Лекция 02
.docx
ЛЕКЦИЯ 2
Уравнение поверхностей уровня жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Уравнение свободной поверхности уровня.
Пусть имеется сосуд с жидкостью, вращающийся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Найдем уравнение поверхностей уровня для рассматриваемого случая, воспользовавшись уравнением поверхности уровня в дифференциальном виде
.
На жидкость массой m в окрестностях произвольно взятой точки М действуют внешние массовые силы:
Найдем проекции этих сил и суммы проекций единичных массовых сил на оси координат.
Ось x
Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось x будет равна
R – радиус сосуда;
r - радиус вращения т. М;
h – глубина погружения т. М от
свободной
поверхности уровня.
Ось y
Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось y будет равна
Ось z
Следовательно, сумма проекций единичных массовых сил на ось z будет равна
Подставляя найденные значения сумм проекций единичных массовых сил, получим . Берем неопределенный интеграл полученного выражения
поэтому – уравнение поверхностей уровня (уравнение семейства параболоидов вращения)
Уравнение свободной поверхности уровня
Рассмотрим вершину параболоида вращения соответствующего свободной поверхности уровня; для нее справедливо: r=0; ; подставляя эти значения в последнее уравнение получим значение константы интегрирования для уравнения свободной поверхности уровня , отсюда следует что, уравнением свободной поверхности уровня будет
Геометрический смысл – высота подъема ветви параболоида вращения относительно горизонтальной плоскости для точки на свободной поверхности уровня N(.
Максимальная высота подъема жидкости в сосуде
H – максимальная высота подъема жидкости параболоида вращения свободной поверхности уровня.
Согласно уравнения свободной поверхности уровня для точки на этой поверхности с координатами () связь между Н и R будет определяться уравнением . Далее следует заменить через первоначальный уровень жидкости в сосуде (при ).
– объем жидкости в сосуде, который находится в состоянии абсолютного покоя;
- объем жидкости в сосуде, который находится в состоянии относительного покоя; в силу закона сохранения объема жидкости получают
Откуда
или . Подставляя полученное выражение в ранее найденное для максимальной высоты подъема жидкости, получим
, откуда
– максимальная высота подъема жидкости в сосуде
Закон распределения давления внутри жидкости, вращающейся вместе с сосудом вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω.
Закон Паскаля, полученный ранее для случая абсолютного покоя жидкости, справедлив и для случая относительного покоя в любых его формах в том числе и для вращающегося сосуда; здесь h есть сумма высоты подъема ветви параболоида вращения над плоскостью и расстояния между горизонтальными плоскостями . Т.е. .
Определение силы давления жидкости на плоскую стенку сосуда и на дно сосуда (без вывода).
РИСУНОК
F – площадь смоченной боковой стенки сосуда;
hц – глубина погружения центра масс площади F;
точка ЦМ – центр масс площади F;
точка ЦД – центр давления, точка приложения равнодействующей силы давления.
– сила полного давления на боковую стенку сосуда (сила атмосферного давления + сила гидростатического давления жидкости).
Сила полного давления на дно сосуда может быть определена по формуле
Определение точки приложения силы полного давления (координаты центра давления ). Без вывода.
I0 – момент инерции площади, относительно центральной оси (ось, которая проходит через центр масс площади F)
, где a – основание прямоугольника, b – высота.
Элементы кинематики жидкости
(Основная теорема кинематики – теорема Коши-Гельмгольца. Траектория жидкостной частицы. Линии тока. Элементарная струйка. Трубка тока. Поток жидкости. Живое сечение потока. Смоченный периметр. Гидравлический радиус. Эквивалентный диаметр).
В кинематике изучают движение жидкости с точки зрения геометрии, без учета ее массы и сил, определяющих это движение
Основная теорема кинематики – теорема Коши-Гельмгольца. В этой теореме доказывают, что скорость перемещения жидкостной частицы складывается из трех скоростей:
– поступательная скорость;
– деформационная скорость;
Изменение прямых углов одной из граней за время
– вращательная скорость.
Траектория жидкостной частицы – это путь, пройденный жидкостной частицей за некоторый промежуток времени (S).
Линиями тока называют совокупность жидкостных частиц, векторы скоростей которых касательны к ней в данный момент времени.
Элементарная струйка. Трубка тока.
Если в движущейся жидкости в поперечном сечении выделить элементарную площадку dS и через все точки провести линии тока для данного момента времени, то получается объемный пучок линий тока, который называется элементарной струйкой, а ее боковая поверхность – поверхность трубки тока.
Поток жидкости – это совокупность элементарных струек жидкости, текущих в данном русле.
Живое сечение потока – это поверхность, проведенная через данную точку в пределах потока, перпендикулярная линиям тока.
Смоченным периметром называют длину линии, по которой жидкость в данном живом сечении соприкасается с руслом.
Гидравлический радиус (для канала с произвольным сечением) – это отношение площади живого сечения к смоченному периметру.
Для круглой трубы гидравлический радиус равен:
где d – смоченный периметр
Гидравлический радиус в два раза меньше геометрического.
Эквивалентный диаметр (для канала произвольного сечения) принимается равным:
Плавно изменяющееся движение жидкости – это такое движение, при котором кривизна струек мала, угловое расхождение между отдельными струйками не велико, живое сечение потока плоское, перпендикулярно оси потока.
Расход жидкости – это объем жидкости, протекающей через поперечное сечение потока в единицу времени.
Средней скоростью в данном сечении потока называется такая фиктивная, но одинаковая во всех точках данного сечения скорость, при которой через сечение проходит то же количество жидкости, какое и при действительном распределении скоростей.