05 Элем преобр м-ц Ур-я

Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы

Под элементарными преобразованиями матриц понимают:

1. Умножение элементов любой строки (любого столбца) матрицы на число, от-

личное от нуля.

2.Перестановку двух строк (столбцов) матрицы.

3.Вычёркивание строки, все элементы которой равны нулю.

4.Умножение любой строки (столбца) на число, отличное от нуля.

5.Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой

строки.

Каждое элементарное преобразование строк или столбцов матрицы имеет обратное элементарное преобразование. Всякую матрицу можно элементарными преобразования-

ми привести к диагональной форме.

			a11		a12	...	a1n
	Минором k -го порядка матрицы	A	a21		a22	...	a2n	называется определитель
			... ...			...	...
					an 2	...
			an1				ann
	k -го порядка, составленный из элементов матрицы					A , расположенных на пересечении
	выделенных строк и столбцов. Матрица A имеет Ck C k миноров k -го порядка.
					m	n
	a11	a12	a13
	П р и м е р . У матрицы A a21	a22	a23		девять миноров первого порядка, девять
		a32
	a31		a33

миноров второго порядка, и один минор третьего порядка.

Рангом r матрицы A ( Rg A r ) называется наибольший порядок минора этой мат-

рицы, отличный от нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимают равным нулю.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой мат-

рицы называется базисным минором матрицы. Матрица может иметь несколько базис-

ных миноров. Строки и столбцы матрицы, в которых расположен выбранный базисный минор, называется базисным.

Если квадратная матрица порядка n невырожденная, то её ранг равен n .

Ранг диагональной матрицы равен количеству её ненулевых диагональных элемен-

тов.

Если Rg A r , то матрица имеет хотя бы один минор порядка r , отличный от нуля,

а все её миноры больших порядков равны нулю.

При транспонировании матрицы её ранг не меняется, т.е. Rg AT Rg A.

Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях её строк и столбцов.

Прямоугольная матрица называется ступенчатой, если любая её строка имеет хотя бы один неравный нулю элемент и если первый неравный нулю элемент её каждой стро-

ки, начиная со второй, расположен правее первого неравного нулю элемента предыду-

щей строки. Квадратная ступенчатая матрица называется треугольной.

Спомощью элементарных преобразований строк любую матрицу можно привести

кступенчатому виду.

Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк.

Вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров

Минор M ' матрицы A называется окаймляющим для минора M , если он получа-

ется из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матрицы

A .

Выбирается ненулевой минор первого порядка ( ai j 0 ). Затем вычисляются

окаймляющие его миноры следующего порядка, пока не найдется минор отличный от нуля. Если этого сделать нельзя, то последний, отличный от нуля, минор является базис-

ным.

П р и м е р	1 . Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу
		3	4	5
A 1 для матрицы	A	2	3	1 .
		3	5
				1
Р е ш е н и е . Составим матрицу A										E :
							3				4	5		0	0
													1
				A		E		2			3	1	0	1	0
								3			5	1	0	0	1

Необходимо выполнить элементарные преобразования так, чтобы получилась матрица E A 1 .

						1		4		5					0	0
													1
								3		3			3
			1
							3
	I	строку умножим на		, получим:		2				1			0		1	0	.
			3
						3	5			1			0		0	1

В столбце ниже элемента a11 1 нужно получить нули, поэтому II II I ( 2) ,
		1		4			5							0	0
										1
				3			3			3
					1			7				2
получим матрицу:		0												1	0	.
				3			3			3
		3	5				1			0				0	1

		1		4			5							0	0
										1
				3			3			3
					1			7				2
А затем, III III I ( 3) , получим:		0												1	0	.
				3			3			3
		0	1				6			1 0					1

	На месте элементов a12										и a32 нужно получить нули. Для этого I I II ( 4) ,									получим:
	1	0			11					4	0		1		0	11		3	4	0
								3
			1			7			2												.
	0									1	0	и II II ( 3) , в результате:		0	1	7		2	3	0
		3			3			3
														0	1 6			1 0		1
		1			6			1		0	1
	0

	1		0	11		4	0
					3
Затем, III III II , получим:		0	1	7	2	3	0
								.
		0	0	1	1	3	1

Выше элемента a33 в столбце получим нули, для этого:

I I III ( 11)

II II III ( 7) , получим: III III

	8		29	11
1		5 18		7
О т в е т : A					.
		1	3	1

1 0			0		8	29	11
	0	1 0			5	18	7		E		A 1 .
	0	0	1		1	3	1

	1	3	2	2
	2	0	1	3
П р и м е р 2 . Найти ранг матрицы A					.
	1	3	0	5
	2	0	3	0

Р е ш е н и е .

