 0
15Билет
1.Угол между прямыми в пространстве. Скрещенные прямые. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Условие пересечения прямых.
2.Цилиндрические и конические поверхности 2-го порядка.
|
|
11 |
− |
1 |
− |
1 |
|
|
|||||
определитель:Дан3. |
|
01 |
|
|
|
2 |
− |
2 |
Вычислить. |
.14 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
=D |
1 |
|
01 |
|
1 |
|
A |
|||||
|
|
− |
− |
|
|
||||||||
|
|
− |
31 |
− |
02 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|