praktikum_po_lineinoi_algebre
.pdfМатематический портал
Math-Life www.math-life.com
Министерство образования Российской Федерации
Московская государственная академия тонкой химической технологии им. М. В. Ломоносова
Кафедра высшей и прикладной математики
М.И. Скворцова, Г.С. Кротов
Практикум
по линейной алгебре
для студентов вечернего отделения
1-го курса
(Учебно-методическое пособие)
Москва, 2004 г.
УДК 512.8:516
ББК С42
Рецензенты: д.т.н., профессор Филиппов И.Г., Московский строительный университет; к.ф.-м.н., доцент Каролинская С.Н.,
Московский авиационный институт им. С. Орджоникидзе.
Скворцова М.И., Кротов Г.С., Практикум по линейной алгебре для студентов вечернего отделения 1-го курса, Учебно-
методическое пособие — М.: МИТХТ, 2004 г, 80 стр., рис. 9.
Пособие представляет собой конспекты 13 практических
занятий по курсу линейной алгебры для студентов вечернего отделения МИТХТ им. М. В. Ломоносова. Курс включает в себя
элементы теории матриц, векторной алгебры, аналитической геометрии, теории систем линейных уравнений.
Каждое занятие посвящено отдельной теме. Конспекты 11-и
занятий содержат краткое изложение соответствующей теории,
типовые примеры и задачи для самостоятельного решения (с
ответами). В конспектах двух занятий приведены образцы вариантов двух контрольных работ (с решениями), проводимых на этих занятиях.
Пособие предназначено для студентов вечернего отделе-
ния вузов химического профиля.
Утверждено Библиотечно-издательской комиссией МИТХТ в каче-
стве учебно-методического пособия
© МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 2004 г.
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Занятие 1. Матрицы и операции с ними. Определитель матрицы…4
Занятие 2. Ранг и элементарные преобразования матрицы.
Обратная матрица…………………………………………………………10
Занятие 3. Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса…..……………………………………………………………………17
Занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом Крамера и матричным методом. Решение матричных уравнений..22
Занятие 5. Контрольная работа №1 по теме "Матрицы, определители, системы линейных уравнений"……………………….27
Занятие 6. Вектора. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису………………………………………….31
Занятие 7. Линейная зависимость и независимость системы
векторов……………………………………………………………………..39
Занятие 8. Скалярное произведение векторов……………………..47
Занятие 9. Векторное и смешанное произведение векторов…….51
Занятие 10. Плоскость в пространстве………………………………..56
Занятие 11. Прямая в пространстве и на плоскости. Совместные задачи на прямую и плоскость…………………………………………..60
Занятие 12. Контрольная работа №2 на тему "Вектора. Прямая и плоскость в пространстве"……………………………………………….68
Занятие 13. Собственные числа и собственные вектора
матрицы……………………………………………………………………..73
Литература………………………………………………………………….80
4
Занятие 1.
Матрицы и операции с ними.
Определитель матрицы.
Определение. Матрица А размера mxn с элементами аij —
это прямоугольная таблица чисел из m строк и n столбцов:
ж a |
L a |
ц |
|
з |
11 |
1n |
ч |
A = (aij )= з |
L |
L L |
ч, |
з |
|
|
ч |
иam1 |
L amn ш |
где i — номер строки, j — номер столбца; i =1,…,m; j =1,…,n.
Терминология, используемая в теории матриц.
1) квадратная (прямоугольная) матрица: m = n (m≠n);
2) диагональные элементы матрицы: aii, i=1,…,n;
3)главную диагональ матрицы образуют диагональные элементы;
4)диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все aij=0, i≠j;
5)единичная матрица — это диагональная матрица, у которой
|
|
ж1 |
0ц |
|
|
aii=1 при всех i; например, |
E = |
з |
|
ч |
(не путать с матрицей, у |
з |
0 |
ч |
|||
|
|
и |
1ш |
|
которой aij =1 для всех i и j);
6)верхняя треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы под главной диагональю равны нулю (аналогично определяется нижняя треугольная матрица);
5
7)матрица-столбец (строка) — содержит m строк и 1 столбец (1
строку и n столбцов).
Линейные операции над матрицами.
1) Сложение матриц. Даны A = (aij ) и B = (bij ) одного
размера. Определяем их сумму C = A +B , где С = (сij ), cij = aij + bij
(i =1,...,m; j =1,...,n) .
