06 Сист лин алг ур-ний

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

О с н о в н ы е п о н я т и я

Линейным алгебраическим уравнением называют уравнение, содержащее переменную только в первой степени и не имеющее произведений переменных.

Система вида

a11x1 a12 x2

... a1n xn

b1 ,

... a2n xn

b2

,

a21x1 a22 x2

(1)

. . . . . . . . . . . . . .

a

m1

x a

m 2

x

2

... a

mn

x

n

b

1

m

называется системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. ai j R

называются коэффициентами системы линейный алгебраических уравнений, i номер строки (уравнения), j номер неизвестного, b1 , b2 , …, bm свободные члены.

Система (1) называется однородной, если b1 b2 ... bm 0 .

Решением системы (1) называется такая система n чисел k1 , k2 , …, kn , что каждое из уравнений (1) обращается в тождество после замены в нём неизвестных xi соответствующими числами ki , i 1, n .

Решить систему линейных алгебраических уравнений значит:

1)выяснить, имеет она решение и

2)найти все её решения, если они существуют.

Если система (1) обладает решением, то она называется совместной. Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определённой, если она обладает одним единственным решением, и неопределённой, если она имеет бесконечное множество решений.

Систему (1) можно записать: 1) в векторной форме

	a11					a12
	a21			x		a22
				1
	am1					am 2

x2 ...

	a1n
	an
			xn

amn

b1b2

bm

2) в матричной форме

a11	a12 ...
a21	a22 ...
.	.	.
	am 2 ...
am1

	a1n x1			b1
	a2 n x2			b2
	. .			.
	amn xn			bm

	a
	11
	a21
где	A
	.
	am1

или AX B ,

a	...	a		x1		b1
12		1n
a22	...	a2 n
				x2		b2
.	.	.	,	X		, B	.
				.		.
am 2	...
		amn		xn		bm

a	a
11	12
a21	a22
Матрица A | B
.	.
	am 2
am1

				2
...	a		b
	1n		1
...	a2 n		b2		называется расширенной.
.	.		.
...	amn
			bm

Т е о р е м а К р о н е к е р а - К а п е л л и .	Система линейных алгебраических
уравнений (1) тогда и только тогда совместна,	когда ранг расширенной матрицы
A | B равен рангу матрицы A .

Если ранг совместной системы линейных алгебраических уравнений равен числу неизвестных, то система является определённой. Если же ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система – определённая.

Пусть система (1) совместна, причём r n , где r Rg A , n - число неизвестных.

Любые r неизвестных из уравнений системы (1) называются свободными (независимыми) переменными, а остальные n r неизвестны системы (1) - базисные (зависимые) переменные.

Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера

Система линейных алгебраических уравнений вида

a

x a

x

... a

x

b ,

11

1

12

2

1n

n

1

a21x1

a22 x2

... a2n xn

b2

,

. . . . . . . . . . . . . .

a

n1

x a

n 2

x

2

... a

nn

x

n

b

1

n

совместна и определена, если определитель системы (2)

(2)

a11 a12 ... a1n

a21	a22	...	a2 n	, состав-
... ... ... ...
an1	an 2	...	ann

ленный из коэффициентов при неизвестных x1 , x2 , …, xn в этой системе, отличен от ну-

ля.

Решение системы (2) получается по формулам Крамера, а именно:

								x		1		, x			2	, …., x					n	,
								1					2						n
			b1	a12	...	a1n					a11			b1	...		a1n								a11	a12	...	b1
где	1		b2	a22	...	a2n	,		2		a21			b2	...		a2n	,		…,			n		a21	a22	...	b2	.
			.	. . .							. . . .														.	. . .
			bn	an 2	...	ann					an1			bn	...		ann								an1	an 2	...	bn

3
	7x1 4x2			x3	13,
П р и м е р 1 . Решить систему уравнений			2x2	3x3	3, по формулам
	3x1
	2x		3x	x	10.
		1	2	3

Крамера Р е ш е н и е . Вычислим определитель, составленный из коэффициентов при неиз-

вестных:

												4			1
										7
										3		2		3			102 0 ,
										2		3		1
Найдем 1 ,				2 , 3 :
	13 4 1										7	13 1												7 4	13
1	3		2	3			0 ,		2		3		3 3							306 ,		3		3 2	3	102 .
	10		3 1								2	10 1												2 3	10
По формулам Крамера найдем x1 , x2 ,														x3 :
	x 1				0			0 ,	x			2			306			3,			x 3		102		1.
		1		102					2					102							3		102
О т в е т : x1 0 ,								x2 3 , x3 1.

Решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом

Решение систем (2) матричным методом заключается в решении матричного урав-

нения

A X B ,

(3)

a

a ...

a

11

12

1n

где A

a21

a22 ...

a2n

матрица коэффициентов при неизвестных x1

,

x2 , …, xn этой

... ... ...

...

an 2 ...

an1

ann

x

b

1

1

системы, X

x2

матрица-столбец неизвестных системы (2),

B

b2

матрица-

xn

bn

столбец свободных членов системы (2).

Если матрица A невырожденная, т.е. det A 0, то

X A 1 B является решением

уравнения (3), где A 1

обратная матрица.

4

П р и м е р 2 . Решить матричным методом систему линейных алгебраических

3x 2 y 4z 5,

уравнений x 4 y 5z 11, .

2x y z 1.

																			Р е ш е н и е .
Запишем систему уравнений в матричном виду, т.е.																																		A X B, где
											3 2										4									x												5
					A				1							4 5						,						X y ,										B				11 .
											2
																1 1														z													1
Умножим обе части матричного уравнения слева на A 1 , получим:
																				A 1 A X A 1 B ,
																					E X A 1 B ,
																						X A 1B .
																																																2						4
																																										3
Найдем матрицу A 1 . Определитель матрицы A равен:																																										1						4						5				11 0 .
																																										2						1						1
						3			1						2
	T			2					4																															*
Записываем A															1				и составляем матрицу A .
					4				5
													1
								4			1								2			1						2			4
							5				1									4 1									4 5
																																								1				2							6
							1 2													3 2									3 1
	*
	A						5				1									4 1									4 5					11								11									11 .
																																								9				7				10
								1			2									3		2							3	1
								4			1									2		1						2			4
																																			1						2							6
																				1		2						6
																																		11						11								11
		1				1			*							1
	A							A												11		11							11					1								1							1 .
															11
																				9					7				10					9						7								10
																																		11						11
																																																11
												1								2					6											1				5						2					11					6			1
																													5																																		1
											11							11				11												11										11										11
Окончательно получаем:																																																															5		,
					X								1							1			1						11							1 5 1 11 1 1
											9									7			10											9										7											10								2
																													1											5								11										1
											11							11				11										11												11										11
,	x 1,		y 5 ,													z 2 .
						3 1 2 5 4 2 5,
П р о в е р к а :
			1 1 4 5 5 2 11,
							2 1 1 5 1 2 1.

5

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса (или метод последовательного исключения неизвестных), применяемый для решения системы (1), состоит в следующем.

П р я м о й х о д м е т о д а Г а у с с а .

Предполагая, что a 0 (это всегда можно получить перестановкой уравнений),

первое уравнение системы (1) умножается на			a21		и складывается со вторым. Получа-
			a11

ется уравнение, в котором коэффициент при x1 обращается в ноль. Далее, умножая пер-

			a
	вое уравнение на		31		и прибавляя к третьему, получается уравнение, также не содер-
			a11

жащее члена с x1 . Продолжая аналогичные преобразования, получается система, эквивалентная исходной системе уравнений

a x a x

a

x

b ,

11 1

12

2

1n

n

1

b2 ,

a22 x2

a2n xn

b3

(4)

a32 x2

a3n xn

bm ,

am 2 x2

amn xn

где ai j

i

; j

. − некоторые новые коэффициенты.