12

A 1

2

3	2	2		I I			1 3			2	2		I I
0	1	3		~ II II I ( 2)			~	0	6	3 1			~ II II		~
3	0	5		III III I				0	0	2	3		III III
	3				( 2)				6	1 4
0		0		IV IV I				0					IV IV	II

1		3 2		2		I I		1 3			2	2
~	0	6	3	1		~ II II		~	0	6	3 1 .
	0	0	2	3		III III			0	0	2	3
			2	3
	0	0				IV IV	III		0	0	0	0

Следовательно, rang A 3.

Р е ш е н и е м а т р и ч н ы х у р а в н е н и й

Решение матричного уравнения AX B относительно неизвестной матрицы X :

A 1 AX A 1B ,

EX A 1B ,

X A 1B .

Решение матричного уравнения XA B относительно неизвестной матрицы X :

XAA 1 BA 1 ,

XE BA 1 ,

X BA 1 .

	1	2	1			3	1 0
	1	3	2			1	6	3
П р и м е р 3 . Решить уравнение					X				.
	2	4				3	3
			1					1

Р е ш е н и е . AX B , X A 1B .

	1	2	1				3	1 0
A	1	3 2			,	B	1	6 3		.
	2	4					3	3
			1						1

Находим обратную матрицу A 1 :

		1	2				1	1	2
	1
1) det A	2	3	4	3;	T		2	3	4		;
					2) A
	1	2 1					1
								2 1

								4					2		4				2			3
						3
						2		1				1			1					1		2
																													5		6		7
						1 2							1 2								1 1
	*
3)	A					2 1						1			1					1 2									3	3			3		;
						1		2					1		2						1	1							2		0		1
						3		4					2		4					2		3
																									5			2			7
														5	6				7
																									3						3
					1	1		*			1
	4)		A					A						3	3			3							1				1		1 .
											3
														2	0										2						1
																				1
																													0
																									3						3

Матрицу A 1 умножим на B , получим искомую матрицу X :

			5		2		7
											3	1	0
			3				3
X			1		1		1				1	6 3
			2				1				3	3
													1
					0
			3				3

	5 2 7						5			12 7								0 6	7					10				20				25
							3												3									3				3
	3 1 3					1 6 3												0 3	1						5			4						4 .
	2 0 1						2				0 1							0 0	1						3			1						1
							3													3								3						3
	10		20					25
			3							3
О т в е т : X	5		4								4			.
	3		1								1
			3								3
																1	1	1			1		1		3
																2	1				4		3		2
П р и м е р 4 . Решить уравнение X																		0
																1	1				1		2		5
																		1
																			1				1	1												1	1	3
												1			,											,					B					4	3 2
Р е ш е н и е . XA B X BA																		A	2 1 0																				.
																			1				1													1	2	5
																									1

Находим обратную матрицу A 1 :

							1		1																			1	2		1
					1
1) det A					2		1	0			2 ;								2)				T					1	1
																						A									1 ;
					1		1	1																				1	0
																															1
					1		1							1	1		1		1
					0		1						1		1		1		0
																											1	2			1
					2 1									1 1				2 1
	*
3)	A				0 1								1 1					0 1									2		2 2			;
					2		1							1	1			1	2								1		0		1
					1		1							1	1			1	1
																							1					1		1
															1	2			1
																							2							2
			1		1		*					1
	4)	A				A								2		2 2									1 1					1 .
												2
															1								1							1
																0 1
																												0
																							2
																														2

Матрицу B умножим на A 1 , получим искомую матрицу X :

					1
					2
		X			1
					1
					2
3		2	0
	0 1		2
О т в е т : X				.
	5	3	0

	1		1
					1		1	3		3		2	0
			2
	1		1			4	3 2				0	1	2	.
			1			1	2	5			5	3 0
	0
			2

						1	0			2	0
П р и м е р 5 . Даны матрицы A						6	1	и B		1	3	.
Решить матричное уравнение X A B .
Р е ш е н и е . det A				1,			1 6						1 0			1
		1 0
					AT				,		A*		6	,	A 1	6
		6 1					0 1							1
						2	0		1	0		4	0
				X		1						5	9	.
							3 6			1
	4	0
О т в е т : X	5	9	.

0

1 .