2) Умножение матрицы на число. Дана матрица A = (aij ) |
и |
|
||||||||||
число α. Определяем матрицу B =aA, где B = (bij ), bij |
=aaij (i=1, |
|||||||||||
…,m; j=1,…,n). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж3 |
-2 ц |
|
ж-1 |
0 ц |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. |
з |
|
ч |
= |
з |
ч |
. Найти C = A + 2B . |
|
|
|||
A = з |
4 |
ч, B |
з |
ч |
|
|
||||||
|
и |
1 ш |
|
и 2 |
3 ш |
|
|
|
|
|
|
|
Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж3 -2 |
ц |
ж-1 0 |
ц ж3 -2 ц ж-2 0 |
ц ж1 -2 |
ц |
|||||||
з |
|
ч |
з |
ч |
з |
|
ч |
з |
ч |
з |
|
ч |
C = A +2B = з |
1 |
ч |
+ 2з |
ч |
= з |
1 |
ч |
+з |
ч |
= з |
7 |
ч . |
и4 |
ш |
и 2 3 |
ш и4 |
ш и 4 6 |
ш и8 |
ш |
Умножение матриц.
Для двух матриц A и B таких, что число столбцов у A равно числу строк у B, определяется их произведение C = AЧB ( заметим,
что в общем случае, АЧВ № ВЧ А !). Объясним на примере, как умножаются матрицы.
Пример 2. Умножим матрицу-строку А на матрицу-столбец
В (длины — одинаковы!), получив матрицу, состоящую всего из одного элемента:
6
|
|
|
|
|
|
жb |
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
1 |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AЧB = (a a a )Чзb |
ч = (a b + a b + a b ). |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
2 |
|
|
1 1 |
2 |
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
зb |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
3 |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. |
Перемножим теперь две матрицы размера 2х2, |
|
||||||||||||||
используя пример 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ж |
2 3ц ж |
1 2ц |
ж1Ч2 + 3Ч3 2Ч2 +3Ч4ц |
ж11 16 |
ц |
|
жc |
c |
ц |
||||||||
з |
ч |
Чз |
ч |
= з |
|
|
|
|
ч |
= з |
|
|
ч |
= C = з 11 |
12 |
ч. |
|
з |
ч |
з |
ч |
з |
|
|
|
|
ч |
з |
|
|
ч |
|
з |
c22 |
ч |
и |
4 5ш и |
3 4ш |
и4Ч1+ 5Ч3 4Ч2 + 5 |
Ч4ш |
и19 28 |
ш |
|
иc21 |
ш |
Элемент сij в матрице С получается путём умножения i-ой строки в
A на j-ый столбец в B (как это сделано в примере 2). Так, c11
получаем при умножении 1-й строки в A на 1-й столбец в B, c12 —
1-ой строки в A на 2-ой столбец в B и т.д.
Определение. Пусть дана матрица A = (aij ). Поменяем
местами строки и столбцы в A. Полученная таким образом матрица называется транспонированной к A и обозначается A* или AT .
|
ж1 |
2 |
3ц |
ж1 |
5 |
ц |
||
Пример 4. |
з |
3 |
ч |
|||||
A = з |
|
|
|
ч |
Ю A* = з2 |
ч . |
||
|
з |
5 |
3 |
2 |
ч |
з |
|
ч |
|
и |
ш |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
и3 |
ш |
Определители и их свойства.
Определение. Определитель (или детерминант)
|
жa |
a |
ц |
|
|
квадратной матрицы A = |
з 11 |
12 |
ч |
2-го порядка — это число |
|
зa |
21 |
a |
ч |
||
|
и |
22 |
ш |
|
D(А), которое ставится ей в соответствие по правилу:
D(А)= |
a11 |
a12 |
= a Чa - a Чa . |
|||
|
a21 |
a22 |
11 |
22 |
12 |
21 |
|
|
|
|
|
7
Определение. Определитель (или детерминант) квадратной
матрицы 3-ого порядка — это число D(А), которое ставится ей в
соответствие по правилу:
D(А)= |
a11 |
a12 |
a13 |
= a Ч |
|
a22 |
a23 |
|
-a Ч |
|
a21 |
a23 |
|
+ a Ч |
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
21 |
22 |
23 |
11 |
|
a |
a |
|
12 |
|
a |
a |
|
13 |
|
a |
a |
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
32 |
33 |
|
|
|
31 |
33 |
|
|
|
31 |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определение. |
Минор элемента aij |
в определителе D(A)— |
это определитель Мij , получаемый из D(A) вычёркиванием в нём i-
ой строки и j-ого столбца. Алгебраическое дополнение элемента aij
в определителеD(A)— это число Aij = (-1)i+ j Mij .
Замечание. Используя введённые выше обозначения,
запишем
D(A) = a11 Ч A11 +a12 Ч A12 + a13 Ч A13.