2, m

2, т

З а м е ч а н и е . Если к системе (1) будут применены несколько раз преобразования рассмотренного типа, то вновь полученная система уравнений останется эквивалентной исходной системе (1). Если в результате таких преобразований в системе появится уравнение, все коэффициенты левой части которого равны нулю и свободный член равен нулю, то, отбрасывая это уравнение, получится система уравнений эквивалентная исходной системе. А если свободный член отличен от нуля, то исходная система и полученная ей эквивалентная система несовместны.

Предполагая, a 0, и оставляя без изменения первые два уравнения системы (4),

22

делаются преобразования так, чтобы в каждом из остальных уравнений коэффициенты

при x2	обратились в ноль. Таким образом, система (2) после преобразований имеет сле-
дующий вид
					a11x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn b1 ,
						a22 x2	a23 x3	a2 n xn	b2 ,
										(5)
							a32 x2	a3n xn	b3
										,
							am 2 x2	amn xn	bm
где ai j	i		, j		некоторые новые коэффициенты.
		3, m		3, n

Продолжая этот процесс, система (5) приводится к одной из следующих систем:

где

где

где

6

c

x

c

x

c

x

... c

x

d

,

11

11

12

2

13

3

1n

n

1

c22 x2

c23 x3

... c2 n xn

d2 ,

c23 x3 ... c3n xn

d3 ,

(6)

...

cnn xn dn ,

ci i i

некоторые коэффициенты,

ci i 0 ;

− свободные члены;

1, n

di

c

x

c

x

... c

x

... c

x

d

,

11 11

12

2

1k

k

1n

n

1

c22 x2

... c2k xk

... c2 n xn

d2

,

(7)

...

ckk xk

... ckn xn

dk .

k n ;

c

x

c

x

... c

x

... c

x

d

,

11 11

12

2

1k

k

1n

n

1

c22 x2

... c2k xk

... c2 n xn

d2 ,

(8)

...

0 xn

dk .

k n .

О б р а т н ы й х о д м е т о д а Г а у с с а .

Система (6) имеет единственное решение. Значение xn находится из последнего уравнения, значение xn 1 из предпоследнего и т.д., значение x1 из первого.

Система (7) имеет бесконечное множество решений. Из последнего уравнения этой системы можно выразить одно из неизвестных (например, xk ) через остальные n k не-

известных ( xk 1 , xk 2 , …, xn ), входящих в это уравнение; из предпоследнего уравнения можно выразить xk 1 через эти неизвестные и т.д. Переменным xk 1 , xk 2 , …, xn можно придавать произвольные значения, они называются свободными (независимыми) переменными. x1 , x2 , …, xk называются базисными (зависимыми) переменными.

Система (8) несовместна, т.к. никакие значения неизвестных не могут удовлетворять её последнему уравнению.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных) применим к любой системе линейных алгебраических уравнений. Решая систему этим методом, преобразования совершают не над уравнениями, а над матрицами, составленными из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

П р и м е р ы .

			x1 x3		0,
			x1 x4		3,
3) Решить систему линейных алгебраических уравнений		2x1	3x3 x5		0,	мето-
		2x3	3x4 x6		7,
	x 2x			2x	0,
		1	3	5
	x2 2x3 2x6 7

дом Гаусса.

7

Р е ш е н и е .

Составим расширенную матрицу из коэффициентов при неизвестных. Элементарными преобразованиями получим нули в I столбце ниже элемента a11 .

	1	0	1	0	0	0		0		I I					1 0					1 0 0 0		0 I
								3		II II I						0	0	1 1 0 0				3		II
	1 0		0 1 0			0
	2 0		3 0 1 0					0		III III I ( 2)						0	0			1 0 1 0		0		III
										IV	IV				~	0	0			2 3 0 1		7		IV	~
0		0	2 3 0			1		7
	1	0	2	0	2	0		0	V V I							0	0			1 0 2 0		0	V
	0 1 2 0 0					2		-7	VI VI							0	1			2 0 0 2		-7	VI
Поменяем метами II								и VI строки. Во II							столбце ниже и выше элемента a22 уже
стоят нули.
										1		0	1	0	0	0		0
																		-7
											0	1	2	0	0	2
											0	0	1	0	1	0		0
																				~
										0		0	2	3	0	1		7
											0	0	1	0	2	0		0
											0	0	1	1	0	0		3

Рассматриваем следующий III столбец и элементарными преобразованиями получим нули выше и ниже элемента a33 .

