Параграф 3. Элементарные геометрические преоьразования графиков функции.

Теорема 1. Пусть функция F(x)=f(x-a)+b, где a, b - положительные числа, и график функции f (x) известен. Тогда график функции F (x) можно построить с помощью параллельноо переноса графика функции f (x),птри котором точка начала координат имеет своим образом точку с координатами (a,b).

Доказательство.

1. Пусть точка М (х0,у0) лежит на графике функции f (x), тогда f (x0)=y0.

Закон параллельного переноса:

М' - образ точки М.

2. Пусть точка

Тогда координаты этой точки удовлетворяют равенству:

При параллельном переносе (1) точка М' имеет образ точку М, следовательно точка М (х1, у1) лежит на графике функции y=f (x).

Правила построения графика функции , зная график функции :

1. Если число а> 0, то график функции смещается вправо на а единиц.

2. Если а <0, то график функции смещается влево на модуль а единиц.

3. Если b> 0, то график смезается вверх на b единиц. Если b <0, то график функции смещается вниз на модуль b единиц.

Теорема 2. Пусть функция задана , где l, k отличны от нуля. Тогба график функции F можно получить растяжением графика f вдоль оси ординат с коэффициентом l, а затем вдоль оси абсцисс с коэффициентом k.

Правило трансформации функции .

1. Если l> 1, то осуществляется растяжение с коэффициентом l вдоль оси Оу.

2. Если 0 <l <1, то осуществляется сжатие графика с коэффициентом 1/l вдоль Оу.

3. Если k> 1, то осуществляется растяжение с коэффициентом k вдоль Ох.

4. Если 0 <k<1, то осуществляется сжатие с коэффициентом 1/k вдоль Ох

Следствия из теорем:

1. Если F задано формулой

,

то график F получается из графика f с помощью симметрии относительно оси Ох.

2. Если

,

то график F получается при помощи графика f с помощью симметрии относительно Оу.

3. Если

,

то график F получается при помощи графика f с помощью симметрии относительно начала координат.

4. Если

,

то следует преобразовать формулу функции к виду

.

Следует сначала выполнить сжатие, а затем параллельный перенос графика влево.

Параграф 4. Геометрические преобразования как метод исследования рациональных функций.

Рациональные функции:

1. Целые - это функции, значения которых находятся посредством только трёх операций: сложения, вычитания, умножения, которые выполняются над переменной х и действительными числами. Представляют целые рациональные функции в виде многочлена от одной переменной х, записанного по убыванию степеней:

2. Дробно-рациональные - функции, которые можно представить в виде отношения двух многочленов, записанных по убыванию степеней:

Класс целых рациональных функций.

1. Функции целых положительных значений.

1) у=х.

G1 - прямая.

2) у=х^2.

Исследуем функцию на выпуклость.

G2 - парабола.

3) у=х^3.

Исследуем на выпуклость.

G3 - кубическая парабола.

4) Выводы:

Функции вида х^2n имеют схожие свойства с функцией у=х^2, график функции напоминает параболу, ветви тем ближе к осям, чем больше показатель степени.

Функции вида х^2n+1 имеют схожие свойства с функцией х^3, график напоминает кубическую параболу, лишь ветви ближе распологаются к осям, чем выше показатель степени.

2. Линейная функция.

Линейной называют функцию, заданную формулой y=kx+b.

График линейной функции можно получить при помощи растяжения вдоль Оу с коэффициентом k и параллельного переноса на b единиц вверх графика функции y=x.

Графиком линейной функции является прямая.

Если k> 0, то функция возрастает; если же k <0, то функция будет убывать.

3. Квадратичная функция.

Квадратичной функцией называют функцию, заданную формулой y=ax^2+bx+c, где a, b, c отличны от нуля.

Выполним необходимые преобразования:

4. Функция-многочлен третьей степени.

Функцией-многочленом третьей степени называют функцию вида:

Выделяем три базовые функции:

Геометрические преобразования следует выполниьь в следующей последовательности:

1. На основании теоремы 2 выполняем иастяжерие базовых функций вдоль Ох с коэффициентом корень квадратный из модуля D.

2. По теореме 1 выполняем параллельный перенос, при котором точка начала координат перейдёт в точку:

.

3. Выполняем растжение вдоль Оу, если а> 0:

.

4. Если а <0, то мы осуществляем симметрию относительно Ох.

Исследуем аналитически свойства базовых функций.

5. Функция-многочлен четвёртой степени (биквадратный многочлен).

Функция от биквадратного многочлена называется функция вида

Класс дробно-рациональных функций.

1. Функции целых отрицательных степеней.

Функцию целых отрицательных степеней называют функцию вида:

1) y=1/x.

G1 - гипербола.

2) y=1/x^2.

Выясним взаимное расположение графиков G1, G2.

2. Дробно-линейные функции.

Дробно-линейными функциями называются функции вида

3. Дробно-рациональные функции, числитель и/или знаменатель которых представлен (ы) в виде многочлена второй степени.