Эта формула называется разложением определителя по 1-ой строке. Оказывается, что
D(A) = ai1 Ч Ai1 + ai2 Ч Ai2 + ai3 Ч Ai3 (i=2,3)
(формула разложения определителя по i-ой строке) или
D(A) = aj1 Ч Aj1 + a2j Ч A2j + a3j Ч A3j (j=1,2,3)
(формула разложения определителя по j-ому столбцу).
Отметим также, что аналогичные определения и формулы справедливы и для определителя матрицы А произвольного порядка.
Замечание. Матрицу записываем в круглых скобках, а
определитель матрицы в прямых вертикальных чёрточках. Другие возможные обозначения для определителя: D, А,det A.
8
Свойства определителей.
1) D(A) не меняется при транспонировании A; D(A) меняет знак при перестановке любых 2-х строк (столбцов);
2)если 2 строки (столбца) пропорциональны, то D(A) = 0;
3)D(A) не меняется, если к некоторой строке (столбцу)
прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число;
4) |
общий множитель элементов одной строки (столбца) можно |
||||||
выносить за знак D(A); |
|||||||
5) |
если есть нулевая строка (столбец), то D(A) = 0; |
||||||
6) |
D = |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
= a11 Чa22 Чa33 (аналогичная формула |
|
|
||||||
|
0 |
a22 |
a23 |
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
a33 |
|
|
справедлива и для определителя верхнетреугольной матрицы любого порядка).
Замечание. Для вычисления D(A) надо преобразовать его так, чтобы в нём появилась строка (столбец), содержащая максимальное количество нулей, и затем разложить его по этой строке. Можно также преобразовать D(A) к верхнетреугольному виду и воспользоваться формулой 6. Для всех преобразований используются вышеприведённые свойства определителя.
9
Пример 5. Вычислить Δ:
D = |
1 |
3 |
5 |
= |
1 |
3 |
5 |
=1Ч |
|
2 |
1 |
|
= -36 +11= -25 . |
|
|
||||||||||||
0 |
2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
|
||||||
|
-11 |
-18 |
|
||||||||||
|
4 |
1 |
2 |
|
0 |
-11 |
-18 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Сначала умножили первую строку на "4" и вычли из 3-ей строки;
затем разложили определитель по 1-ому столбцу.
Пример 6. Вычислить Δ:
|
2 |
1 |
3 |
|
1 |
7 |
2 |
|
1 |
7 |
2 |
|
D = |
1 |
7 |
2 |
= - |
2 |
1 |
3 |
= |
0 |
-13 |
-1 |
=1Ч(65 - 20) = 45 . |
|
3 |
1 1 |
|
3 |
1 |
1 |
|
0 |
- 20 |
-5 |
|
Сначала поменяли местами 1 и 2 строки (появился "-"), затем из 2-й
строки вычли 1-ую, умноженную на "2", а из 3-ей строки вычли 1-ую,
умноженную на "3"; затем разложили определитель по 1-ому столбцу.
Задачи для самостоятельного решения.
I. Перемножить матрицы:
ж |
3 1 1ц ж |
1 |
1 ц |
ж |
2 1 -1ц |
ж |
1 2 -1ц |
|
з |
ч з |
2 |
ч |
з |
|
ч |
||
1) з2 1 2чЧз |
-1ч; 2) |
з |
чЧз 0 1 0 ч; |
|||||
з |
ч з |
|
ч |
з |
ч |
|
|
ч |
1 |
и |
0 1 2 ш з |
-1 0 1 |
|||||
и |
1 2 3ш и |
0 ш |
|
|
и |
ш |
||
ж1 2 1ц ж |
4 1 1ц |
|
ж1 2 0 |
ц |
ж1ц |
|
||
з |
ч з |
|
ч |
|
з |
ч |
з ч |
|
3) з2 1 3чЧз- 4 2 0ч ; 4) з1 2 3чЧз1ч . |
|
|||||||
з |
ч з |
|
ч |
|
з |
ч |
з ч |
|
и1 2 3ш и |
1 2 1ш |
|
и4 1 0 |
ш |
и1ш |
|
II. Вычислить определитель тремя способами: 1) разложив его по любой строке; 2) разложив его по любому столбцу; 3)
преобразовав его к верхнетреугольному виду:
10
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
1 |
- 4 |
2 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 1 |
2 |
|
|
|
||||||||||||
5) |
1 2 3 |
; 6) |
1 -1 0 |
|
; 7) |
|
; |
8) |
0 1 2 |
; |
||||||||||||||||
|
1 |
3 |
6 |
|
|
|
|
- 2 |
4 |
|
2 |
|
|
- 2 |
|
1 |
0 |
|
3 |
|
|
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||
9) |
|
1 |
2 |
|
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
7 |
8 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж6 2 |
ц |
ж 3 5 -3 |
ц |
|
ж-3 7 2ц |
ж3 |
ц |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з |
ч |
|
з |
|
|
|
ч |
з ч |
||||||||||||
Ответы: |
1) |
з6 1 |
ч; 2) |
з |
|
|
|
|
ч |
; 3) з 6 |
8 |
4ч; 4) |
з6ч ; |
|||||||||||||
з |
- 2 1 2 |
ч |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з |
ч |
и |
ш |
|
з |
|
|
|
ч |
з ч |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
и8 -1ш |
|
|
|
|
|
|
|
и-1 11 4ш |
и5 |
ш |
5) D = 2; 6) D = -2; 7) D = 29; 8) D = -1; 9) D = 0 .