1		0	1	0	0	0
	0	1	2	0	0	2
	0	0	1	0	1	0
0		0	2	3	0	1
	0	0	1	0	2	0
	0	0	1	1	0	0

0		I I III
-7		II II III ( 2)
0		III III
		IV IV III ( 2)
7
0	V V III
3	VI VI III

1 0 0 0					1 0			0 I
	0	1 0		0	2 2			-7		II
	0	0	1	0	1	0		0		III
~	0	0	0	3	2 1			7		IV	~
	0	0	0	0	1	0		0	V
	0	0	0	1	1	0		3
									VI

Поменяем метами IV и VI строки. Во IV столбце ниже и выше элемента a44 уже стоят нули в I , II , III , V строках.

1		0	0	0	1	0
	0	1	0	0	2	2
	0	0	1	0	1	0
0		0	0	1	1	0
	0	0	0	0	1	0
	0	0	0	3	2	1

0		I I
-7		II II
0		III III
		IV IV
3
0	V V
7	VI VI

	1		0	0	0	1	0
								0
		0	1 0		0	2 2		-7
		0	0	1	0	1	0	0
	~
		0	0	0	1	1	0	3
		0	0	0	0	1	0	0
IV ( 3)		0	0	0	0	5 1		-2

Рассматриваем следующий V столбец и элементарными преобразованиями получим нули выше и ниже элемента a55 . Далее, в VI столбце выше элемента a66 все нули,

кроме элемента a26 . Поэтому, ко II строке прибавим VI ( 2) .

I I V

II II V 2 III III V IV IV V V V

VI VI V 5

							8
1 0 0 0					0	0			1 0 0 0					0	0		0
							0
	0	1 0		0	0	2	7			0	1 0		0	0	0		3
	0	0	1 0		0	0	0			0	0	1 0		0	0		0
~									~									.
	0	0	0	1 0		0	3			0	0	0	1 0		0		3
	0	0	0	0	1 0		0			0	0	0	0	1 0			0
	0	0	0	0	0	1	2			0	0	0	0	0	1		2

Запишем систему линейных алгебраических уравнений, соответствующих последней матрице.

x1x2

x3x4

x5x6

0,

3,

0,

3,

0,

2

О т в е т : (0; −3; 0; 3; 0; −2).

x 2x x 4x x 4,
	1	2	3	4	5
	3x1 2x2 x3 x4 3x5 1,
4) Для системы линейных алгебраических уравнений	x2 2x3 2x4 6x5 1,
5x 6x 3x 9x x 7
	1	2	3	4	5

найти общее решение и фундаментальную систему решений.

Р е ш е н и е .

Составим расширенную матрицу из коэффициентов при неизвестных. Элементарными преобразованиями получим нули в I столбце ниже элемента a11 .

						4		I I		1 2						4
	1	2	1	4	1								1	4	1
								II II I ( 3)			0	4	2	11	6	13
	3	2	1	1	3	1			~
	0	1	2	2	6	1		III III			0	1	2	2	6	1
	5	6	3 9		1	7		IV IV I ( 5)			0	4	2	11	6	13

Первая и четвёртая строка одинаковые, поэтому вторую строку вычеркиваем, получим:

1		2	1	4	1
	0	1	2	2	6
	0	4	2	11	6

4 I I II ( 2)1 II II

13 III III II 4

1 0			3 0		11		2
~	0	1	2	2	6		1
	0	0	6	3	18		9

I I		1 0			3	0	11
II II			0	1	2	2	6
		~
1			0	0	2	1	6
III III
	3

9

21 3

I I

II II I 2 III III ( 1)

1 0			3 0		11		2
	0	1	6	0	18		5
~								.
	0	0	2	1	6		3

Запишем систему линейных алгебраических уравнений, соответствующих последней матрице.

x1 3x3 11x5 2,x2 6x3 18x5 5,2x3 x4 6x5 3.

