Хвостенко Кривые 2 порядка

	К Р И В Ы Е В Т О Р О Г О П О Р Я Д К А
	О к р у ж н о с т ь
	Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равно-
удалённых от данной точки, называемой центром.
								Пусть C a, b	– центр окружности.
y	M1							Расстояние от любой точки окружности до
							M 2	центра r – радиус окружности. M x, y –
			C					любая точка окружности (рис. 1).
			r					r x a 2 y b 2 ,
	M							x a 2 y b 2 r2			(1)
O							x	Уравнение (1) есть уравнение окруж-
			Рис. 1					ности с центром C a, b и радиусом r .
	Если M	1	x ,		y	лежит вне окружности, то x a 2			y b 2	r2 .
			1		1			1	1
	Если M	2	x	, y		2	лежит внутри окружности, то x a 2 y			b 2	r2 .
			2					2	2
	Если центр окружности лежит в начале координат, то уравнение (1) имеет

вид:

x2 y2 r2 .	(2)
Уравнение (2) есть каноническое уравнение окружности. Параметриче-
ские уравнения окружности x x0 r cost ,	y y0 r sin t , где x0 , y0 – коорди-
наты центра окружности, 0 t 2 .

Э л л и п с

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назы-

ваемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами (рис. 2, 3).

a

a b

y

a

b

B

M

r1

r2

F1

F2

A

a

c

O

c

a

x

b

Рис. 2.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

x2

y2

1.

(3)

a2

b2

a OA – большая полуось, b OM – малая полуось. Центр в начале координат.

Фокусы F c; 0 и F c; 0 , где c

a b , c

a b .

a2 b2

b2 a2

1

2

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстоя-

ния 2c к длине 2a большой оси.

2c

c

, 1

b2

a b ,

2c

c

, 1

a2

a b .

a2

2a

a

2b

b

b2

Чем больше , тем более эллипс вытянут вдоль большой оси, чем меньше

, тем более эллипс по форме ближе к окружности.

0 .

Фокальными радиусами точки M эллипса называются отрезки прямых,

соединяющих эту точку с фокусами F1 и F2 . Их длины r1

и r2

вычисляются по

формулам r1 a x , r2 a x , r1 r2

2a , где

– эксцентриситет эллипса.

Директрисами эллипса называются прямые, определяемые уравнениями

x

a

,

x

a

a b , y

b

,

y

b

a b .

Если a b , то эллипс превращается в окружность x2

y 2

a2 .

Если M

x , y лежит на эллипсе, то

x12

y12

1.

1

1

1

a2

b2

Если M

x , y лежит вне эллипса, то x12

y12

1.

1

1

1

a2

b2

Если M

x , y лежит внутри эллипса, то x12

y12

1.

1

1

1

a2

b2

Если центр эллипса перемещен в точку x0 ,

y0 ,

то каноническое уравне-

ние эллипса примет вид

x x0 2

y y0

2

a2

b2

1.

y

a b

a

b

B

F c

1

r1

A

a

O

a

x

r2

M

F2

c

a

b

Рис. 3.

Параметри-

ческие

уравнения эл-

липса имеют вид

x a cost , y bsin t , 0 t 2 .

Г и п е р б о л а

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каж-

дой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, той же плоскости есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы (рис. 4) имеет вид:

				x2	y2	1,
				a2	b2
где a OA – действительная полуось, b OB – мнимая полуось.
	b			y
				a		a
a
							M
				b B
							r2
F1	r1		A'			A	F2
c		a		O		a	c	x
				b B'

Рис. 4.

Центр лежит в начале координат. A и A' – вершины гиперболы.

Координаты фокусов гиперболы F1 c; 0 и F2 c; 0 , где c a2 b2 .

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстоя-

ния 2c к длине 2a действительной оси.

		c	, 1	b2	1.
		a		a2

Асимптотами гиперболы называются прямые, определяемые уравнения-

ми y ba x , y ba x .

Директрисами гиперболы называются прямее, определяемые уравнения-

ми x a , x a .

Фокальные радиусы точки правой ветви гиперболы вычисляются по фор-

мулам r1 x a , r2 x a .

Фокальные радиусы точки левой ветви гиперболы вычисляются по фор-
мулам r1 x a , r2 x a .
Для любой точки M гиперболы выполняется условие F1M F2 M 2a .
Если центр гиперболы смещен параллельно относительно системы коор-
динат xOy таким образом, что центр гиперболы находится в точке C x0 ; y0 , то-
гда гипербола определяется уравнением
x x0		2	y y0	2
	a2		b2	1.
Гипербола (рис. 5), уравнение которой имеет вид x2						y2 1, называет-
					a2	b2
ся сопряженной с гиперболой x2	y2	1.
a2	b2
		y
	c	F2		b
					a
		r2
		B		b
	b
A'			A
a		O	a		x
	b			b
		B'
			r1	M
	c	F
		1
	Рис. 5.

BB' – вершины гиперболы.

b OB – действительная полуось, a OA – мнимая полуось.

Фокусы F 0; c и

0; c , где c

F

a2

b2 .

1

2

Асимптоты y

b

x ,

y

b

x .

a

a

Эксцентриситет

c

,

a2

1.

b

b2

Директрисы y

b

,

y

b

.

Фокальные радиусы верхней ветви гиперболы r1

y b , r2 y b .

Фокальные радиусы нижней ветви гиперболы r1

y b , r2 y b .

П а р а б о л а

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из кото-

рых расстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.

		y
p	N		M	Уравнение параболы (рис. 6), симмет-
2				ричной относительно оси Ox и проходящей
		r
				через начало координат, имеет вид:
	O	F		x	y2 2 px .
				Уравнение директрисы x p .
					2
				p
				Фокус F	; 0 . Фокальный радиус от
		Рис. 6.		2

M x; y вычисляется по формуле r x 2p .

Для любой точки M параболы выполняется правило MF MN . p 0 – параметр параболы.

	Если вершина параболы находится в точке C x0 , y0 , то параболы опреде-
ляется уравнением y y0 2 2 p x x0 .
	Эксцентриситет параболы равен единицы.
	Если		фокус	параболы имеет координаты		y
	p					M		N
F		; 0 , уравнение параболы (рис. 7) имеет
	2					r
вид:	y2 2 px .
	Если фокус параболы лежит на оси Oy в					F	O	x
			p					p
точке								2
		F 0;	, то уравнение параболы (рис. 8)
			2
имеет вид:			x2 2 py .
						Рис. 7.
						p
	Если фокус параболы лежит в точке F 0;					, то уравнение параболы
						2
(рис. 9) имеет вид: x2 2 py .
			y	p		y
	N			2		F	r
			O	x			M
M								x
						O
		r
			F	p			N
					2
		Рис. 8.				Рис. 9.