Занятие 2.
Ранг и элементарные преобразования
матрицы. Обратная матрица.
Определения. 1) Минором k-ого порядка матрицы A
называется определитель, составленный из элементов матрицы A,
находящихся на пересечении произвольно выбранных k строк и k
столбцов; 2) рангом матрицы A (r(A)) называется наибольший порядок её минора, отличного от нуля; 3) трапециевидная матрица — это матрица, у которой при некотором числе r>1 все
элементы aii |
№ 0(i =1,...,r) , под главной диагональю — нули, а все |
||||
строки, |
начиная |
с |
(r+1)-ой, |
— |
нулевые. |
11
|
ж1 |
2 |
3 |
5 |
ц |
|
|
з |
|
|
|
|
ч |
|
з0 |
4 6 7ч |
||||
Пример 1. Трапециевидная матрица с r=3: А = |
з |
0 |
0 |
8 |
9 |
ч . |
|
з |
|
0 |
0 |
0 |
ч |
|
з0 |
ч |
||||
|
з |
0 |
0 |
0 |
0 |
ч |
|
и |
ш |
Все миноры 4-го порядке в А равны нулю, так как все они содержат нулевую строку, а среди миноров 3-его порядка есть ненулевые, например, минор, образованный элементами,
стоящими на пересечении первых 3-х строк и первых 3-х столбцов.
Поэтому r(A)= 3 .
Элементарные преобразования (э. п.) матриц.
1)Умножение строки (столбца) на любое число, не равное нулю;
2)Перемена местами 2-х строк (столбцов);
3)Прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на любое число, отличное от нуля;
4)Вычёркивание одной из 2-х пропорциональных строк (столбцов)
или вычёркивание нулевых строк (столбцов);
5)Транспонирование.
Теорема. 1) Для трапециевидной матрицы A с r ненулевыми
строками r(A)=r ; 2) Всякую матрицу A можно привести при помощи э. п. к трапециевидной форме, где aii=1, i=1,…,r ; 3) r(A) не меняется при э. п.
Правило нахождения r(A).
Привести A к трапециевидной форме путём э. п. Тогда r(A)=r,
где r — число ненулевых строк у полученной матрицы.
12
Алгоритм приведения матрицы к трапециевидной форме.
1.Сделать а11=1 (используя э. п. 1), 2), 3) );
2.Получить нули в 1-м столбце под а11, при помощи 1-й строки
(используя э. п. 3) );
3.Сделать а22=1 (аналогично пункту 1);
4.Получить нули во 2-м столбце под а22, при помощи 2-й строки
(аналогично пункту 2);
5.И т.д.
Замечание. Переход от матрицы к матрице путём э. п.
обозначается знаками "→" или "~". Нельзя писать знак "=".
В нижеприведённых примерах 2—4 требуется найти r(A) путём э. п.
Пример 2.
|
ж |
2 |
|
3 |
|
7 |
|
11ц |
ж1 2 4 7 |
ц |
ж1 |
2 |
4 |
7 ц |
|
|
з |
|
2 |
|
4 |
|
|
ч |
з |
ч |
з |
-1 |
-1 |
ч |
|
A = з1 |
|
|
|
7 ч ® з2 3 7 11ч ® з0 |
-3 ч ® |
||||||||||
|
з |
5 |
|
0 |
|
|
|
|
ч |
з |
ч |
з |
|
|
ч |
|
и |
|
10 5 ш |
и5 0 10 5 |
ш |
и0 -10 -10 |
-30 ш |
||||||||
ж1 |
|
2 |
|
4 |
|
7 |
ц |
Ю r(A) = 2 |
|
|
|
|
|
||
® з |
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
||
з |
0 |
|
1 |
|
1 |
|
3 |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
Сначала поменяли местами 1 и 2 строки с целью получить в левом верхнем углу единицу; затем умножили 1-ую строку на "2" и
вычли из 2-ой, умножили 1-ую строку на "5" и вычли из 3-ей, и,
наконец, отбросили 3-ю строку, пропорциональную второй, и во 2-
ой строке поменяли знак.