Коэффициенты при неизвестных x1 , x2 , x4 равны единице, поэтому их удобно выразить через x3 , x5 . Получим общее решение системы:

x1 3x3 11x5 2,

x2 6x3 18x5 5,x4 2x3 6x5 3,

где x3 , x5 свободные (независимые) неизвестные переменные и им можно придавать произвольные значения, а x1 , x2 , x4 − базисные (зависимые) неизвестные.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Система однородных линейных алгебраических уравнений

a

x a

x

... a

x

0,

11

1 12

2

1n

n

a21x1 a22 x2

... a2n xn

0,

. . . . . . . . . . . . . .

a

x a

m 2

x

2

... a

mn

x

n

0

m1 1

всегда совместна. Система обладает решением x1 x2 ... xn

(9)

0, называемого нулевым

или тривиальным.

Пусть матрица A из коэффициентов при неизвестных системы (9) имеет ранг r . Если r n , то нулевое решение будет единственным решением системы (9); при r n система (9) имеет, помимо нулевого, бесчисленное множество ненулевых решений.

Система n линейных однородных уравнений с n неизвестными тогда и только тогда обладает решениями, отличными от нулевого, если определитель этой системы равен

нулю.

Если в системе однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвест-

ных, то система обладает решениями, отличными от нулевого.

x1

b1 , x2

b2 , …, xn

bn

или b1 , b2 , ...,bn решение системы (9).

Свойства решения системы линейных однородных уравнений

1) Если b1 , b2 , ...,bn

решение системы (9), то и

b1

, b2 , ..., bn также решение этой системы.

2) Если b1 , b2 , ...,bn

и c1 , c2 , ...,cn

решения системы (9), то при любых

,

их линейная комбинация

b c , b c , ..., b c также решение дан-

1

1

2

2

n

n

10

ной системы.

Таким образом, всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.

Система линейно независимых решений , 2 , …, k называется фундаментальной, если каждое решение (9) является линейной комбинацией решений , 2 , …, k .

Т е о р е м а . Если ранг r матрицы A коэффициентов при неизвестных системы линейных однородных уравнений (9) меньше числа переменных n , то всякая фундаментальная система решений системы (9) состоит из n r решений.

Общее решение системы (9) имеет вид: ... ,

где , 2 , …, k любая фундаментальная система решений, , , …, произ-

вольные числа и k n r .

Общее решение системы m линейных уравнений с n неизвестными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородных линейных уравнений (9) и произвольного частного решения этой системы.

Пр и м е р ы . Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.

2x1 4x2 5x3 0,

x1 2x2 3x3 0,3x1 x2 2x3 0.

		4	5
	2
Р е ш е н и е . Определитель системы 3	1	2	3	11 0, поэтому система
	3	1	2

имеет единственное нулевое решение: x1 x2 x3 0 .

x3 0,

6)x1 3x2 5x3 0,4x1 x2 4x3 0.3x1 4x2

3 4 1

Р е ш е н и е . Так как 3 1	3	5	0 , то система имеет бесчисленное мно-
4	1	4

жество решений. Поскольку Rg A 2 , n 3, возьмем любые два уравнения системы (например, первое и второе) и найдем ее решение.

Имеем: 3x1 4x2 x3 0,

x1 3x2 5x3 0.

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных x1 и x2 не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем x1 и x2 (хотя можно брать и другие пары

неизвестных) и переместим члены с x3 в правые части уравнений:					3x1 4x2 x3 ,
							x1 3x2 5x3.
				1				2
Решаем последнюю систему по формулам Крамера: x				2 ,	x			2 , где
		1		2		2		2
		4
2	3		9 4 13;
	1	3