Пример 3.
ж1 2 0ц |
ж1 2 |
0ц |
ж |
1 2 |
0 ц |
ж1 2 |
0 |
ц |
||||||||
з |
|
ч |
з |
|
4 |
ч |
з |
0 |
1 |
0,5 |
ч |
з |
|
1 0,5 |
ч |
|
A = з0 |
4 2ч ® з0 |
2ч ® з |
ч ® з0 |
ч ® |
||||||||||||
з |
3 |
ч |
з |
0 |
|
ч |
з |
0 |
- 2 1 |
ч |
з |
0 |
0 |
2 |
ч |
|
и |
4 1ш |
и |
-2 1ш |
и |
ш |
и |
ш |
13
ж1 |
2 |
0 |
ц |
|
з |
|
1 |
0,5 |
ч |
® з0 |
ч Ю r(A) = 3 |
|||
з |
0 |
0 |
1 |
ч |
и |
ш |
Сначала умножили 1-ую строку на "3" и вычли из 3-ей, затем разделили 2-ю строку на "4", далее умножили 2-ую строку на "2" и
прибавили к 3-ей, и, наконец, разделили 3-ю строку на "2".
ж1 |
0 |
0 |
ц |
ж1 |
2 |
1 |
ц |
||
з |
|
3 |
0 |
ч |
з |
|
3 |
-1 |
ч |
Пример 4. A = з2 |
ч ® з0 |
ч Ю r(A) = 3 . |
|||||||
з |
1 |
-1 |
2 |
ч |
з |
0 0 |
2 |
ч |
|
и |
ш |
и |
ш |
Матрица, полученная в результате первого преобразования,
получена транспонированием исходной матрицы.
Обратная матрица
Определение. Пусть A = (aij ) — квадратная матрица
размера nxn. Обратной матрицей для A называется такая
матрица A-1, что AЧ A-1 = A-1 Ч A = E , где E — единичная матрица.
Теорема. Если D(A)№0, то для A существует единственная A-1.
Первый способ нахожденияA-1 (D(A) № 0):
1) вычислить D(A);
|
~ |
жA |
L A |
ц |
|
2) составить матрицу |
з |
11 |
1n |
ч |
|
A = з |
L |
L L |
ч, где Aij — |
||
|
|
зA |
L A |
ч |
|
|
|
и |
n1 |
nn ш |
алгебраические дополнения элементов aij (i,j=1,…,n);
~ |
-1 |
|
1 ~ |
|
3) построить A * ; 4) A |
|
= |
|
A*. |
|
|
D(A)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж |
1 |
0 |
|
-1ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
1 |
|
|
|
|
ч |
найти A-1 первым способом. |
||||||||||||||||||||
Для A = з1 |
|
|
1 ч |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
0 |
1 |
|
5 |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1) D(А)= |
|
1 |
0 |
|
|
-1 |
|
= |
|
1 |
|
0 -1 |
|
= |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
= 3. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 1 |
|
|
|
1 |
|
|
0 1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
Ч(-1)2 = 4; |
|
м |
|
|
|
0 -1 |
|
Ч(-1)3 = -1; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
пA = |
|
|
|
пA = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
п |
11 |
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
21 |
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
1 |
-1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2) |
п |
|
|
|
|
|
|
Ч |
(-1)3 = -5; |
п |
|
|
|
|
Ч(-1)4 = 5; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
нA |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нA |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
п |
12 |
|
|
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
22 |
|
|
0 |
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
Ч(-1)4 =1; |
|
п |
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
Ч(-1)5 = -1; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
пA = |
|
|
|
пA = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
п |
13 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
23 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
м |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 -1 |
|
Ч(-1)4 =1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
пA = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
п |
31 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
ж |
4 |
|
|
|
|
-5 |
1 ц |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч(-1) |
= -2; |
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|||||||||||||||||||||
|
нA = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = з-1 |
|
5 -1 ч . |
||||||||||||||||||||||||
|
п |
32 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
- 2 |
ч |
||||||||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
Ч(-1)6 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
и |
1 |
|
|
|
|
1 ш |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
пA = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
п |
33 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж |
4 |
-1 |
|
|
|
|
|
1 ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3) |
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A* = з-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 -2 ч . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
з |
1 |
-1 |
|
|
|
|
|
1 |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
ж |
4 |
-1 |
|
1 |
ц |
ж |
4 |
- |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
ц |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
з |
3 |
3 |
3 |
|
ч |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4) A-1 |
= |
з-5 |
|
|
|
|
|
|
5 - 2 ч = |
з |
- 5 |
5 |
|
|
|
|
|
- 2 ч . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
з |
1 -1 |
|
1 |
ч |
з |
3 |
- |
3 |
|
|
|
|
|
|
3ч |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
и |
|
ш |
з 1 |
1 |
|
|
|
|
1 ч |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 ш |
|
15
Второй способ нахождения А-1:
Составить матрицу, состоящую из исходной матрицы А и
единичной матрицы Е, разделив их вертикальной чертой. При помощи э. п. строк (не столбцов !) этой составной матрицы получить вместо А матрицу Е. Тогда справа от вертикальной черты
получим матрицу А-1:
(А Е)® (Е А-1).
При нахождении А-1 рекомендуется сделать проверку: AЧ A-1 = E .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж2 |
2 |
3ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
2 |
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Для А = з1 |
3ч найти А-1 вторым способом. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
1 |
3 |
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
6ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ж2 |
2 |
3 |
|
1 |
0 |
0ц |
|
ж1 |
1 1 |
|
|
0,5 0 0ц |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
(1)з |
|
|
|
|
|
|
|
ч (2) |
||||
(А |
|
Е)=з1 2 3 |
|
0 1 0ч®з1 2 3 |
|
0 1 0ч® |
|||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
ч |
||||
|
|
|
|
и1 3 6 |
|
0 0 1 |
ш и1 3 6 |
|
0 0 1 |
ш |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(2)зж1 |
1 |
-1 |
|
|
|
|
0,5 |
0 |
0чц(3)зж1 |
|
1 |
1 |
|
|
0,5 |
0 |
0чц(4) |
|
|||||||||||||
®з0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
-0,5 |
1 |
0ч®з0 |
|
1 |
2 |
|
|
-0,5 |
1 |
0ч® |
|
||||||||||||
з |
|
|
|
|
|
|
|
-0,5 |
|
|
|
ч |
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 |
ч |
|
|||||
и0 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
0 |
1ш |
|
и0 |
0 |
1 |
|
|
0,5 |
1ш |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(4)зж1 |
0 |
-1 |
|
|
1 |
-1 |
0 |
чц(5)зж1 |
0 |
0 |
|
|
1,5 |
|
|
-3 1чц(6) |
|
||||||||||||||
®з0 |
1 |
2 |
|
|
|
- 0,5 |
1 |
0 |
ч®з0 |
1 |
2 |
|
|
-0,5 |
1 |
0ч® |
|
||||||||||||||
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
ч |
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
ч |
|
||||||
и0 |
0 |
1 |
|
|
|
0,5 |
1ш |
и0 |
0 |
1 |
|
|
0,5 |
1ш |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ж1 |
0 |
0 |
|
1,5 |
- 3 |
1 |
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(6)з |
1 |
0 |
|
-1,5 |
5 |
|
|
- 2 |
ч |
|
|
|
А-1). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
®з0 |
|
|
|
ч = (Е |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2 |
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и0 |
0 |
1 |
|
0,5 |
1 |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пояснения:
(1) — разделили 1-ую строку на "2";
16
(2)— вычли 1-ую строку из 2-ой и 3-ей;
(3)— 2-ую строку умножили на "2" и вычли из 3-ей (в результате преобразований (1)—(3) матрица, стоящая до вертикальной черты, приняла верхнетреугольный вид);
(4)— вычли из 1-ой строки 2-ую;
(5)— прибавили к 1-ой строке 3-ю;
(6)— умножили 3-ю строку на "2" и вычли из 2-ой (в результате преобразований (4)—(6) получили слева от вертикальной черты единичную матрицу).
Задачи для самостоятельного решения.
Найти А-1 двумя способами. Сделать проверку.
ж 2 |
2 |
3ц |
ж1 2 |
-3ц |
ж |
2 2 3ц |
|
ж1 -1ц |
||
з |
|
ч |
з |
ч |
з |
ч |
|
|||
1) А=з 1 |
-1 |
0ч; 2)А=з0 1 2 ч; 3) |
А=з1 2 3ч; 4) |
А= |
з |
|
ч |
|||
з |
2 |
ч. |
||||||||
з |
|
ч |
з |
ч |
з |
ч |
|
и3 |
ш |
|
и-2 4 |
2ш |
и0 0 |
1 ш |
и |
1 3 6ш |
|
|
|
|
Найти ранг матрицы r(A):
|
|
|
|
|
|
ж |
1 2 |
|
5ц |
|
|
ж-1 2 |
7 |
4 ц |
||||
5) А из 1); 6) А из 2); 7) |
з |
|
|
-1 |
ч |
|
|
з |
|
4 |
14 |
ч |
||||||
А = з0 |
2ч ; 8) |
А =з-2 |
8 ч. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
з |
1 1 |
|
ч |
|
|
з |
3 |
-6 |
-21 |
ч |
||
|
|
|
|
|
|
и |
|
7ш |
|
|
и |
-12ш |
||||||
|
|
|
|
ж 1 |
- 4 |
-1,5ц |
|
|
|
|
ж1 |
- 2 |
7 ц |
|
||||
Ответы: |
1) |
з |
|
-5 |
|
|
ч |
|
|
|
|
з |
1 |
|
ч |
|
||
А-1 = з 1 |
-1,5ч; 2) А-1 |
|
= з0 |
-2ч ; |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
з |
-1 6 |
|
2 |
ч |
|
|
|
|
з |
|
1 |
ч |
|
|
|
|
|
|
и |
|
ш |
|
|
|
|
и0 0 |
ш |
|
|||||
|
|
ж |
1,5 |
-3 |
1 ц |
|
|
|
|
ж- 2 |
1ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
з |
|
|
ч |
|
|
-1 |
|
; 5) r(A)= 3 ; 6) r(A)= 3 ; |
||||||||
3) А |
= з |
-1,5 5 -2ч ; 4) А |
= |
з |
|
ч |
||||||||||||
|
|
з |
- 3 |
ч |
||||||||||||||
|
|
з |
,5 |
- 2 |
ч |
|
|
|
|
и |
1ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
1 ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) r(A)= 2; 8) r(A)=1.
17
Занятие 3.
Решение систем линейных уравнений
методом Гаусса.
Дана система m линейных уравнений с n неизвестными
x1,…,xn:
|
мa11x1 +...+ a1nxn = b1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*) |
|
н... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
+...+ amnxn |
= bm |
|
|
|
|
|
|||
|
оam1x1 |
|
|
|
|
|
||||||
Определение. |
Составим матрицы А и |
|
: |
|
|
|
||||||
А |
|
|
|
|||||||||
жa |
... |
a |
ц |
|
жa |
... |
|
|
a |
|
b |
ц |
|
|
|
|
|||||||||
з 11 |
|
1n |
ч |
|
з 11 |
|
|
|
1n |
|
1 |
ч |
A = з ... |
... ... |
ч, |
A = з ... |
... ... |
|
... |
ч . |
|||||
зa |
... |
a |
ч |
|
зa |
... |
|
a |
|
b |
ч |
|
и m1 |
|
mn ш |
|
и m1 |
|
|
|
mn |
|
m ш |
||
|
|
|
|
|
|
Матрица А называется матрицей системы (*), а матрица А называется расширенной матрицей системы (*).
При решении такой системы уравнений возможны только три варианта ответа: 1) у системы нет решений; 2) существует единственное решение; 3) существует бесконечно много решений.
В случае 1) система называется несовместной, а в остальных случаях — совместной; совместные системы подразделяются на
определённые (случай 2) и неопределённые (случай 3). Если bi = 0 (i =1,...,m), то система называется однородной.
18
Метод Гаусса (на примерах).
Строим расширенную матрицуA , записываем сверху над столбцами переменные x1,… xn. Далее делаем элементарные
преобразования строк матрицы A так, чтобы матрица A, входящая в A , приняла бы трапециевидную форму (при этом i-ый и j-ый столбцы в А переставляем вместе с записанными сверху переменными xi и xj ). Обозначим полученную расширенную
матрицу через A', а её часть до вертикальной черты — через A' .
Если в A оказались нулевые строки, то их следует отбросить.
Система уравнений с матрицей A эквивалентна системе
уравнений с полученной в результате элементарных преобразований матрицей A' (т.е. или обе системы не имеют решений, или множества их решений совпадают). Дальнейший ход решения зависит от вида A' .
|
1) |
Когда система не имеет решений. |
|||
В |
этом |
случае матрица |
|
всегда содержит строку вида |
|
A |
|||||
(0 0 |
... 0 |
|
b), где b≠0. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
мx1 +3x2 -2x3 = -3 |
x1 |
x2 x3 |
|
x1 |
x2 |
|
x3 |
|
|
|
|||||||||||||||
ж1 |
3 -2 |
|
3 ц |
ж |
1 |
3 -2 |
|
3 ц |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
п2x - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
+7x = 2 ; |
A |
= з |
|
|
|
ч |
®з |
|
|
|
|
|
|
ч® |
||||||||||
н |
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
з2 -1 |
7 |
|
2 ч |
з0 -7 11 |
|
-4 ч |
|||||||||
п |
|
|
|
+3x3 = 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
о4x1 +5x2 |
|
|
|
|
з |
|
|
|
ч |
з |
|
|
|
|
|
|
ч |
||||||||
|
x1 |
|
|
x2 |
x3 |
|
|
|
|
и4 |
5 |
3 |
|
4 ш |
и |
0 -7 11 |
|
-8 |
ш |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ж1 |
|
|
3 |
-2 |
|
|
|
3 ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
®з |
-7 |
11 |
|
|
|
|
ч = |
A |
'. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
з0 |
|
-4 ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
и0 |
|
|
0 |
0 |
|
-4 |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Последней |
|
|
строке |
|
соответствует |
|
уравнение |
|
||||||||||||||||
0Ч x1 + 0Ч x2 + 0Ч x3 = -4 , |
которое, |
очевидно, |
не |
имеет решений. |
|
||||||||||||||||||||
Следовательно, и |
вся |
система |
уравнений |
с матрицей |
|
' ( |
|
и |
|
||||||||||||||||
A |
|
|
|||||||||||||||||||||||
матрицей |
|
) не имеет решений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Когда система имеет единственное решение.
В этом случае трапецевидная матрица A' в A' имеет
верхнетреугольный вид; её ранг равен числу неизвестных.
Пример 2.
мx1 + 2x2 - x3 = -3 |
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
|||||||||||
|
ж |
1 |
2 -1 |
|
-3 ц |
ж1 |
2 -1 |
|
-3 ц |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
п2x +3x + x = -1; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
A |
=з |
|
|
|
|
|
|
|
ч |
®з |
|
|
|
|
ч ® |
|||||||||
н |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
з |
2 |
3 |
|
1 |
|
-1 ч |
з0 -1 |
3 |
|
-5 ч |
|||||
пx - x |
|
- x |
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
ч |
з |
|
|
|
|
ч |
|||||
о |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x1 |
x2 |
x3 |
|
|
|
|
и |
1 -1 -1 |
|
|
3 |
ш |
и |
0 -3 |
0 |
|
6 ш |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
мx1 +2x2 - x3 = -3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ж1 |
|
2 |
-1 |
|
-3 ц |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
п |
x |
|
-3x = -5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
®з |
|
|
|
|
|
|
|
чЮ |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
з0 1 -3 |
|
-5 ч |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
ч |
п |
|
|
x3 =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
0 |
1 |
|
1 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
и |
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
Решаем систему с A' , двигаясь снизу вверх: из 3-его уравнения определяем x3=1; подставим это значение во 2-ое уравнение и найдём x2=-2; подставим полученные значения x2, x3 в 1-ое уравнение и найдём x1=2. Ответ: x1=2, x2=-2, x3=1.
3)Когда система имеет бесконечно много решений.
Вэтом случае трапецевидная матрица A' имеет ранг меньший, чем число неизвестных.
Пример 3.
мx + 2x |
|
+ x |
|
+ x |
|
= 2 |
|
|
|
x1 x2 x3 x4 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ж1 2 1 1 |
2 ц |
|
|||||||||||||||
н 1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
;A = |
® |
||||||||||||
о2x1 + 5x2 + x3 +5x4 |
= 6 |
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|||||||||
|
|
з |
2 |
5 |
1 |
5 |
|
|
6 |
ч |
|
||||||||||||
x1 x2 x3 x4 |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
ш |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
мx + 2x |
|
+ x |
|
+ x |
|
|
= 2 |
|
|||||||||||
® ж1 2 |
|
1 1 |
|
2 |
ц |
Ю н 1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
Ю |
||||||
з |
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
о |
|
x2 - x3 + 3x4 |
= 2 |
|
||||||||
з |
|
|
-1 |
|
|
|
|
ч |
|
|
|
||||||||||||
и0 |
1 |
3 |
|
2 |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Юмнx1 +2x2 = 2- x3 - x4 . о x2 = x3 -3x4 +2
Подставим х2 из 2-ого уравнения в 1-ое, найдём х1 и получим следующий ответ:
мx1 = -2 -3x3 + 5x4,
п |
= x3 -3x4 + 2, |
. |
нx2 |
поx3,x4 - любыечисла.
Неизвестные разделяются на 2 группы: главные (базисные) — те,
которым соответствует "диагональ" в A' (в нашем случае x1, x2) и
свободные (параметрические) — все остальные (здесь: x3, x4).